求数列通项问题的思维流程研究(共8页)

1、求数列(shli)通项问题的思维流程研究山东(shn dn)博兴县第二(d r)中学 （256500） 卢振路 求数列的通项是高中数学中数列部分的最基本问题之一，对它的研究涉及到的知识点多，综合性强，是学生学习的一个难点。本文试图在详细剖析各类求数列的通项问题的基础上，从学生解题的思维流程角度，找出各类问题之间的内在联系，总结出解决这类问题的一般的思维模式. 求数列的通项问题的基本类型及其解题规律如下： 一、已知数列 的递推关系式，求通项 【例1】已知数列 满足=8 , =2 , 且 -2+ =0 (nN+)，求通项. 解：nN+ ，-2+ =0，-=- ,-=-=-=-，数列是等差数列.故可

2、设其通项公式为=-(n-1)d ( nN+),由=+(4-1)d可得,d= -2, =-2 n+10( nN+). 本题给出的递推公式稍加变形后,正好符合等差数列的定义,所以可根据给定的条件由待定系数法直接求得. 【例2】已知：各项均为正数的数列an满足=1, (n+1) + -n=0（nN+),求其通项. 解法一：(n+1)+-n=0， (n+1) +-n=0 ， =-1（舍去），或 = ， 由 = （n N+)可得, = = = = = , 即 = . 解法(ji f)二：同解法一 得到 = （n N+)， 即(n+1) -n=0（n N+),故n是公差为0的等差数列(dn ch sh l

3、i)，所以n=1=1，即= （n N+). 解法(ji f)三：同解法一 得到 = （n N+)，由 =1可得，= ，= ，= ，故可猜想= （n N+)，再由数学归纳法证明（略）. 本题在无法直接使用基本数列（指等差数列和等比数列，下同）定义的情况下，可连续使用递推公式（以下称这种方法为“迭代法”）而得到数列的通项.如果考虑不到这一点或者无法实施这种迭代,可考虑引进辅助数列,使得 =f()（n N+),如果的满足基本数列的定义或者可使用迭代而能求出其通项,也就得到了的通项.如果引进辅助数列的方法仍旧无法奏效,还有最后一招，即采用归纳猜想证明的方法,之所以把它作为最后一招,因为毕竟它是以上各种

4、方法中最繁琐的一种,而我们的学生却往往把它作为首要的方法,这种思维顺序上的颠倒应予纠正.二、已知数列的前n项和求通项 【例3】已知数列的前项和=+3,nN+,求通项an. 解：当n=1时，=2+3=5 ；当n2，nN+时, =- =+3-3=， 故an= . 已知数列(shli)的前n项和求通项问题(wnt)可直接利用 与的关系式 = (以下(yxi)简称该关系式为“基本关系”）求得 ，但需要特别注意的是,使用这个关系式必须对n=1时的情形单独讨论 ，特别是不适和当n2时的表达式时，忽略这一点就会致错. 【例4】数列对于nN+,r为常数, 都满足+= 9-6n,求通项. 解：+= 9-6n（n

5、N+）即为数列的前n项和,当n=1时，=9-6=3 ,当n2，nN+时，=-=9-6n-9+6(n-1) =-6, = . 本题表明在未知数列的前n项和的情况下,和第一类问题类似的是,如果知道了的辅助数列的前n项和,则可通过求出的通项而得到的通项. 三、已知数列的前n项和与通项的关系式求通项 【例5】已知是数列的前n项和，且=5-3（nN+），求数列的通项. 解： nN+都有=5-3, n2时 , -=5（-）=5 , 4=即 = -（n2）, 又当n=1时，由 =53 可得 = ， 是一个(y )首项为 ，公比(n b)为 - 的等比数列(dn b sh li)，故= . 本例表明已知数列的

6、前n项和与通项的关系式求通项问题,在多数情况下可直接利用基本关系= 消去与有关项 后可得到的递推公式,从而转化为第一类问题而解决.因此解决此类问题的首要步骤是力求获得的递推公式.【例6】 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且=( + ) ,（nN+） , 求此数列的通项. 解：n2时 =-,=( + )可化为= (-+ ),化简得 = 1 , 又当n=1时，由 = = ( + ) 可得 ， =1, 是一个首项为1，公差为 1的等差数列, =1+n-1=n，从而= , n2时 =-= - ， 又 当n=1时，a =1也适合上式,= -（nN+）. 本题在探索思路时也试图象例5那样(nyng)获

7、得 的一个递推公式,但事实(shsh)表明,这种努力是徒劳的,也就是说通向转化(zhunhu)为第一类问题的道路被堵塞了.此时,考虑到求出转化为第二类问也可求出通项,就果断地利用基本关系消去,先得到的递推公式,根据第一类问题的解法求出 ,再根据第二类问题的解法求出.当然作为一种几乎是万能的解法,如果以上的思路无法奏效,我们还可以利用归纳猜想证明的方法来解决,但是考虑到它的繁琐,我们把它作为最后的出路.根据以上的分析,我们可以的出如下结论:1.对于每一类数学问题,仅仅知道它有几种解法是不够的,更重要的是我们应该弄清每种解法的使用条件及其相互关系,建立正确合理的思维顺序.2.对于求数列的通项这类问题,我们已经看到第三类问题的解决涵盖了前两类问题,前两类问题解决过程只是第三类问题的解决过程的一部分.因此,掌握了第三类问题,也就掌握了整个求数列的通项问题的解法. 基于以上认识,我们把第三类问题的解题思维过程用流程图的形式在下面给出,作为本文的结束语: 求数列(shli)通项问题的思维流程图已知的与关系式求通项已知的递推公式,求通项 归纳猜想证明已知求通项求出通项 是是否否否否否是是是是否可利用基本关系得到的 递推公式是否符合基本数列的定义?是否可使用迭代法?是否可引进基本数列,使