第五节线性变换的矩阵表示式

1、线性变换在基下的矩阵主要内容举例线性变换在不同基下的矩阵的关系第 五 节 线性变换的矩阵表示式 上节例 11 中, 关系式 i = T(ei) ( i = 1, 2, , n )， , n = Aen (e1 , e2 , , en 为单位坐标向量), 即关系式来表示. 为此, 考虑到 1 = Ae1, 2 = Ae2 ,自然希望 Rn 中任何一个线性变换都能用这样的简单明了地表示出 Rn 中的一个线性变换. 我们 T(x) = Ax ( x Rn )一、线性变换在基下的矩阵可见如果线性变换 T 有关系式 T(x) = Ax, 那么矩 T(x) = T(e1 , , en)x = T(x1e1

2、 + x2e2 + + xnen) = x1T(e1) + x2T(e2) + + xnT(en) = (T(e1), T(e2), , T(en)x = (1 , 2 , , n)x = Ax . 系式换 T 使 T(ei) = i ( i = 1, 2, , n ), 那么 T 必有关阵 A 应以 T(ei) 为列向量. 反之, 如果一个线性变 总之 , Rn 中任何线性变换 T 都能用关系式有 把上面的讨论推广到一般的线性空间, 我们表示, 其中 A = (T(e1), , T(en). T(x) = Ax ( x Rn ) 定义 6 设 T 是线性空间 Vn 中的线性变换, 在变换 T

3、 下的象(用这个基线性表示)为在 Vn 中取定一个基 1 , 2 , , n , 如果这个基记 T(1 , 2 , , n) = (T(1), T(2), , T(n), 其中那么, A 就称为线性变换 T 在基 1 , 2 , , n 下的矩阵. T(1 , 2 , , n) = (1 , 2 , , n)A ，上式可表示为 显然, 矩阵 A 由基的像 T(1), T(2), , T(n) Vn 中的任意元素记为特性我们来推导变换 T 必须满足的关系式.变换 T 下的像, 那么, 根据变换 T 保持线性关系的1 , 2 , , n 下的矩阵, 也就是给出了这个基在 如果给出一个矩阵 A 作为

4、线性变换 T 在基唯一确定.于是有即这个关系式唯一地确定一个变换 T, 可以验证以 A 为矩阵的线性变换 T 由关系式 (1) 唯一确定.所确定的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换. 总之, 定义 6 和上面一段讨论表明, 在 Vn 中取定一n 下的坐标分别为 由关系式 (1) , 可见 与 T() 在基 1 , , 关系.T , A , 由一个矩阵 A 也可唯一地确定一个线性变换个基以后, 由线性变换 T 可唯一地确定一个矩阵这样, 在线性变换与矩阵之间就有一一对应的即按坐标表示, 有 T() = A .例 12 在 P x3 中, 取基求微分运算 D 的矩阵.二、举例 解所以 D 在这组

5、基下的矩阵为例 13 在 R3 中, T 表示将向量投影到 平面的线性变换, 即 (1) 取基为求 T 的矩阵; (2) 取基为求 T 的矩阵. 解 (1)即 (2)即 由上例可见, 同一个线性变换在不同的基下依次为 A 和 B , 那么 B = P-1AP.阵为 P, Vn 中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵由基 1 , 2 , , n 到基 1 , 2 , , n 的过渡矩 1 , 2 , , n . 1 , 2 , , n ; 定理 2 设线性空间 Vn 中取定两个基有不同的矩阵. 一般地, 我们有三、线性变换在不同基下的矩阵的关系 证 按定理的假设, 有 (1, , n) = (1,

6、 , n)P , P 可逆;及 T(1, , n) = (1, , n)A , T(1, , n) = (1, , n)B .于是 (1, , n)B = T(1, , n) = T(1, , n)P =T(1, , n)P = (1, , n)AP = (1, , n)P-1AP ,因为 1, , n 线性无关, 所以 B = P-1AP . 证毕 这个定理表明 B 与 A 相似, 且两个基之间的过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵. 例 14 设 V2 中的线性变换 T 在基 1 , 2 下的矩阵为求 T 在基 2 , 1 下的矩阵. 解 即求得于是 T 在基 (2 , 1) 下的矩阵为 定义

7、7 线性变换 T 的像空间 T(Vn) 的维数, 若 T 的秩为 r , 则 T 的核 ST 的维数为 n - r. 显然, 若 A 是 T 的矩阵, 则 T 的秩就是 R(A).称为线性变换的秩.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请

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