复数知识框架

1、复数的概念复数的儿何意义复数同四刘运算方山匚高考要求数系的扩充与复数的引 入要求层 次重难点复数的基本概念，复数 相等的条件B了解数系的扩充的基本过程与复数的概 念；掌握复数的几何意义与复数的代数形式 的四则运算法则复数的代数表示法及 几何意义A复数代数形式的四则 运算C复数代数形式加减法 的几何意义A刖就 知识内容一、复数的概念1.虚数单位i:它的平方等于-1,即i2 = -1；实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.i与一1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程尤2 =1的一个根，方程尤2 =1的另一个根是-i.(4)i的周期性：i4n+1 = i , i4n+

2、2 = 1 , i4n+3 = i , i4n = 1.2 .数系的扩充：复数a + bi J实数 a(b = 0)虚数a + bi(b。0)纯虚数bi(a = 0)非纯虚数a + bi(a A 0)3.复数的定义:形如a + bi(a,b e R)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示 4.复数的代数形式：复数通常用字母乙表示，即z = a + bi (a, b e R)，把复数表示成a +布的形式，叫做 复数的代数形式.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a + bi (a, b e R)，当且仅当b = 0时，复数a + bi (a

3、, b e R)是实数a ；当b A 0时，复数z = a + bi叫做虚数；当a = 0且b A 0时，z = bi叫做纯虚数；当且仅当 a = b = 0时，z就是实数0三正实数I， 之是实数冰J 2实数0复数I上负实数3 屯虚数阮、旦点虚数(Q3,低R)、三曳非纯虚数的虚数复数集与其它数集之间的关系：N荷Z Q荷R C两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说， 如果a，b，c，d e R，那么 a + bi = c + di o a = c,b = d二、复数的几何意义复平面、实轴、虚轴：复数z = a +贝a,beR)与有序实数对(a,

4、b)是一一对应关系.建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z = a + bi(a,b e R)可用点Z(a,b)表示， 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，工轴叫做 实轴，J轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z = 0 + 0i = 0表示是实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数z = a + bi 一一对感复平面内的点Z(a,b)这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.三、复数的四则运算1.复数zi与z2的和的定义：z + z

5、= (a + bi)+ (c + di) = (a + c )+ (b + d )i 2.复数zi与z2的差的定义：zi - z2 = (a + bi)-(c + di)= (a - c)+(b - d)i3.复数的加法运算满足交换律:z + z = z +z1221复数的加法运算满足结合律:(z + z ) + z = z + (z + z )123123乘法运算规则：设 z = a + bi， z = c + di (a、b、c、 d e R)是任意两个复数，12那么它们的积 z z =(a + bi)(c + di)= (ac 一bd)+(bc + ad)i其实就是把两个复数相乘，类似两

6、个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成-1， 并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.乘法运算律：z (z z )=(z z ) z12 31 23( z - z ) - z = z - (z - z )123123z1 (z+ zg= z1 z2 + z1 z3满足(c + di)G + yi)= (a + bi)的复数x + yi (x、y e R)叫复数a + bi 除以复数c + di的商，记为：(a + bi) + (c + di)或者冬 c + di除法运算规则:设复数a + bi (a、b e R)，除以c + di (c , d e R)，其商为 x + yi

7、(工、y e R),即(a + bi) + (c + di)= x + yi(x + yi)(c + di) = (cx - dy)+ (dx + cy)i得ac + bdx =c 2 + d 2bc 一 ady =c2 +d2.(cx - dy)+ (dx + cy)i = a + biI cx - dy = a, 由复数相等定义可知(，解这个方程组I dx + cy = b.ac + bd bc 一 ad .于是有：(a + bi) + (c + di) =+ic 2 + d 2 c 2 + d 2利用(c + di)(c - di)= c2 + d2于是将业的分母有理化得: c + di

8、原式=a + bi _(a + bi)(c 一 di) _ ac + bi - (-di) + (bc 一 ad)i c + di(c + di)(c 一 di)c 2 + d 2(ac + bd) + (bc 一 ad )i ac + bd bc 一 ad .=+ i.c 2 + d 2c 2 + d 2 c 2 + d 2.(a + bi) ：(c + di)= ac + b + bc-ad ic 2 + d 2 c 2 + d 2点评:是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分 母有理化思想方法，而复数c+di与复数c-di，相当于我们初中学习的.3 + .J2 的对偶式提-克，它们之积 为1是有理数，而(c + di)(c - di)= c2 + d2是正实 数.所以可以分母实数化.把这种方法叫做分母实数化法.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数