谐振子的薛定谔因式分解法

1、量子力学量子力学光电子科学与工程学院光电子科学与工程学院王可嘉王可嘉第二十三讲第二十三讲谐振子的薛定谔因式分解法谐振子的薛定谔因式分解法角动量的本征值与本征态角动量的本征值与本征态 第第23讲目录讲目录零、一维谐振子的分析解法（回顾）零、一维谐振子的分析解法（回顾） 一、谐振子的薛定谔因式分解法一、谐振子的薛定谔因式分解法二、角动量的本征值与本征态二、角动量的本征值与本征态 三、代数解法总结三、代数解法总结 四、例题四、例题 零、一维谐振子的分析解法（回顾）零、一维谐振子的分析解法（回顾） 一维谐振子的能量本征方程一维谐振子的能量本征方程:)()(21222222xExxmdxdm(1)渐进行

2、为和束缚态条件：渐进行为和束缚态条件：)2/exp()( :2xmxE20)(222dd 令：令： 代入原方程代入原方程)2/exp()()(2 u零、一维谐振子的分析解法（回顾）零、一维谐振子的分析解法（回顾）0) 1(2222uddudd（厄米方程）（厄米方程）幂级数解法幂级数解法能量本征值能量本征值 2 , 1 , 0)21(nnEEn能量本征态能量本征态)(HA)(2/22xexnxn2/1 !2/Annn)(Hxn：厄米多项式：厄米多项式 以上为以上为分析分析解法，非常复杂。本讲将引入的薛解法，非常复杂。本讲将引入的薛定谔因式分解法（定谔因式分解法（代数代数解法）处理该问题很简单。解

3、法）处理该问题很简单。一、谐振子的薛定谔因式分解法（一、谐振子的薛定谔因式分解法（1） 1、 ， 和和 的引入的引入aa2222121xpH一维谐振子的哈密顿量一维谐振子的哈密顿量: 利用利用自然单位自然单位 ：) 1(222121xpH 引入两个算符：引入两个算符： 和和 定义为：定义为：aa)(21ipxa)(21ipxa),( 1,ipxaa 对易关系：对易关系：)(21aax)(2aaip 逆变换：逆变换：留作练习留作练习N一、谐振子的薛定谔因式分解法（一、谐振子的薛定谔因式分解法（2）一维谐振子的哈密顿量用一维谐振子的哈密顿量用 和和 表示为：表示为：aa)21()(2121)(22

4、121212222aaaaaaixpH222)()(aaaaaaaaaaaa注意：注意：定义：定义： 因此因此 ， 称为粒子数算符。称为粒子数算符。aaN)21( NHN 的性质：在任何量子态的性质：在任何量子态 下：下：N0)(2aaaaaNN 为正定（为正定（线性代数线性代数）的厄米算符，）的厄米算符，正定厄米算符的本正定厄米算符的本征值为非负实数。征值为非负实数。N一、谐振子的薛定谔因式分解法（一、谐振子的薛定谔因式分解法（3） 2、 的本征值和本征态。的本征值和本征态。N设设 的本征值为的本征值为 ，本征态为，本征态为 ，即：，即：NnnnnnNaaaaaaaaaaaN,nanNana

5、NnNaaNnaN)(,nannanannanNanaN) 1( 即：即： 若令若令 则有：则有： ，对比，对比 ，可，可以看出以看出 就是算符就是算符 属于本征值属于本征值 的本征态。的本征态。 )(1()(nannaNnan nnnN) 1(nnnNnnaN) 1( n一、谐振子的薛定谔因式分解法（一、谐振子的薛定谔因式分解法（4） 利用同样的方法，可得利用同样的方法，可得 即：即：)(2()(22nannaN 2 1 , ,2nnnnanan的本征态：的本征态：的本征值：的本征值：NN 为正定的厄米算符，为正定的厄米算符，其本征值为非负实数。其本征值为非负实数。肯定存在肯定存在一个最小的

6、本征值一个最小的本征值 ，相应的本征态为，相应的本征态为 ，N0n0n?0n000000 0nnaanNna0n则则 为为 的本征值为的本征值为 的本征态，即：的本征态，即：N00一、谐振子的薛定谔因式分解法（一、谐振子的薛定谔因式分解法（5） 3、利用、利用 确定一维谐振子的本征值确定一维谐振子的本征值Nn nnnnnnNnNnH)21(2121)21(即：即： ， 为为 的本征值，加上能量单位：的本征值，加上能量单位： ； 就是一就是一维谐振子维谐振子 的属于本征值的属于本征值 本征态。本征态。n nnH)21( )21( n21212122NxpH)21( nEn 以上求解一维谐振子能量

7、本征值的方法，未涉以上求解一维谐振子能量本征值的方法，未涉及任何及任何分析（微分，积分等）分析（微分，积分等）的方法，仅仅从的方法，仅仅从代代数（左乘，数乘等）数（左乘，数乘等）的角度来求解的。的角度来求解的。n)21( nH一、谐振子的薛定谔因式分解法（一、谐振子的薛定谔因式分解法（6） 4、 的性质的性质aaaaaaaaaaaaN,nanNanaNnNaaNnaN)(,nannannananNanaN) 1( 因此因此 就是算符就是算符 属于本征值属于本征值 的本的本征态。同理：征态。同理： naN) 1( nnannaN22)(2()( 5/2 23 2/1 2 1 0 )( ,0 ,0

8、2/naa（ ）的本征态：）的本征态：的本征值：的本征值：NN的本征值：的本征值：HH一、谐振子的薛定谔因式分解法（一、谐振子的薛定谔因式分解法（7）a：下降算符：下降算符a：上升算符：上升算符nn , ) 21(1 , ) 23(nn1 , ) 21(nnnana固体物理：固体物理： 和和 称为声子的产生和消灭算符。称为声子的产生和消灭算符。量子电动力学（激光的全量子理论）：量子电动力学（激光的全量子理论）： 和和 称为光子称为光子的产生和消灭算符。的产生和消灭算符。aaaa一、谐振子的薛定谔因式分解法（一、谐振子的薛定谔因式分解法（8） 5、一维谐振子、一维谐振子 的本征态的本征态nH 已

9、证明已证明 就是一维谐振子就是一维谐振子 的属于本征值的属于本征值 本征态。但是具体的形式未给出。本征态。但是具体的形式未给出。nH)21( n利用上升算符利用上升算符 可证明：归一化的可证明：归一化的0)(!1nanna 即：即：nnnnn nnH ,)21( 坐标表象中坐标表象中 的表示：首先求的表示：首先求 的表示，的表示，n000)(00ipxa00)(ipxx取坐标表象：取坐标表象：0)(0)(0)(01)(0)(xxpxixxxxdxxipxxxdxxxdipxxipxxipxx一、谐振子的薛定谔因式分解法（一、谐振子的薛定谔因式分解法（9）0)(0)()(0)(0)(0)(xdx

10、dxxxxdxdxxxxdxxxdxdiixxxxdxxpxixxxxdpixxx)dxdi(px2/000)(20)(0)()(00)(xxxexxdxdixxdxdix加上自然单位：归一化的基态波函数加上自然单位：归一化的基态波函数224/10)()(xex激发态波函数：激发态波函数： ，加上长度自然单位，加上长度自然单位0)(! 1)(nnaxnnxx)1(21dxdxa2/4/ 1222)1()(! 1)(xnnedxdxnx二、角动量的本征值与本征态二、角动量的本征值与本征态 （1） 1、角动量算符的定义、角动量算符的定义设有三个标量算符设有三个标量算符 ， 和和 ，若它们满足下列对

11、易式：，若它们满足下列对易式：xjyjzjzyxzyxzyxjijjjijjjijj, , ,则由这三个标量算符作为分量的矢量算符则由这三个标量算符作为分量的矢量算符 称为角动量称为角动量算符，上述三个对易式称为算符，上述三个对易式称为角动量的基本对易式。这个角动量的基本对易式。这个三个对易式与三个标量算符是角动量算符分量互为充分三个对易式与三个标量算符是角动量算符分量互为充分必要条件。必要条件。j定义：定义： 为角动量平方算符，满足对易式：为角动量平方算符，满足对易式：2222zyxjjjjzyxjj, ,0,2基本对易式合写为：基本对易式合写为：zyx,jijj, ,xzy二、角动量的本征

12、值与本征态二、角动量的本征值与本征态 （2） 2、角动量算符本征值和本征态的代数解法、角动量算符本征值和本征态的代数解法 考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和消考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和消灭算符分别为：灭算符分别为： 和和 满足对易式：满足对易式：11,aa定义正定厄米算符：定义正定厄米算符：210, , i,jaaaaaajijiijji设其本征值分别为设其本征值分别为 和和 ， 分别声子的数目分别声子的数目0!)()(21212121nnaannnn22,aa0, ,21222111NNaaNaaN1n2n 2, 1 , 0,21nn1N 和和 归一化共同本征态：

13、归一化共同本征态：2N212212211211 nnnnnNnnnnnN二、角动量的本征值与本征态二、角动量的本征值与本征态 （3） 定义以下算符（定义以下算符（ ）：）：1xxjaaaaj)(211221yyjaaaaij)(211221)(21)(21212211NNjaaaajzz21aaijjjyx)(12jaaijjjyxzyx,jijj, ,可以证明可以证明（留作联系）（留作联系）：因此这三个算符因此这三个算符 ， 和和 可组成一个角动量算符：可组成一个角动量算符：xjyjzjj) 12(22222NNjjjjzyx其中：其中：221121aaaaNNN)( ,)()(212121

14、21212121nnnnnnnnnnnnNNnnN2121212) 12(2) 12(2nnnnnnNNnnj 2 , 1 , 0 n二、角动量的本征值与本征态二、角动量的本征值与本征态 （4）21212) 12(2nnnnnnj若若 的本征值可表示为的本征值可表示为 则根据则根据2j) 1( jj 2/5 , 2/3 , 2/12 , 1 , 02)(221nnnj即角动量量子即角动量量子数只能取非负数只能取非负整数或半奇数整数或半奇数212121212121)(21)(21nnmnnnnnnNNnnjz 为为 和和 的共同本征态，将的共同本征态，将 改记为改记为21nn2jzj21nnjm

15、jmjjjmj) 1(2jmmjmjz)(2121nnm的取值范围：的取值范围：jjjmjjnjn , , 1 ,0 , , 12 ,22 , , 1 , 011二、角动量的本征值与本征态二、角动量的本征值与本征态 （5）0!)()(21212121nnaannnn根据根据2)(21nnm2)(21nnj逆变换：逆变换：mjn1mjn20)!()!()()(21mjmjaajmmjmj角动量的本征值与本征态：角动量的本征值与本征态：jmjjjmj) 1(2jmmjmjz 2/5 , 2/3 , 2/12 , 1 , 0jjjjm , , 1 ,三、代数解法总结三、代数解法总结 （1）代数解法的

16、代数解法的核心核心？ipx, 代数变换代数变换1, aaa 和和 为粒子数产生和消灭算符，为粒子数产生和消灭算符， 粒子数算符。粒子数算符。a)(21ipxa)(21ipxa)(21aax)(2aaip),(),(NaaApxAAaaN N nnnNnnnnnnn , 1粒子数表象粒子数表象四、例题四、例题 第一题：证明第一题：证明11nnna由产生算符性质可知由产生算符性质可知 和和 为同一个态：为同一个态：na1n1ncnan 为一个常数，取它的模方为一个常数，取它的模方nc2222211nacncncnnnnaannaannananaaa) 1()(1,2innencnnaanc11) 1(2取取1 , 0ncn即即11nnna四、例题四、例题 第二题：定义第二题：定义 证明：证明：21aaijjjyx1)(1(jmmjmjjmj由题可知：由题可知： 21aaj) 1)(1() 1() 1(211221212121