应用随机过程 第一章 预备知识

1、1 条件概率条件概率 设 B 是一事件， 且 P(B)0. 给定事件B，事件 A 的条件概率为条件概率与条件期望条件概率与条件期望BP APABB（ ）= （）/P( ).概率与期望的关系概率与期望的关系: 定义示性函数定义示性函数 (indictor function) .,)(AAIA01则则).()(AIEAP定理定理 1.9 （全概率公式）（全概率公式）nnnnnB nP(BAPAPBPA B设是 的一个分割，且对，)0. 如果 ，则（ ）=（） （ |） 。 F习题习题: 投资者为了解股票在未来一段时间内的价格投资者为了解股票在未来一段时间内的价格波动，往往会分析影响股票价格的基本因

2、素，波动，往往会分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化比如利率的变化. 现在估计利率下调的概率为现在估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为，利率不变的概率为40%.根据经验根据经验,在利在利率下调的情况下股票上涨的概率为率下调的情况下股票上涨的概率为80%,而在而在利率不变的情况下利率不变的情况下,价格上涨的概率为价格上涨的概率为40%. 求该支股票上涨的概率求该支股票上涨的概率.定理定理1.10 （Bayes 公式）公式） nnnnnkkkB nP(Bn 1PBPA BPB APBPA B设是 的一个分割，且对，)0， 则对 ，（ ）（ | ）（ | ）。（ ）（ | ） 2 条件

3、期望条件期望设 X 是随机变量， B 是事件且P（B）0, 则给定事件B， 随机变量X的条件期望定义为BBEX | BP BX dP= P BEX I-1-1（）= ( ) ( )（）.性质：性质：XEEX=EX（1） 若，则 （ | ）。 1LBXEX=X a.s.（2） 若 是 随机变量， 则 （ | ） ，。BB X=Y a.s. XEXEY（3） 若，且， 则 （ | ）= （ | ），a.s. 1LBBXYEaX+bY aE(X)+bE(Y)（4） 若a,b是实数， ， 则（）|=|，a.s. 1LBBBXYXYa.s.,E(X)E(Y)(5)若 ，且， 则|，a.s. 1LBBnn

4、nXE(supX)supE(X)(6)若是非负单调增加的随机变量列， 则|，a.s.BB1nnnnnXXX. .YXYnlimE(X)E(X)a s(7)若是一列随机变量，且使得|，则 |，a.s.LBBy=Y,xy)E(X,Y)E (XY)|YE (Xy)|X Y(9)若是两个独立的随机变量，函数 ( ， 使得(|) ,则 ， ，a.s作业：作业：结合结合概率论概率论和第一章的内容，写出学习心得和第一章的内容，写出学习心得.要求：要求：1. 可就某个知识点或某个定理、引理或例题等，可就某个知识点或某个定理、引理或例题等，用自己的语言写出；用自己的语言写出；2. 也可以写一点对也可以写一点对应

5、用随机过程应用随机过程 这们课的一些这们课的一些想法（例如希望通过学习这门课学点什么想法（例如希望通过学习这门课学点什么 等）等）.jjikiij=1i(1)AiIIiPAPAAiIP1kkj=1设，是 的事件族，如果对 的每个非空有限子集 ，.,i ，有 （）=（） 则称，关于 是相互独立的. F1.4.3 独立性独立性定义定义 1.11iii(3)XiI. .X XiIr v设，是 的族，如果 代数族 （）是独立的，则称，是相互独立的. jjiiii(2)iIIiAiI1k设，是 的 子代数族，如果对 的每个非空有限子集 ，.,i ，使得上式成立，则称，是相互独立的. AFAA定理定理1.

6、131nkk(1)XXEXEXnnk=1k=1设，.,是独立的，则 （）= 1L1nkk(2)XXvarXvar(Xnnk=1k=1设，.,是独立的，则 （）= ) 2L定理定理1.14（Borel-Canteli 第一引理）第一引理）nnnnnA AlimsupA .PAPAi.o.设是一列事件，且若（）0,有 则称，记作概率收敛 p pnpnn pnXp1XlimE(|XX| )=0,X n1Xp=2 pp(3)若，如果，使得则次平均收敛阶矩收敛称均方收敛，于，或称为；当， 称为。LLLnnnnnnnnF xF(x):FlimF (x)=F(x),F x F(x) XF xF x F(x) X(4)设 （ ）是分布函数列，如果单调不减，使得对 (x)的所有连续点x有则称（ ）于；再设是一列以 （ ）为分布函数的r.v