高中数学《曲线与方程》自测试题

1、答案：1.A2.yx3.y2122015年高中数学曲线与方程自测试题【梳理自测】一、曲线与方程1f(x，y)0是点P(x，y)在曲线f(x，y)0上的()0000A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2方程(xy)2(xy1)20表示的是()A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点D以上答案都不对答案：1.C2.C以上题目主要考查了以下内容：一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是方程f(x，y)0的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做

2、方程的曲线二、直接法求轨迹方程PMPN1若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足0，则P点的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线APBP2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则P点的轨迹方程是_N3过圆x2y24上任一点P作x轴的垂线PN，为垂足，则线段PN中点M的轨迹方程为_x24以上题目主要考查了以下内容：(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0.化方程f(x，y)0为最简形式说明以化简后的方程的解为坐标的点都在

3、曲线上(2)两曲线的交点由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组无解，两条曲线就没有交点【指点迷津】1一个核心问题通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题2二个检验方向求出轨迹方程后，从两个方面检验曲线上所有点的坐标都适合方程；方程的解表示的点都是曲线上的点3五种方法求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0；(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线

4、方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x，y，再将x，y代入已知曲线得要求的轨迹方程；(5)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，条件确定其待定系数；(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x，y)的变化而变化，并且Q(x，y)又在某已00000000y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程考向一直接法求轨迹方程MPMNPMPNNMNP例题1已知两点M(1,0)，N(1,0)，且点P使

5、，成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程【审题视点】首先设出点P坐标为(x，y)，然后计算各个数量积，根据题目已知直接表示等量关系，整理求得点P的轨迹方程MPMNMPMN【典例精讲】设点P(x，y)，则(x1，y)，NP(x1，y)，(2,0)故2(x1)，PNMPNPNPPM(x1)(x1)y2x2y21，NM2(x1)2(1x)MPMNPMPNNMNPNMNPMPMN，成公差小于零的等差数列，2(x2y21)2(x1)2(1x)且2(1x)2(x1)4x0，整理得x2y23(x0)故点P的轨迹方程为x2y23(x0)【类题通法】运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的

6、过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略变式训练1如图所示，已知F(1,0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为QPQFFPFQ点Q，且.求动点P的轨迹C的方程例题2已知点A，0，点B是圆F：x2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平FPQPQFQPQF解析：设点P(x，y)，则Q(1，y)，(x1，y)，(x1,0)，(2，y)，由FPFQ，得(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得C：y24x.考向二用定义法求轨迹方程1122分线交BF于点P，求动点P的

7、轨迹方程【审题视点】由线段的垂直平分线定义转化为椭圆的定义，求椭圆方程P点轨迹为以A，0，F，0为焦点，长半轴长为1的椭圆1b2又c，a1，b2a2c2.故P点的轨迹方程为x2y21.圆圆心M的轨迹方程所以|MC|MC|BC|AC|312.这表明动点M到两定点C、C的距离的差是常数2，且小于|CC|6.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C的距离大，到C的距离小)，这里a1，c3，则b28.设点M的坐标为(x，y)，y2其轨迹方程为x21(x1)例题3设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN2MP，PMPF，当点P在y轴上运动用x、y表示x及y代入x与y的关系式【典例

8、精讲】设M(x0)，P(0，y)，N(x，y)，(x，y)(1，y)0，xy20.【典例精讲】如图，连接PA，依题意可知|PA|PB|.|PA|PF|PB|PF|BF|21.1212x2y2其方程可设为1.132443【类题通法】在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程，同时注意变量范围变式训练2已知圆C：(x3)2y21和圆C：(x3)2y29，动圆M同时与圆C及圆C相外切，求动1212解析：如图，设动圆半径为r.|MC|r1，|MC|r3，122

9、1212112218考向三相关点(代入)法求轨迹时，求点N的轨迹方程【审题视点】设N(x，y)，M(x0)，P(0，y)，由已知条件，建立x，y与x，y之间的关系：10,00000000,0PMPFPMPF，(x，y)，(1，y)，00000000MP由MN2得(xx，y)2(x，y)，000 xx02x0yyy2y0 x0 x，即102.x0，即y24x.y24故所求的点N的轨迹方程是y24x.【类题通法】“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x，y)；11(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1fx，y，ygx，y；1(3)代换：将上述关系式代

10、入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程变式训练3已知ABC的两个顶点为A(2,0)，B(0，2)，第三个顶点C在曲线y3x21上移动，求ABC重心的轨迹方程解析：设ABC的重心G(x，y)，C(x，y)，则00 xx2，yy2，x03x2，0033即y03y2.3y23(3x2)21，整理得y9x212x3.典型例题(2014山东高考专家原创卷)已知抛物线y22px经过点M(2，22)，椭圆2|OQ|又椭圆的离心率为，所以a2，可得b2413，故椭圆的方程为1.(2)设Q(x，y)，其中x2,2，设P(x，y)，因为P为椭圆上一点，所以01，解得y2点C在y3x21上，y3x21.00AB

11、C重心的轨迹方程为y9x212x3.求曲线方程的规范解答x2y2a2b211的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.(1)求抛物线与椭圆的方程；|OP|(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，(0)，试求Q的轨迹【审题视点】根据抛物线及椭圆的性质求其方程，利用直接法求Q点轨迹方程【思维流程】代入法求P.利用离心率的定义及a、b、c之间的关系，求a与b，写椭圆方程设Q点，进而设P点，并转换两点坐标把Q、P点坐标代入已知等式，并整理方程根据x2的系数为正数、负数、零讨论曲线特征【规范解答】(1)因为抛物线y22px经过点M(2，22)，所以(22)24p，解得p22分

12、所以抛物线的方程为y24x，其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c1.1x2y22436分x2y204304|OQ|OQ|2x23x23|OP|OP|23x2.由可得2，故34x2y22，得2x22y23，x2,2.9分当2，即时，得y212，点Q的轨迹方程为y23，x2,2，此轨迹是两条141142平行于x轴的线段；x2当2，即0时，得到13211423y2421，此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x当2，即时，得到422,2的部分；11分1142x23y21321，此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x2,2(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程(2)设P(x，y)由已

13、知得0.|x0y0|1，的部分.12分【规范建议】(1)在第(1)问中要有代入过程及求解a、b的过程(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题真题体验1(2013高考全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；22解析：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.|xy|200022又P点在双曲线y2x21上，从而得y2x21.00 x0y01，x00，由y2x2100得y1.0此时，圆P的半径r3.x

14、0y01，x00，由得此时，圆P的半径r3.y2x21y1，000故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.2(2013高考陕西卷)已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率.解析：(1)如图，化简得1，动点M的轨迹C的方程为1.设点M到直线l的距离为d，根据题意，d2|MN|，由此得|4x|2x12y2，x2y2x2y24343(2)方法一：B(x，y)，如图.x2y2将ykx3代入1中，有(34k2)x224kx240，其中，(24k2)424(34k2)由根与系数的关系，得xx，由题意，设直线m的方程为ykx3，A(x，y)，11224396(2k23)0，24k1234k2xx241234k2.8k1234k234k