曲线积分_曲面积分_矢量分析初步_习题课

1、上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院1第九章第九章 曲线积分曲线积分 曲面积分曲面积分 矢量分析初步矢量分析初步习题课习题课上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院2（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院3曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）

2、曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院4 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos( 计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (与方向有关)上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院5与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连

3、通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院6 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10

4、联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院7定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院8点点函函数数)(,)(lim)(10

5、MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 时时上上区区间间当当.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上上区区域域当当积分概念的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院9 dVzyxfdMfR),()(,3 时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdMfR 时时上上空空间间曲曲线线当当.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 时时上上曲曲面面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 时时上平面曲线上平面曲线当当曲线积分曲线积分上一页上一页下一页下一页

6、湘潭大学数学与计算科学学院10计算上的联系)( ,),(),()()(21面面元元素素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121体体元元素素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线线元元素素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投投影影线线元元素素上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院11 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxd

7、yRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos( )(曲曲面元素面元素dS)(投影投影面元素面元素dxdy上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院12理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院133.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdx

8、PdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院14 DLdxdykArotsdA)( DLdxdyAdivdsnA)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系 dSnArotdSA)( RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQx

9、PPdyQdx)(或推广推广为平面向量场为平面向量场)(MA为为空空间间向向量量场场)(MA上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院15梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院16二、二、典型例题典型例题1. 基本方法基本方法曲线积分曲线积分第一类第一类 ( 对弧长对弧长 )第二类第二类 ( 对坐标对坐标 )(1) 统一积分变量统一积分变量转化转化定积分

10、定积分用参数方程用参数方程用直角坐标方程用直角坐标方程用极坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限确定积分上下限第一类第一类: 下小上大下小上大第二类第二类: 下始上终下始上终(一一)、曲线积分的计算法、曲线积分的计算法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院17(1) 利用对称性及重心公式简化计算利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式利用格林公式 (注意注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式利用两类曲线积分的联系公式 .2

11、. 基本技巧基本技巧上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院18例例1. 计算计算,d)(22szyxI其中其中 为曲线为曲线02222zyxazyx解解: 利用轮换对称性利用轮换对称性 , 有有szsysxddd222利用利用重心公式重心公式知知sysydd0szyxId)(32222sad322334azoyx( 的的重心在原点重心在原点)上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院19例例2. 计算计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中其中L 是沿逆是沿逆时针方向以原点为中心时针方向以原点为中心,CoyxABL解法解法1 令令,22xyQyxP则则xQ这说明积分与路径

12、无关这说明积分与路径无关, 故故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周为半径的上半圆周.上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院20解法解法2 ,BA它与它与L所围区域为所围区域为D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式利用格林公式)思考思考:(2) 若若 L 同例同例2 , 如何计算下述积分如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 若若L 改为改为顺时针方向顺时针方向,如何计算下述积分如何计算下述积分:BALyxyxyxI

13、d)(d)(22则则添加辅助线段添加辅助线段上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院21思考题解答思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0: t332aICoyxABLD上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院22例例 3 3 计计算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, , 其其中中L为为由由点点)0 , 0(O到到点点)1 , 1(A的的曲曲线线x

14、y2sin . . 思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI闭合闭合非闭非闭闭合闭合 DdxdyyPxQI)(非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院23解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故故原原式式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(422由由上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院24例例 4 4 计计算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , 其其中中

15、L为为由由点点)0 ,(a到到点点)0 , 0(的的上上半半圆圆周周0,22 yaxyx. . 解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP 即即( (如下图如下图) )上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院25xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院26曲面面积的计算法曲面面积的计算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyz

16、z221dsyxfSBAL ),(),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLABab上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院27曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 LDyxdsyxfdffS),()11(22 xzyo),(yxfz LD如图曲顶柱体，如图曲顶柱体，上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院28例例 5 5 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx内内的的侧侧面面积积. . 解解由对称性由对称性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos33 ttytx参数方程为参数方程为上一页上一页下一页下

17、一页湘潭大学数学与计算科学学院29,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院30(二二)、曲面积分的计算法、曲面积分的计算法1. 基本方法基本方法曲面积分曲面积分第一类第一类( 对面积对面积 )第二类第二类( 对坐标对坐标 )转化转化二重积分二重积分(1) 统一积分变量统一积分变量 代入曲面方程代入曲面方程(2) 积分元素投影积分元素投影第一类第一类: 始终非负始终非负第二类第二类:

18、有向投影有向投影(3) 确定二重积分域确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院31思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例.2) 设曲面设曲面,),( ,0:Dyxz问下列等式是否成立问下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不对不对 ! 对坐标的积分与对坐标的积分与 的的侧有关侧有关 Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院322. 基本技巧基本技巧(1)

19、利用对称性及重心公式简化计算利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用条件注意公式使用条件添加辅助面的技巧添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化两类曲面积分的转化上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院33在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧为平面为平面为连续函数为连续函数其中其中计算计算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例6xyoz111 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系,1 , 1, 1

20、n的的法法向向量量为为.31cos,31cos,31cos 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院34dSzzyxfyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院35向量点积法向量点积法 ,1,),(:yxffyxfz 法法向向量量为为设设 RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1 , dSnA0, dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyxDxy 面面投投影影在在将将上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院36所所截截部部分

21、分的的外外侧侧被被平平面面锥锥面面为为其其中中计计算算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例7解解,2222yxyfyxxfyx D 利用向量点积法利用向量点积法上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院37 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyDdxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyI 1 ,2222241:22 yxDxy上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院38例例 8 8 计计算算曲曲面面积积分分 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , 其其中中 是是由由曲曲线线)31(01 yxyz绕绕 y

22、轴轴旋旋转转一一周周所所成成的的曲曲面面, ,它它的的法法向向量量与与 y轴轴正正向向的的夹夹角角恒恒大大于于2 . . 解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为绕绕( (如下图如下图) )上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院39xyzo132 * *I且且有有dxdydzzRyQxP)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲欲求求 dv上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院40 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 xzDxzdydxdz3122 312

23、0202dydd上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院41例例9.证明证明: 设设(常向量常向量)则则单位外法向向量单位外法向向量, 试证试证Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设设 为简单闭曲面为简单闭曲面, a 为为任意固定任意固定向量向量, n 为为 的的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院42例例10. 计算曲面积分计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdd

24、dddd333其中其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134思考思考: 本题本题 改为椭球面改为椭球面1222222czbyax时时, 应如何应如何计算计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧内侧, 然后用高斯公式然后用高斯公式 .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院432121I例例11. 设设 是曲面是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: 取足够小的正数取足够小的正数 , 作曲面作曲面取下

25、侧取下侧 使其包在使其包在 内内, 2为为 xoy 平面上夹于平面上夹于之间的部分之间的部分, 且取下侧且取下侧 ,1与21ozyx取上侧取上侧, 计算计算, )0( z则则上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院4421ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二项添加辅助面第二项添加辅助面, 再用高斯公式再用高斯公式计算计算, 得得上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院45例例12. 计算曲面积分计算曲面积分其,d2)(22SzyzyxI中中 是球面是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32

26、SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性利用对称性用重心公式用重心公式上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院46xzoy例例13.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设设L 是平面是平面与柱面与柱面1 yx的交线的交线从从 z 轴正向看去轴正向看去, L 为逆时针方向为逆时针方向, 计算计算 解解: 记记 为平面为平面2zyx上上 L 所围部分的上侧所围部分的上侧, D为为 在在 xoy 面上的投影面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLD上一页上一页下一页下一

27、页湘潭大学数学与计算科学学院47Dyxyxdd)6(2Dxyo11D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院48一、一、 选择题选择题: :1 1、 设设L为为230,0 yxx, ,则则 Lds4的值为的值为( ).( ). (A) (A)04x， (B) (B),6 (C) (C)06x. .2 2、 设设L为直线为直线0yy 上从点上从点),0(0yA到点到点),3(0yB的的有向直线段有向直线段, ,则则 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 0

28、6y; (C)0.; (C)0.3 3、 若若L是上半椭圆是上半椭圆 ,sin,costbytax取顺时针方向取顺时针方向, ,则则 Lxdyydx的值为的值为( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab2 ; (C); (C)ab . .测验题测验题上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院494 4、设、设),(,),(yxQyxP在单连通区域在单连通区域D内有一阶连续内有一阶连续 偏导数偏导数, ,则在则在D内与内与 LQdyPdx路径无关的条件路径无关的条件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分条件充分条件; (B); (B)必要

29、条件必要条件; (C); (C)充要条件充要条件. .5 5、设、设 为球面为球面1222 zyx, ,1 为其上半球面为其上半球面, ,则则 ( ) ( )式正确式正确. . (A) (A) 12zdszds; ; (B) (B) 12zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1222dxdyzdxdyz. .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院506 6、若、若 为为)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 则则 ds等于等于( ).( ). (A) (A) rrdrrd022041 ;(B);(B) 2022041rdrrd ; ; (C)(C

30、) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 为球面为球面2222Rzyx 的外侧的外侧, ,则则 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyx22222; ; (B) (B) 2 2 xyDdxdyyxRyx22222; ; (C) 0(C) 0 . .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院518 8、曲面积分、曲面积分 dxdyz2在数值上等于在数值上等于( ).( ).(A)(A) 向量向量iz2穿过曲面穿过曲面 的流量；的流量；(B)(B) 面密度为面密度为2z的曲面的曲面 的质量；的质量；(C)(C) 向量向量kz2穿过曲面穿

31、过曲面 的流量的流量 . .9 9、设、设 是球面是球面2222Rzyx 的外侧的外侧, ,xyD是是xoy面面 上的圆域上的圆域222Ryx , ,下述等式正确的是下述等式正确的是( ).( ). (A) (A) xyDdxdyyxRyxzdsyx2222222； (B) (B) xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222； (C) (C) xyDdxdyyxRzdxdy2222. .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院521010、若、若 是空间区域是空间区域 的外表面的外表面, ,下述计算中运用奥下述计算中运用奥- -高高 公式正确的是公式正确的是( ).( ). (A) (A) 外侧外侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (B) (B) 外侧外侧zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (C) (C) 内侧内侧dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)12(. .上一页上一页下一页下一页湘潭大学数学与计算科学学院53二、计算下列各题二、计算下列各题: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 为曲线为曲线 ,sin,costzttyttx)0(0