平移抛物线问题

1、（通州区2012初三年级一模拟考试）例1、24已知：如图，二次函数y=a(x+1)24的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点D，点C是二次函数y=a(x+1)24的图象的顶点，CD=.（1）求a的值.（2）点M在二次函数y=a(x+1)24图象的对称轴上，且AMC=BDO，求点M的坐标 将二次函数y=a(x+1)24的图象向下平移k（k0）个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C1，与y轴的交点为D1，是否存在实数k，使得CFFC1，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由（2011年湖北省武汉市中考数学试题）例2、25.（本

2、题满分12分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 例3（石景山区2011年初三第二次统一练习）例4、23已知：抛物线与轴交于、，与轴

3、交于（1）求抛物线顶点的坐标；（2）设直线交轴于点，过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段总有公共点试探究：抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？答案：例1、24. 解：（1）C（-1，-4），CD=，D（0，-3） .(1分)a=1 即y = x2+2x - 3 .(2分)（2）M（-1，6）或（-1，-6）.(4分)（3）存在由CC1=DD1=k，CC1DD1，四边形CC1D1D为平行四边形，C1D1CD，D1 C1C=DCN=45，CFFC1，CC1F=45即CFC1为等腰直角三角形，且CC1=k，F（-k-1，-k-4），

4、 .(5分)由点F在新抛物线y=x2+2x-3- k上， (-k-1)2+2（-k-1）-3-k =-k-4， .(6分)解得k=2或k=0（舍），k =2 当k =2时， .(7分)例2、25.（1）抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点9a-3b+30 且a-b+30解得a1b4抛物线的解析式为y=x2+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)2-1抛物线的顶点M（-2，,1）直线OD的解析式为y=x于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h， h），平移的抛物线解析式为y=（x-h）2+h.当抛物线经过点C时，C（0，9），h2+h=9，解得h=.当h时，平移的抛物线

5、与射线CD只有一个公共点.当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组y=（x-h）2+h,y=-2x+9.得x2+（-2h+2）x+h2+h-9=0，=（-2h+2）2-4（h2+h-9）=0，解得h=4.此时抛物线y=（x-4）2+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意.综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h=4或h.（3）方法1将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x2，设EF的解析式为y=kx+3（k0）.假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GHx轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.PEF的内心在y轴上，GEP=E

6、PQ=QPF=HFP，GEPHFP，.9分GP/PH=GE/HF,-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t)2kxExF=（t-3）（xE+xF）由y=x2，y=-kx+3.得x2-kx-3=0.xE+xF=k,xExF=-3.2k（-3）=（t-3）k,k0,t=-3.y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使PEF的内心在y轴上.方法2设EF的解析式为y=kx+3（k0）,点E，F的坐标分别为（m,m2）（n,n2）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的对称点R（-m,m2）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知EPQ=FPQ，点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,P（0，-3）.y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使PEF的内心在y轴上.例3、例4、23设抛物线解析式为C点坐标为（0，4）a= 1分解析式为，顶点D坐标为（1，）2分(2)直线CD解析式为y=kx+b.则 直线CD解析式为y=x+4 3分E（-8，0） F(4,6)若抛物线向下移m个单位，其解析式由消去y,得=0m 向下最多可平移个单位. 5分若抛物线向上移m个单位，其解析式方法一：当x=-8时，y=-36+m当x=4时，y=m要使抛物线与EF 有公共点，则-36+m0或 m60m36