量子力学课件第5讲

1、 第 五 讲 . 态叠加原理 A.态叠加原理： 如果 是体系的一个可能态， 也是体系的一个可能态，则 是体系的可能态，并称 为 和 态的线性叠加态。 B讨论（经典波函数与量子波函数比较） ， 系数 不仅仅是展开系数。而是对体系测量 获得 值的几率振幅。 而描述自由粒子状态的最普遍的形式为 一个动量为 的自由粒子是以一个平面波 这表明，这一自由粒子有一定几率处于 态上，其几率为 态叠加原理的直接后果是要求波函数满足的方程，必须是线性齐次方程。 作为例子，介绍了一个描述波包的波函数 ， . 含时间的薛定谔方程（Austrian） 2526年间，将能量不连续和波动性联系起来，并将求粒子能量可能值的问

2、题归结为一定边条件下的本征方程求解问题，随后给出了含时间的薛定谔方程。这方程给出了描述微观粒子运动的波函数是怎样演化的。 A. Schroedingers equation的建立 有确定动量的自由粒子：根据de Broglie关系和Einstein关系 它应相应于一个de Broglies波这波函数满足 在这方程中无特殊参量 。它不仅对有确定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍的自由粒子的波函数也成立。 而 这一微分方程决定了描述自由粒子状态随时间的演化。 将上述情况推广，对于质量为 的粒子，在位势 中运动时，则因此，描述这一粒子运动的波函数应满足 最为普遍的方程是：体系的Hamiltonia

3、n 则称为含时间的 Schroedingers equation。 但应注意，同一力学量的经典表示，可得不同的量子力学表示 因此，经典的力学量，变为量子力学的力学量表示（即量子化），即算符时，应注意 和 对经典是一样的， 但对量子力学而言是不同的 。 所以规定： 在直角坐标中表示分量，再代入算符表示； 对于与 为线性函数形式的物理量， ，则取 （ 为实函数 ）； 如果是矢量，则在 直角坐标下的分量表示，然后再作替换 ，再换为其它坐标。 如 但如从 不对。 B. 对Schroedinger equation的讨论 1. 量子力学的初值问题： 当体系在 时刻的状态为 时，以后任何时刻的波函数就完全

4、由 S.eq.所决定（因对 是一次偏微商）。这就是量子力学的因果律， 即决定状态的演化。 如 ，即与时间无关，那 时刻的解可表为（如 时为 ） 如何从 时刻的波函数来确定 时刻的波函数的问题，是量子力学要解决的重要问题之一。 讨论： a. 群速度和相速度 我们得到包络极大处的速度 ，即群速度 而相速度 b. 波包的扩展 如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟） 一个物体, 则 所以，在 时，它位于 ，宽度为 而 时，它位于 ，宽度为 也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要区域在 -其中 所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。 设： 于是当 ，波包已扩散很大，因此与经典粒子无任何相似之处。 但

5、所以，这样一个显示经典粒子的波包，其动量的分布没有扩展，而空间的分布则扩展。使得你在 时，就认不得经典粒子的运动轨迹了。这一讨论和结论，对任何其它形状的波包都相同。 下图即为高斯波包的传播 c.波包扩展的时间量级 求波函数随时间的演化，也可这样来做。 时刻的波函数，可由 时刻的波函数完全确定。由于S. eq. 是线性的，因而解能够被叠加。因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。这就意味着， 必须满足线性齐次的微分方程。即可表为 称为Green函数，或称传播子。知道了Green函数，就知道态随时间的演化。 如 时刻，粒子处于 ，即由上式得这就是格林函数的含义： 时刻，粒子处于 ，则 时刻， 处

6、发现粒子的几率密度振幅就是 。 由薛定谔方程我们可直接给出 B粒子数守恒 在非相对论的情况下，实物粒子既不产生也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率应不随时间变，即 这即要求，凡满足Schrodinger eq.的波函数，必须满足上式。 由 乘由 乘 从而得 若V为实函数（保证体系是稳定的，能量为实）对整个空间积分，得 对于真实粒子，运动于有限范围内，波函数应平方可积（平方可积条件要求 ， 应快于 ），于是 从而证得 若取则 称为几率流密度矢 上述表示，即为几率守恒的微分形式。形式上与流体力学的连续方程一样，但是有很大的实质差别。 如对空间某一体积积分，则有 这表明，单位时间内，体积中，发现粒

7、子的总几率增加是等于从该体积表面（S面）流入该区域的几率。 一维情况 应该强调，任何时刻都不要忘记波函数的几 率解释。 为发现粒子在该处的几率密度，而决不是粒子分布于空间；也决不是粒 子以 分布于空间；也决不能说， 是密度为 的粒子以速度 在空间的流密度。而仅表明，粒子在单位时间通过面上的单位面积的几率（不是粒子实体，否则又回到经典图象上去了）。 还应指出，几率流密度矢是处处连续的。 C. 多粒子体系的薛定谔方程 设：体系有 个粒子，质量分别为 ，所处的位势为 ，相互作用为 ，则 这时S. eg.为 这也看出与经典不一样。不一定都是三维空间的函数，而是多维的，即 在多维位形空间中的。2.5 不

8、含时间的薛定谔方程，定态问题 由初态 求 一般是很困难的，我们将介绍一些极为有用的特例，即位势与时间无关， 。 （1） 不含时间的薛定谔方程 由于H与t无关，可简单地用分离变数法求特解。 令 于是 =常数 于是有 。 我们有 所以，当H与t无关时，含时间的薛定谔方程的特解为： 其中 。 方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。 A. 在上述方程中，E实际上是体系的能量。因为在经典力学中，粒子在一个与t无关的位 势中运动，体系机械能守恒，即具有一定的能量。而在量子力学中，对应波函数随时间变化为 ， 所以相应的实际上是体系的能量。 从平面波看，它随时间变化就是 。 B. 一般而言，上述

9、方程对任何E值都有非零解。但由于对波函数有几率解释，波函数有一定要求（自然条件），以及一些特殊的边界要求（ 无穷大位势边界处 等）。这样能满足方程的解就只有某些E值。由这而自然地获得能量的分立值（而测量值只能是这方程有非零解所对应的值）。 C. 根据态叠加原理是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可表为通常称 （其中 ）为定态波函数。 对体系可按各种定态波函数展开来表示。但只有按自身的定态波函数展开时，系数 C 才与t无关。否则与t有关。 （2） 定态： A. 定态定义：具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数 （其中 ）描述的态称为定态。

10、 我们已知，当 与 t 无关时（即 ），态随时间演化的规律为 若tt0时处于定态，即 t0 时波函数为 则 B. 定态的性质：若体系Hamiltonian与t无关， 1体系在初始时刻（t0）处于一定能量 本征态 ，则在以后任何时刻，体系都处于这一本征态上，即 。它随时间变化仅表现在因子 上 。 2体系的几率密度不随时间变化，几率流密度矢的散度为0（即无几率源）。所以 这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率密度分布不变。 3几率流密度矢，不随时间变化。 4任何不含 t 的力学量在该态的平均值不随时间变化。 5任何不显含 t 的力学量在该态中取值的几率不随时间变化。 根据态叠加原理，若对体系测量力学量的值，如可取 a1, a2， ，那么体