避开斜率讨论

1、避开斜率讨论，巧解一类直线题直线方程X = my + n的妙用关键词：直线，斜率，方程x = my + n绪论：我们知道，“解析几何”是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 由于它开创了数、形结合的研究方法，因此，它给我们的数学注入了新的活力. 直线是最常见、最基本的简单几何图形之一，它的方程是解析几何的基础知识. 直线的方程常用的有五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，此 外，还有参数式等.在使用直线方程的各种形式时，要注意它们各自的限制条件， 如点斜式的使用条件是直线必须存在斜率；截距式的使用条件是两截距都存在且 不为零；两点式的使用条件为直线不与X轴垂直，也不与y轴垂直.正

2、文：在使用直线的方程时，通常我们都应该根据直线满足的几何条件，选 择合适的方程形式.但是有时会出现这样的问题，不知道直线是否存在斜率.这时， 通常的做法是分类讨论，即根据直线的斜率存在与否，分两种情况分别说明.那 么，有没有一种避开讨论，而又相对简捷的方式呢？本文试图介绍处理这类问题 的一种手段.先看例1 过抛物线y2 = 2px(p 0)的焦点F的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y ,y .求证：y -y =-p2.1212通常的解法思路是：直线过焦点F，考虑直线方程的点斜式.但由于不知道 当直线斜率不存在时是否也满足结论，因此又需要验证这种情况.该解法为：由于这条直线不平行于抛物线

3、的对称轴(X轴)，所以当直线的 斜率存在时，设其方程为y = k (x - P) (k。0)由式，得x - + P，代入y2 = 2px，得k 22 py2 - y - p2 = 0，k由题意，可知yi，y 2是该方程的两个根，二 y - y = p2.而当直线的斜率不存在时，其方程为代入 J2 = 2px，得：J2 = p2此时，)七=-P2仍成立.综上可知，原命题成立.显然，上述解法中，联立直线的方程和抛物线的方程进行了两次运算，不仅 费时费力，而且还不容易考虑全面.那么，针对上述问题，有没有一种方便快捷 而又能两者兼顾的方法呢？假若设直线方程为x = my + P，则当m。0时，方程为y

4、 = 1(x - P)，此时2m 2它表示斜率不为零的直线Q (这里k =-)；当m = 0时，方程即为x = P 9.m2p将 x = my + 代入 y2 = 2px，得：y2 - 2pmy - p2 = 02由韦达定理，得：y1 y2 = -p2，结论成立.通过对比，不难看出直线方程设为x = my + p后，只需一次代入消元即可完 成通常需要两次才能完成的任务，可谓事半功倍！说到这里，可能有人问，直线方程为什么可以这样处理呢？下面让我们来分 析一下它的来源.我们知道，在直线方程的一般式Ax + By + C = 0中，A, B是不同时为零的.C当A = 0时，由于B。0，所以方程可化为

5、y = - ，它表示与y轴垂直的直B线；当A = 0时，由于B可以为零，也可以不为零，又分两种情况讨论：一,、一一， C若B = 0，则方程为x = - ，它表示与x轴垂直的直线；A一 A C A A.若B。0，则方程为y = - x ，它表示斜率为-一(-一。0 )， 在BBBBCy轴上截距为-C的直线.B由此可知，当A。0时，方程Ax + By + C = 0表示不与y轴垂直的直线，此 时方程又可化为x = - By - C .为了表示简单起见，我们不妨将其设为A Ax = my + n这里，n表示直线在x轴上的截距.显然，上例中方程“ x = my + P ”中的P正是过抛物线y 2 =

6、 2px(p 0)的焦22点F的直线在x轴上的截距.下面来看一个例子，体会一下方程“ x = my + n”在解决这类直线问题时所发 挥的作用.例2已知定直线l: x = -1，定点F(1,0)，P经过F且与1相切.求P点的轨迹C的方程.是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且 以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由.解析：(I)由题设可知，点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等.根据 抛物线定义，点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线.不难求出，点P的 轨迹C的方程为：y2 = 4x.(II)由于直线AB不垂直于y轴，可设其方程为x

7、= my + n，代入抛物线方程y 2 = 4x，整理y 2 4my 4n = 0设 A(x1, y1)，B(x , y )，则y和y是上面方程的两个根，2212y + y =4m，y y =4n .以AB为直径的圆都经过原点，OA OB， y y + x x =01 21 2 y y = 16，二4n = 16，n = 4.直线AB为x = my + 4，它恒过定点M(4,0).通过上例不难看出，应用方程x = my + n来处理斜率是否存在的这类直线问 题，可以避开讨论.不但节省了时间和精力，提高了数学解析化的能力，更重要 的是发展了创新思维的乐趣，提高了学习的效率和兴趣，何等快哉！现在，

8、让我们回过头来再挖掘一下例1，我们试图探讨过抛物线轴上任一 定点的直线，如果和抛物线交于两点，是否也有yiy2为定值呢？例3设M(a,0)是抛物线y2 = 2px(p 0)的轴上一定点，过M的直线交抛物线于A( x , y )，B( x , y )两点，则yy和xx均为定值.1221212证明：设直线AB的方程是x = my + a，代入y2 = 2px，得y 2 - 2 pmy - 2 pa = 0，由韦达定理，得：y1 - y2 = -2pa (定值)，x x = 1y2 = a2 (定值).1 24 p 2方法独到，简捷明了，一语道破！如果你感兴趣的话，还可以探讨例1和例3的逆命题是否也

9、都成立？结论是肯定的！由此我们还可以得到下面更具有一般意义的新命题：设A(x , y )，B(x , y )是抛物线y2 = 2px(p 0)上两点，则直线AB过定点22M (a,0)的充要条件是y1 - y2 = -2pa .真可谓是一通百通，融会贯通！解析几何是方法论大师笛卡儿的划时代创造，它开创了数、形结合的研究方 法，从而使数学的发展进入了一个新的时代.无怪乎恩格斯对笛卡儿的这一发现 给予高度评价，说“数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数，运动进入了数 学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就成为必要的了.”最后，顺便给一道练习供大家思考：已知方向向量为v = (1/3)的直线l过点(0,-3)和椭圆C : |2 + b- = 1(a b 0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.(1)求椭