如何求数列通项公式导学学案

1、第 PAGE 11 页 共 10 页如何求数列通项公式一、累加法（也叫逐差求和法）：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例1 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而利用逐差求和法求得数列的通项公式。例2 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而利用逐差求和法求得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。二、累乘

2、法（也叫逐商求积法）:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).例4 已知,求数列通项公式.【解析】： ,且当时，满足，.反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.例5 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例6已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则故由，则，又知，则，代入（3）得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。三、构造新

3、数列: 将递推公式（为常数，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列.例7 已知数列中, ,求的通项公式.【解析】:利用,求得,是首项为,公比为2的等比数列,即,反思:.构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.四、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。例8 已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】： ， ， ，又， .反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通

4、项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。六 倒数变换：将递推数列,取倒数变成 的形式的方法叫倒数变换.例10 已知数列中, ,求数列的通项公式.【解析】:将取倒数得: ,是以为首项,公差为2的等差数列. ,.反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.四、待定系数法例7 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题

5、的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。例8 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设将代入式，得整理得。令，则，代入式得由及式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 将代入式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入式，得 由及式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进

6、而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。跟踪训练1.已知,求数列通项公式.跟踪训练2.已知数列满足,且.则的通项公式是.跟踪训练3.已知数列中, ,求数列的通项公式.跟踪训练4.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.跟踪训练5.已知数列中, ,求数列的通项公式.跟踪训练6.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.跟踪训练1.已知,求数列通项公式.解：由已知,= .跟踪训练2.已知数列满足,.则的通项公式是.解：时, ,作差得: ,跟踪训练3.已知数列中, ,求数列的通项公式.5. 跟踪训练4.已知数列的前项和，满

7、足关系.试证数列是等比数列.证明：由已知可得：，当时，时，满足上式. 的通项公式,时为常数,所以为等比数列.跟踪训练4.已知数列中, ,求数列的通项公式. 6. 跟踪训练6.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.解:由已知可求,猜测.(用数学归纳法证明).,. 五、对数变换法例10 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得设 eq oac(,11)将式代入 eq oac(,11)式，得，两边消去并整理，得，则，故代入 eq oac(,11)式，得 eq oac(,12)由及 eq oac(,12)式，

8、得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。六、迭代法例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二 已知数列中，求数列的通项公式.【解析】：，猜测，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.例12 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13