数字信号处理_第六章

1、第第 6 章章IIR数字滤波器设计数字滤波器设计Design of IIR Digital Filters本章主要内容本章主要内容n数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念n模拟滤波器设计模拟滤波器设计巴特沃思、切比雪夫模拟滤波器设计巴特沃思、切比雪夫模拟滤波器设计模拟滤波器的频带变换模拟滤波器的频带变换n数字滤波器（数字滤波器（Digital Filter，DF）设计）设计用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器数字滤波器用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器IIR数字滤波器的频率变换数字滤波器的频率变换n滤波的目的滤波的目的为了压制输入信号的某些频率

2、成分，从而改为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例变信号频谱中各频率分量的相对比例n滤波技术包括滤波技术包括: :滤波器设计滤波器设计: :根据给定滤波器的频率特性，根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数，求得满足该特性的传输函数， 滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的方式达到对输入信号的进行滤波的目的 6.1 数字滤波的基本概念数字滤波的基本概念 图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取信号n数字滤波器数字滤波器输入、输出均为数字信号，通过一定的运输入、输出均为数字信号，通过一

3、定的运算关系，滤除输入信号中某些频率成分或算关系，滤除输入信号中某些频率成分或改变输入信号频谱中各频率分量的相对比改变输入信号频谱中各频率分量的相对比例的器件例的器件具有某种特定频率特性的线性时不变系统具有某种特定频率特性的线性时不变系统 n数字滤波器的特点数字滤波器的特点精度高、稳定、灵活精度高、稳定、灵活 不要求阻抗匹配、实现特殊的滤波器不要求阻抗匹配、实现特殊的滤波器n设计数字滤波器的任务设计数字滤波器的任务寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数数H( (z) )具有指定的频率特性具有指定的频率特性0)()()(nnjezjenhzHe

4、Hj1.数字滤波器的分类数字滤波器的分类n经典滤波器（一般滤波器）：经典滤波器（一般滤波器）：信号和干扰的频带互不重叠时采用信号和干扰的频带互不重叠时采用n现代滤波器：现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波信号和干扰的频带相互重叠时采用（例如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等）n经典滤波器的基本功能经典滤波器的基本功能高通、低通、带通、带阻高通、低通、带通、带阻图6.1.2 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性n数字滤波器分为：数字滤波器分为：无限长单位脉冲响应滤波器（无限长单位脉冲响应滤波器（IIR DF） 递归系统递归系统

5、有限长单位脉冲响应滤波器（有限长单位脉冲响应滤波器（FIR DF）非递归系统非递归系统 (6.1.1)(6.1.2)NkkkMjrjzazbzH101)(10)()(NnnznhzH2 数字滤波器的技术指标数字滤波器的技术指标数字滤波器的频率响应函数数字滤波器的频率响应函数H(ej)用下式表示：用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej() | H(ej)|称为幅频特性函数称为幅频特性函数,幅频特性表示信号通幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况; ()称为相频特性函数称为相频特性函数;而相频特性反映各频率而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在

6、时间上的延时情况。成分通过滤波器后在时间上的延时情况。 两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。：通带截止频率c：阻带截止频率st：通带容限1：阻带容限2st2()jH en阻带：cstn过渡带：c11()1jH en通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近通带最大衰减：通带最大衰减：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻带最小衰减：阻带最小衰减：2022()20lg20

7、lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：其中：0()1jH e当当 时，时，()2/20.707cjH e称称 为为3dB3dB通带截止频率通带截止频率13dBc3.滤波器的设计方法滤波器的设计方法n直接设计法直接设计法在时域或频域直接设计数字滤波器在时域或频域直接设计数字滤波器n间接设计法间接设计法先根据指标要求设计对应的模拟滤波器先根据指标要求设计对应的模拟滤波器再将模拟滤波器转换为数字滤波器再将模拟滤波器转换为数字滤波器本章介绍间接设计法本章介绍间接设计法6.2 模拟滤波器设计模拟滤波器设计模拟滤波器设计模拟滤波器设计n模拟滤波器的设计步骤模拟滤波器的设计步骤确定指标

8、确定指标选择滤波器的类型选择滤波器的类型计算滤波器的阶数计算滤波器的阶数查表或计算滤波器的参数，确定其系统函数查表或计算滤波器的参数，确定其系统函数综合实现及调试综合实现及调试n滤波器的传输函数（频率响应特性）：滤波器的传输函数（频率响应特性）：选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。幅频特性体现了各频率成分在幅度上的衰减幅频特性体现了各频率成分在幅度上的衰减,而相频特性体现的是而相频特性体现的是不同成分在时间上的延时。不同成分在时间上的延时。对输出波形有明确要求时，则需考虑对输出波形有明确要求时，则需考虑线性相位线性相位问题。问题。

9、()() |()|jH jH je 6.2.1 模拟滤波器的设计指标模拟滤波器的设计指标n 通带边界（截止）频率，通带边界（截止）频率， 阻带边界（截止）频率，阻带边界（截止）频率， 3db通带截止频率通带截止频率n系统通带和阻带的误差要求系统通带和阻带的误差要求通带特性要求：通带特性要求： 通带最大衰减通带最大衰减 ，或通带峰值波纹，或通带波纹幅，或通带峰值波纹，或通带波纹幅度度 ，用分贝表示：，用分贝表示：p s c 21()1,1apHj 22120lg110lg(1)dBp /10101p p 阻带特性要求：阻带特性要求： 阻带最小衰减阻带最小衰减 ，或，或 阻带峰值波纹，或阻带峰值波

10、纹，或 阻带波纹幅阻带波纹幅度度 ，用分贝表示：，用分贝表示：1(),asHjA /2010sA 120lg()20lgdBsAA s An损耗函数损耗函数（衰减函数衰减函数）：用来描述滤波器幅频响应特性）：用来描述滤波器幅频响应特性n3dB 通带截止频率通带截止频率 c：n损耗函数相对放大了小幅度特性：损耗函数相对放大了小幅度特性：21()20lg20lg()10lg()()aaaHjHjHj ()3dBc 一般幅频特性一般幅频特性损耗函数损耗函数()1/20.707acHj两个附加参数两个附加参数n过渡比过渡比或或选择性选择性参数参数反应过渡带的性能，过渡带越窄，反应过渡带的性能，过渡带越

11、窄，k 值趋近于值趋近于 1对对“低通滤波器低通滤波器”：n偏离偏离参数参数 越小、越小、 越大，越大， 越小，越小， 通带、阻带的纹波越小通带、阻带的纹波越小一般有一般有 psk 1k 121kA 1k11kAn模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供选择。的模拟滤波器供选择。这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。使用。 n典型滤波器典型滤波器巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）滤波器）滤

12、波器：具有单调下降的幅频特性；：具有单调下降的幅频特性；切比雪夫（切比雪夫（Chebyshev）滤波器）滤波器：幅频特性在通带或阻带内有波：幅频特性在通带或阻带内有波动起伏，这可提高选择性；动起伏，这可提高选择性；椭圆（椭圆（Ellipse）滤波器）滤波器：幅频特性在通带和阻带都有波动，其选：幅频特性在通带和阻带都有波动，其选择性最好；择性最好；贝塞尔（贝塞尔（Bessel）滤波器）滤波器：具有较好的线性相位。：具有较好的线性相位。6.2.2 巴特沃斯（巴特沃斯（Butterworth）模拟低通滤）模拟低通滤波器设计波器设计n巴特沃斯巴特沃斯低通低通滤波器滤波器N 阶巴特沃斯低通滤波器的阶巴特

13、沃斯低通滤波器的幅度平方函数幅度平方函数为：为： 其中其中N 为滤波器的阶次，为滤波器的阶次， 为为 3dB通带截止频率通带截止频率。221|()|1()aNcHj c 巴特沃斯低通滤波器特点巴特沃斯低通滤波器特点：n在在 点，点， 的的 n ( n p ，随，随 ， n当当 =0时，时， N为偶数，为偶数， ，min ，N为奇数，为奇数， ， max，22202211()1cos arccos(0)1cos ()2aHjNN 2201()1aHj 20()1aHj 2cos ()12N 2cos ()02N 211 1 1,()1,NppC 2a()Hj 2(),()0NapCHj n阻带边

14、界频率阻带边界频率nN 大于等于上式的最小整数大于等于上式的最小整数2222221()1()111cosharcosh()assNpspHjCAN 2111arcosharcosh()1arcosh()arcoshspkNkA 2arcosh( )ln(1)xxx 其其中中/2010sA /10101p 滤波器的系统函数滤波器的系统函数112( ),()NNpakkkNkkHssjss (21)(21)sin,sin22kpkpkkNN 1/2221111,22N实际应用中可以利于查表的方法求得系统函数：实际应用中可以利于查表的方法求得系统函数：1. 按按 求出滤波器阶次求出滤波器阶次N；2.

15、 由由N和和 （或（或 p）查表得到归一化滤波器分母多项式：查表得到归一化滤波器分母多项式：3. 归一化切比雪夫低通滤波器函数为归一化切比雪夫低通滤波器函数为:4. 去归一化，得到通带截止频率为去归一化，得到通带截止频率为 p的低通滤波器函数：的低通滤波器函数：21arcosharcoshspAN 1110( )(1)NNNND ppapa paa 11 (2)( )( )NG pD p ( )( )psapHsG p 切比雪夫切比雪夫型型通带内单调下降，阻带内等波纹通带内单调下降，阻带内等波纹n幅度平方函数：幅度平方函数：n阶数阶数 N 的计算的计算 psA 【】2111arcosharco

16、sh()1arcosh()arcosh()spNAkk 2221()()1()asNpsNHjCC 系统函数系统函数11()( ),1,2,()NkkakkkNkkszHsCpjkNsp (21)(21)sincos22kpkpkkNN 221/211122NAA(21)cos2skzjkN 2222skskkkkkkk 6.2.4椭圆滤波器（考尔滤波器）椭圆滤波器（考尔滤波器）n幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的n对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较对于给定的阶数和给定的波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波

17、器是其它滤波器更窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。最优的。n通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄；通带和阻带内波纹固定时，阶数越高，过渡带越窄；n阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；阶数固定，通带和阻带纹波越小，过渡带越宽；4102040pspspsNdBdBdB =1dB=1dB=0.1dB=0.1dB=0.05dB=0.05dB203, 4, 6psdBN =1dB=1dBn振幅平方函数为振幅平方函数为RN( , L) 雅可比椭圆函数雅可比椭圆函数L 表示波纹性质的参量表示波纹性质的参量22221()()1(,)aNAHjRL 下图为典型的椭园滤波器振幅平方函数下

18、图为典型的椭园滤波器振幅平方函数 图中图中和和A的定义的定义 与与 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器 相同相同6.2.7模拟滤波器的比较模拟滤波器的比较n相同阶数的频率响应特性相同阶数的频率响应特性相同通带最大衰减、阻带最小衰减，巴特沃思滤波器的过渡带相同通带最大衰减、阻带最小衰减，巴特沃思滤波器的过渡带最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；最宽；椭圆滤波器过渡带最窄；n相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，参数的灵敏度则恰恰相反；，参数的灵敏度则恰恰相反；n巴特沃思滤波器单调下降；巴特沃思滤波器单调下降；n切比雪夫切比雪夫滤波

19、器通带等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降；滤波器通带等波纹幅频特性，过渡带、阻带单调下降；n切比雪夫切比雪夫滤波器阻带等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降；滤波器阻带等波纹幅频特性，通带、过渡带单调下降；n椭圆滤波器通带、阻带等波纹幅频特性，过渡带单调下降。椭圆滤波器通带、阻带等波纹幅频特性，过渡带单调下降。n贝塞尔（贝塞尔（Bessel）滤波器在整个通带内）滤波器在整个通带内逼近逼近线性相位特性，但过渡线性相位特性，但过渡带特性较差。带特性较差。6.2.8 频率变换与高通、带通及带阻滤波器频率变换与高通、带通及带阻滤波器的设计的设计高通滤波器性能指标高通滤波器性能指标1()HPHj112s

20、hphn通带边界频率：通带边界频率：n阻带边界频率：阻带边界频率：n通带纹波幅度：通带纹波幅度：n阻带纹波幅度：阻带纹波幅度：2 1 ph sh n通带边界频率：通带边界频率：上边界频率上边界频率下边界频率下边界频率n阻带边界频率：阻带边界频率：上边界频率上边界频率下边界频率下边界频率n通带纹波幅度：通带纹波幅度：n阻带纹波幅度：阻带纹波幅度：带通滤波器的性能指标带通滤波器的性能指标2 1 pl pu sl su 1()BPHj112slplsupu带阻滤波器的性能指标带阻滤波器的性能指标n通带边界频率：通带边界频率：上边界频率上边界频率下边界频率下边界频率n阻带边界频率：阻带边界频率：上边界

21、频率上边界频率下边界频率下边界频率n通带纹波幅度：通带纹波幅度：n阻带纹波幅度：阻带纹波幅度：2 1 1()BSHj112slplsupupl pu sl su 高通、带通及带阻滤波器的设计高通、带通及带阻滤波器的设计n已有：归一化低通原型滤波器已有：归一化低通原型滤波器通带边界频率为通带边界频率为 1 （归一化频率）（归一化频率）的模拟滤波器的模拟滤波器n高通、带通及带阻滤波器的设计过程：高通、带通及带阻滤波器的设计过程：采用频率变换公式，将滤波器的技术指标转换成归一采用频率变换公式，将滤波器的技术指标转换成归一化低通滤波器指标；化低通滤波器指标；利用经典滤波器的设计公式、图表，设计归一化低

22、通利用经典滤波器的设计公式、图表，设计归一化低通滤波器的系统函数滤波器的系统函数 ；通过频率变换公式，由通过频率变换公式，由 获得希望滤波器的系统获得希望滤波器的系统函数函数 。( )G p( )G p( )dHs符号规定：符号规定：n归一化低通原型滤波器：归一化低通原型滤波器：归一化复变量归一化复变量 ，归一化频率，归一化频率通带边界频率（截止频率）通带边界频率（截止频率）n期望模拟滤波器的系统函数：期望模拟滤波器的系统函数：n频率变换公式：频率变换公式：n于是于是( ),G ppj (1)pp 一一般般( ),dHssj 1( ),( )pF ssFp ( )( )( )dp F sHsG

23、 p 1()( )( )ds FpG pHs p1. 模拟高通滤波器的设计模拟高通滤波器的设计n低通原型到高通滤波器的映射变换：低通原型到高通滤波器的映射变换：在虚轴上的映射关系简化为频率变换关系，在虚轴上的映射关系简化为频率变换关系，高通滤波器边界频率高通滤波器边界频率映射关系映射关系： 低通低通 高通高通pphps pph (,)pjsj 0 ,0 ,ppsspp , 00,phphshshph 1()HPHj112shph1()G p112sppph sh 例例 设计巴特沃思模拟高通滤波器设计巴特沃思模拟高通滤波器,通带边界频率为通带边界频率为fp=4kHz，阻带边界频率为阻带边界频率为

24、fs=1kHz，通带最大衰减为，通带最大衰减为0.1dB（fp处），处），阻带最小衰减阻带最小衰减 s=40dB。解：高通滤波器指标解：高通滤波器指标 1）确定相应低通原型滤波器的指标）确定相应低通原型滤波器的指标( )( )pphHPpsHsG p 4kHz,1kHz,0.1dB,40dBpspsff 24000421000pphss 1p 0.1dB40dBps 2) 设计巴特沃斯低通滤波器。设计巴特沃斯低通滤波器。n 确定阶次确定阶次N：n可得可得Nn按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 /2040/201010100sA /100.1/101

25、011010.1526204,p 10.254ppssk 120.15262040.0015262899991kA 1lg4.75lgkNNk11/102241.599999(1)scNA 140.1dB40dBpsps 122(1)scNA n归一化的归一化的 5 阶滤波器的系统函数阶滤波器的系统函数3）高通滤波器的系统函数）高通滤波器的系统函数54325( )3.23615.23615.23613.23611Dpppppp 55423324554321( )(/)3.23615.23615.23613.236110.24055.153313.27821.144520.810110.2405

26、NcccccccG pDppppppppppp 54420( )( )5.1073 109.7921 10pphHPpsHsG psss n另一设计途径：另一设计途径：模拟高通指标模拟高通指标模拟低通指标模拟低通指标(通带截止频率与高通一致通带截止频率与高通一致)模拟低通滤波器模拟低通滤波器设计归一化模拟设计归一化模拟低通滤波器低通滤波器G(p)模拟高通滤波器模拟高通滤波器2( )( )plh cqp 2pqs MATLABwp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40; %设置滤波器指标参数设置滤波器指标参数N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As,s); %滤波器滤波器G(p)阶数阶

27、数N和和3dB截止截止频率频率B,A=butter(N,wc,s); %计算低通滤波器计算低通滤波器G(p)系统函数分子分母多项系统函数分子分母多项式系数式系数wph=2*pi*4000; %高通模拟滤波器通带边界频率高通模拟滤波器通带边界频率BH,AH=lp2hp(B,A,wph) %低通到高通转换低通到高通转换2. 低通到带通的频率变换低通到带通的频率变换:n低通原型到带通滤波器的频率变换低通原型到带通滤波器的频率变换在虚轴上在虚轴上n通带边界频率：上边界频率通带边界频率：上边界频率 下边界频率下边界频率n带通滤波器的带宽带通滤波器的带宽n带通滤波器的中心频率带通滤波器的中心频率220pW

28、spBs 220pWB pjsj pl pu WpuplB 0pupl 映射关系映射关系0,ppss 0,plpupuplsuslsusl 1()Gp112spp1()BPHj112slplsupu减少减少 ，或增加，或增加增加增加 ，或减少，或减少带通滤波器的系统函数带通滤波器的系统函数n对带通滤波器，可以证明，应该有关系：对带通滤波器，可以证明，应该有关系：n若给定边界频率不满足条件，则可改变参数，提高指标若给定边界频率不满足条件，则可改变参数，提高指标 ， 220( )( )pWsBPpB sHsG p 20plpuslsu pplslusu ppluluss pl sl su pu 例

29、：设计巴特沃思模拟带通滤波器，通带上下边界频率分别为例：设计巴特沃思模拟带通滤波器，通带上下边界频率分别为4kHz和和7kHz，阻带上、下边界频率分别为，阻带上、下边界频率分别为2kHz和和9kHz， 通带内最大衰减通带内最大衰减p=1dB，阻带最小衰减，阻带最小衰减s=20dB。解：解：1）带通滤波器指标）带通滤波器指标 增大增大 2）低通原型滤波器指标）低通原型滤波器指标WpuplBff4,7:12,9:20plpupslsusfkHz fkHzdBfkHz fkHzdB plpuslsufff f ,3.1111plpuslslsuffffkHzf 即即取取222205.53.11111

30、.96333.1111slspWffffBf 120psdBdB 0puplfff 1p 3）设计低通原型滤波器：）设计低通原型滤波器：4）求模拟带通）求模拟带通H(s)： 220( )( )pWsBPpB sHsG p 3.低通到带阻的频率变换低通到带阻的频率变换:n低通原型到带阻滤波器的频率变换低通原型到带阻滤波器的频率变换在虚轴上在虚轴上n阻带边界频率：上边界频率阻带边界频率：上边界频率 下边界频率下边界频率n带阻滤波器的带宽带阻滤波器的带宽n带阻滤波器的中心频率带阻滤波器的中心频率220WpB sps 220WpB pjsj sl su WsuslB 0 映射关系映射关系0,ppss

31、0,slsususlpuplpupl 减少减少 ，或增加，或增加减少减少 ，或增加，或增加带阻滤波器的系统函数带阻滤波器的系统函数n可以证明：可以证明：n如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标如给定边界频率不满足改条件，改变参数，提高指标 ， 220( )( )WpB sBSpsHsG p 20plpuslsu plpuslsu plpuslsu pu su sl pl 6.3 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计6.3 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计n目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数目标：满足给定频率响应指标、因果稳定的系统函数n间接法设计过程间接法设计过程确定数字滤

32、波器的指标确定数字滤波器的指标转换成转换成过渡过渡模拟滤波器的指标模拟滤波器的指标设计设计过渡过渡模拟滤波器模拟滤波器将将过渡过渡模拟滤波器转换为数字滤波器模拟滤波器转换为数字滤波器n指标转换指标转换,psps ( )H z( )aHs( )H z22pppsssssssfFFfFF 0,0, 2 sF n实际应用中，常希望用数字滤波器实际应用中，常希望用数字滤波器对模拟信号进行处理。如果给定的对模拟信号进行处理。如果给定的指标为模拟指标，则指标转换为：指标为模拟指标，则指标转换为：(),(),ppsspsspspsffF (),(),ppsspsff过渡模拟滤波器转换为数字滤波器的要求：过渡

33、模拟滤波器转换为数字滤波器的要求：n保证因果稳定性，保证因果稳定性， Ha(s) 的因果稳定性映射成的因果稳定性映射成 H(z)后保持后保持不变，即不变，即 S 平面的平面的左半平面左半平面 ReS0 应映射到应映射到 Z 平面的平面的单位圆以内单位圆以内|z|1右半平面右半平面 0单位圆内部单位圆内部r1左半平面左半平面 0单位圆单位圆r=1虚轴虚轴 =0Z平面平面S平面平面S平面到平面到Z平面的平面的映射是多值映射。映射是多值映射。22/ T2T s s=0 正实轴正实轴 零频零频=0T 辐射线辐射线 角度角度: =0 实轴实轴 零频零频 =0 平行直线平行直线 频率频率:Z平面平面S平面

34、平面/2s /22ssTT结论结论n稳定性稳定性如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点如果模拟滤波器是因果稳定的，则所有极点 都在都在 S 左左半平面，那么变换后半平面，那么变换后 H(z) 的极点也都在单位圆以内，的极点也都在单位圆以内，因此数字滤波器保持因果稳定。因此数字滤波器保持因果稳定。n频率响应特性的近似性频率响应特性的近似性1()()jTaskX eXjjkT 12()()jakkX eXjTT ( )()( )at nTh nh nTh t ()jH e ()aHj 12()()jakkH eHjTT 数字滤波器的频数字滤波器的频响并不是简单的响并不是简单的重现模拟滤波器重现模拟

35、滤波器的频响，而是模的频响，而是模拟滤波器频响的拟滤波器频响的周期延拓！周期延拓！()H j n无混叠失真的的条件：无混叠失真的的条件：带限、满足采样定理，即带限、满足采样定理，即n混叠失真的影响混叠失真的影响相似性变差、无法满足阻带衰减指标相似性变差、无法满足阻带衰减指标n脉冲响应不变法的优缺点：脉冲响应不变法的优缺点：（1）频率坐标变换是线性的，数字滤波器在无频率混叠时能较）频率坐标变换是线性的，数字滤波器在无频率混叠时能较好地重现原模拟滤波器的频率特性；好地重现原模拟滤波器的频率特性；（2）由于数字域的脉冲响应模仿了模拟域的冲激响应，故时域）由于数字域的脉冲响应模仿了模拟域的冲激响应，故

36、时域特性逼近好；特性逼近好；（3）模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，）模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。的效果。（4）由于频率混叠现象，故）由于频率混叠现象，故不适合不适合高通、带阻滤波器高通、带阻滤波器的设计。的设计。()0,2saHj 当当增益的补偿增益的补偿2()1()jakkH eHjTT 11( )1kNks TkTAH zez ( )( )at nTh nTh t 2()()jakkH eHjT 共轭极点的合并共轭极点的合并n避免复数乘法避

37、免复数乘法n其中其中11( )1kNks TkTAH zez 101121112111kkkkkks Ts TkkTATAbb zazazezez kkkkkksjsj 01122Re,2Re2cos(),2kkkkTTkkkkTTkkkbTAbTeA eaeTae /210112112( )1Nkkkkkbb zH zazaz 例：例： 将一个具有如下传递函数将一个具有如下传递函数 的模拟滤波器数字化。的模拟滤波器数字化。 解：解： 211( )(1)(3)13H sssss 11311( )11TTH zzeze 131342()1()TTTTTzeezeeez 数字滤波器的频率响应为数字

38、滤波器的频率响应为: 显然显然 与采样间隔与采样间隔 T （采样频率）有关（采样频率）有关, 如图如图b,T 越小越小,衰减越大衰减越大,混叠越小混叠越小,当当 Fs=24Hz ,混叠可忽略不计混叠可忽略不计,为为什么混什么混叠叠呢呢? 模拟滤波器的频率响应为模拟滤波器的频率响应为:222()( )(1)(3)(3)4asjHjH sjjj 3342()()( )1 ()jTTjjTTjTjz eeeeH eH zeeeee ()jH e 例例 用脉冲响应不变法设计数字低通滤器，要求通带与阻带用脉冲响应不变法设计数字低通滤器，要求通带与阻带具有单调特性。指标如下：具有单调特性。指标如下：设计基

39、本步骤：设计基本步骤：（1）将数字滤波器指标转换为）将数字滤波器指标转换为过渡过渡模拟滤波器指标：模拟滤波器指标：0.2rad,1dB,0.35rad,10 dBppss/,/,ppsspsTTT 由保持不变（2）设计相应的）设计相应的过渡过渡模拟滤波器：模拟滤波器： （根据单调特性，应选用巴特沃思滤波器）（根据单调特性，应选用巴特沃思滤波器）（3）由由过渡过渡模拟滤波器模拟滤波器Ha(s)转换为数字滤波器转换为数字滤波器H(z)： 1( )NkakkAHsss 11( )1kNks TkAH zez 例例 （续）（续）注意：当注意：当给定数字滤波器技术指标时，数字滤波器的设计中，给定数字滤波

40、器技术指标时，数字滤波器的设计中，采样周期采样周期 T 的取值对频谱混叠程度影响很小（如例中的取值对频谱混叠程度影响很小（如例中T=1s 和和 T=0.1s 的滤波器特性一致）。的滤波器特性一致）。 这是因为数字滤波器指标中有这是因为数字滤波器指标中有 ，转换到过渡模拟，转换到过渡模拟滤波器指标中，滤波器指标中，T 取不同值时一定有取不同值时一定有 ，模拟滤波器在模拟滤波器在1/2采样频率以上响应特性一定都很小（阻采样频率以上响应特性一定都很小（阻带），再变换到数字滤波器时引起的混叠都较小。带），再变换到数字滤波器时引起的混叠都较小。s /2sssTTF 小结：小结：( )( )()( )(

41、)aaaH sh th nTh nzH z模模拟拟滤滤波波器器采采样样变变换换得得数数字字滤滤波波器器1( )NkakkAHsss 若若 1) 脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，的，与与是线性关系。是线性关系。 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变

42、法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。到的仍是线性相位的低通数字滤波器。()()/jaH eHjT 11( )1kNks TkAH zez 则则 2) 在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。不变法。 3) 如果如果Ha(s) 是稳定的，即其极点在是稳定的，即其极点在 S 平面的左半平面，映平面的左半平面，映射后得到的射后得到的 H(z) 也是稳定的，其极点在也是稳定的，其极点在 Z 平面单位圆内。平面单位圆内。 4)

43、脉冲响应不变法的最大缺点：有频响特性的周期延拓效应脉冲响应不变法的最大缺点：有频响特性的周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性。如衰减特性很好的低通或带，因此只能用于带限的频响特性。如衰减特性很好的低通或带通滤波器，高频衰减越大，频响的混叠效应越小；至于高通和通滤波器，高频衰减越大，频响的混叠效应越小；至于高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在带阻滤波器，由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。因此不能用于设计高通和带阻滤波器。低频响应中。因此不能用于设计高通和带阻滤波器。 6.3.2 双线性变换法设计双线性变换法设计IIR数字滤波器数字滤波器n克服脉冲响

44、应不变法的频谱混叠现象，采用非线性频率压克服脉冲响应不变法的频谱混叠现象，采用非线性频率压缩方法。缩方法。n双线性变换法的基本设计思想双线性变换法的基本设计思想脉冲响应不变法：波形逼近脉冲响应不变法：波形逼近双线性变换法：算法逼近。双线性变换法：算法逼近。用线性常系数差分方程用线性常系数差分方程逼近逼近线性常系数微分方程线性常系数微分方程n微分方程到差分方程的近似微分方程到差分方程的近似微分方程微分方程近似近似差分方程差分方程11( )( )NNkaakkkkAHsHsss ( )kakkAHsss ( )( )( )akakadyts ytA xtdt ( ) ( )(1)/,( )()(

45、) ( )(1)/ 2( ) ( )(1)/ 2,( )()aaaaadyty ny nTy nynTdtyty ny nxtx nx nx nxnT ( )(1)/ ( )(1)/ 2 ( )(1)/ 2kky ny nTsy ny nA x nx nn系统函数系统函数n 有有nS 域到域到 Z 域的映射为双线性变换域的映射为双线性变换112 1111( )( )2 11kzkaksTzkAHzHszsTz 112 11( )( )zasTzH zHs 112 11zsTz 脉冲响应不变法的主要缺点是频响交叠产生的混淆，这脉冲响应不变法的主要缺点是频响交叠产生的混淆，这是从是从S平面到平面到

46、Z平面的标准变换平面的标准变换zesT的多值对应关系导致的的多值对应关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步：为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个第一步：将整个S平面压缩到平面压缩到S1平面的一条横带里；平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面平面上去。上去。 由此建立由此建立S平面与平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象。性，也就消除了混淆现象。双线性变换法的映射关系双线性变换法的映射关系n 正切变换实现频率压缩：正切变换实现频率压缩：121ta

47、n()2TT 式中式中T仍是采样间隔，当仍是采样间隔，当1从从-/T经过经过0变化到变化到/T时，时，则由则由-经过经过0变化到变化到+，实现了，实现了S平面上整个虚轴完全压平面上整个虚轴完全压缩到缩到S1平面上虚轴的平面上虚轴的/T之间的转换。之间的转换。考虑到：考虑到：令令 s=j ， s1=j 1则有则有111212 1()21s Ts TesthTTTe11111221122sin()22212th()2cos()2TTjjTTjjTeejjTTTTTee n 再通过再通过 转换到转换到Z平面上，得到：平面上，得到：1s Tze112 11zsTz双线性变换的性能分析双线性变换的性能分析n稳定性稳定性映射关系映射关系1122TTzSS1()1()22TTjj 222221/ 2(/ 2)1/ 2(/ 2)TTzTT 010101zzz 因果稳定因果稳定( )aHs因果稳定因果稳定( )H z非线性频率压缩非线性频率压缩n非线性关系消除了频率混叠，但会带来幅度和相位失真。非线性关系消除了频率混叠，但会带来幅度和相位失真。/2/2/2/2/2/2