鲁教版初中数学知识梳理

1、初中数学知识一（代数部分）目录：一、数及运算。二、代数式。三、方程。四、不等式。五、函数一、数及运算11数新的扩充初中一开始引入负数的概念，数的范围由零和正数（正整数和正分数）， 扩充到有理数，以后再引入无理数的概念，数的范围由有理数，扩充的实数（七册上）。最后一次引入虚数的概念。数的范围由实数扩充的复 数。这是高中学习的内容。1-2实数的运算实数有六则运算：力口、减、乘、除、乘方、开方。其中减法运算的法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，这样加、减法看做同一种运算，它们满足：结合律：（a+b） +c=a+ （b+c）交换律：a +b=b+ a又除法的法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，

2、这样把乘、除看做同一种运 算。它们满足：结合律：（a b） c = a （b c）交换律： a b = b a分配律：a - （b+c） =a b+a cm又有分数指数的的意义，a n = n/Om （ a 0, m0,n0）。这样乘方、开方又 统一起来。对于乘方运算，要熟练理解和掌握以下概念：乘方，幕，底数，指数（第六册上）。 求n个相同的因数a的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幕。an叫幕，a叫底 数。N叫指数a a a =ann开方的概念：如果x = a（n1是正整数），已知a和指数n,求底数x的运算叫开方。开方运算的结果叫方根。 X叫做a的n次方根。记坐Va 0方根的性质：奇次方根：正

3、数的奇次方根是正数。V27=3o负数的奇次方根是负数。H27 = -3。零的奇次方根是零3/0 = 0。偶次方根：正数的偶次方根是两个互为相反的数。x2 =16则乂 = 4而=2。负数的偶次方根无意义。零的偶次方根还是零。算术根：正数的正方根叫做算术跟。0 -n 1整数）。零的算术根是零。开平方（七册上）和平方根的概念要熟记，一个整数a有两个平方根，记作土 耳其中+ va叫做算数平方根。0的平方根是0,负数没有平方根。开立方，正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数。1-3数轴和绝对值（六册上）数轴是有原点、长度单位、方向的 直线。任何实数都可以用数轴上的点来表 示。在数轴上比较

4、两个实数的大小，右边的点表示的数，比左边的点表示的数大。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的一个点都表 示一个实数。就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。绝对值，几何意义是一个数所对应的点到原点的 距离。a a a 0a | 二 -一 a a y 0、0 a = 01 4近似数和有效数字（六册下）。这部分内容要很好了解。二、代数式代数式包括（1）整式，（2）分式，（3）根式。2-1整式包括单项式和多项式，有关概念要了解，单项式的次数、多项式 的次数（六册下）2 2整式的加减运算整式的加减运算满足结合律、交换律。法则是：先去括号，再合并同类项。 合并同类项是整式的加减运算的核

5、心。23号的运算同底数幕相乘：am，an =am幕的乘方：amn=amn 。积的乘方：（ab 1 = an bn 0同底数幕相除：am + an=ag（ a=0）。负指数：af=p（a#0 p是正整数）a零指数：a0 =1（ a # 0 ）m分数指数：a n = Vam（a0, m 0,n 0）24整数的乘除运算整数的乘除运算包括：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以 多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式。要熟记它们的运算法则。以上 运算满足，结合律，交换律，分配律。要熟记乘法公式。（a + b）（a b）=a 2-b 2(a+b) 2=a 2+2ab+b 2(a-b) 2=a

6、 2-2ab+b 2(a + b) 3=a 3+3a 2b-3ab 2+b 3(a-b) 3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3(a + b)(a 2-ab+ b 2)=a 3+ b 3(a - b)(a 2+ab+ b 2)=a 3-b 32 5分解因式把一个多项式化为几个整式的积的形式叫分解因式。分解因式和乘法是互逆运算。这是解一元二次方程的基本知识，必需熟练的掌握。(1)提取公因式法例 6n3n2- 3m2n3+ 12m2n2= 3m2n2 ( 2m n-4)注，第一项的符号为负时，将负号一起提出，使括号内第一项为正，但括号内各项都要变号。公因式的系数应是各项系数的最大公约数，字母应

7、提取各项相同字母的指数最低的。(2)公式法663 23 23333例 x-y=x - y =x-yxy二 x - yx2 xyy2 xyx2 - xyy22例 Y2 + x + 工=x + x 4 v. 2)(3)十字相乘法二次三项式可以用十字相乘法。例-1 + y +20y2 =20y2 + y 1 = (4y +1 J5y -1)4yxi5y -1(4)分组分解法对于多于三项的多项式，应先用分组分解法，再提取公因式，或用公式法。小 x2 y2 z2 2xy 2yz 2xz = x2 2xy y2 r i2yz 2xz r z2例2 c22=x y 2zx y 广 z =x y z(按比例拆

8、项法) x3 x2 -12 = x3 -2x23x2 -6x6x -12= x2 x-2 3x x - 2 6x-2 =x-2 x2 3x6注，系数比为1: (-2)x4 3x3 x2 -3x - 2 = x4 2x3 x3 2x2 - x2 2x - x 2例=x3 x 2 x2 x 2 )-x x 2 i (x 2 = x 2 x3 x2 - x -1x 2 1 x3 x2 - x 1 L x 2 x2 x 1 )Tx 1 1=(x +2，x +1 Jx2 -1 )=(x + 2 1x +1 f (x -1)26分式(八册上)(1)概念* . , * , 、. , . b x -1 .除式

9、中含有字母的有理式叫做分式。例如，b , x 2,分式的分母不能2a 5 -x为0.基本性质：分式的分子和分母都乘以(或都除以)同一个不等于零的代数式， 分式的值不变。符号：分子、分母和分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。最简分式：分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式。求代数式的值：一般先化简，再求值。1- 3例 当x取何值时，分式 2 x-1有意义?它的值等于零？3x2 x-4解：令 3x2+x4=0 及 x1=024由 3x +x 4 =0 得 x1 =1 或 x2 =-3由 x1 =0 得 x1 =1一一4 当 x1 和 x#时，分式才有息义。3令分子为零，即1-旦=0

10、 x -1得 x 7 -3二。,整理有，之型=0,有x = 4x-1x-1当 x=4时，分子1 一一3=0,而分母3x2+x 4 # 0 ,x -1故x = 4时分式的值为零。(2)分式的乘、除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为 积的分母。两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置再与被除式相乘。(3)分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加 减，先通分，化为同分母的分式，再运算。2一7二次根式(八册上)(1)带有二次根号的式子叫做二次根式。如 55, Va , Vx-3 o(2)根式的性质：基本性质 n/am =Vamp

11、(a之0, m n、p都是正整数，并且n1)。乘积的算术根 n ab =n an,b a-0 b - 0分式的算术根a -0,b 0根式的的乘方 的m = nam(a 0)根式的开方mna=m；a a .0(3)最简二次根式被开方数的指数和根指数是互质数。被开方数的每一个因式的指数都小于根指数被开方数不含分母。化简解：原式=622.3 4 32a b cJ2,3 4a b c 3d5 二a2b3c4dbc 3 2 .6= 2 k a cdd6 d2同类根式：几个根式化成最简根式后，如果它们的被开方数相同，根指 数也相同，这几个根式叫做同类根式。(与根式前面的系数无关)同次根式：根指数相同的根式

12、叫做同次根式。(与被开方数无关)(4)根式的运算根式的加、减法。把各根式化成最简根式后，再 合并同类根式。n. an ba _ 0 b - 0根式的乘、除法。把各根式化成 同次根式后，再应用公式Va &b = n/ab(a 之 0 b 2 0 ),根式的乘方。应用公式(n/a m(a0)根式的开方。应用公式mn a =mna a -0X(x +y )2jxy = Qx / 2 =应+招(x 之 0 y 0 x y )例 计算 4 -273解：原式=32%8十 1 =(73-1 2 =,3-1例计算 5-26解：原式=32732+2 =。小一J5f =/3-瓢(5)分母有理化把分母的根号化去，叫

13、做分母有理化13 - 6去括号，得 4x -2 -5x 1 =6移项， 得 4x-5x=6+2-1合并同类项，得-x =7方程两边同除以-1 ,得x = -7(4)列方程解应用题。33 一兀二次方程(1) 一元二次方程的一般式：ax2 bx c = 0 a = 0其中ax2、bx、c分别称为一元二次方程的二次项、一次项、常数项。a、一 b 二.b2 - 4ac x =2ab分别称为二次项、一次项系数(2)求根公式：ax2 bx c = 0 a = 0当a、b、c是实数时，根的性质可由判别式 A=b2-4ac来决定若A二1 -4ac0,方程有两个不相等的实数根。若八寸2 -4ac=0,方程有两个

14、相等的实数根。若A =b2 -4ac0 x2 = -2 TOC o 1-5 h z -5- .9-5-3 x =即2 24例 已知关于x的方程5x2 + mx + 2m = 0的一个根是1 ,求它的另一个根及2m的值。解：设方程的另一个根是不，那么 TOC o 1-5 h z 1m1 2mX1 + = ,X1M =25254m1m把 X1 =,代人x1十一=525w m -22=054m 4m 1m有整理， 5 25所以，方程的另一个根是X1分解因式法：例解方程X2 -5”或者）联结的两个代数式所成的式子叫做 不等式。性质若ab,则bb, b c,则a c （传递性）若ab,则a+cb+c（不

15、等式的两边都加上或减去，同一个整式，不等号的 方向不变）。若 ab,c d, a+cb+d若ab,c 0,则acbc（不等式的两边都乘以（或除以）一个正数，不等号 方向不变）。若ab,c0,则acb0,c d0,则acbd（两边都是正数的两个同向不等式相乘，不 等号不变）11右 ab,ab 0,则一 2,即 a 2 或 a Y2 时，x 4-=a2 -4 a 2(2)当 a2 4=0 即 a = 2 时,若a=2不等式变为0 x0,无解。若a = -2不等式变为0 x Y ,所以x是一切实数。（3）当 a24Y0 即 aY2, 222 时，x2-=-a -4 a 2一元一次不等式的应用一元一次

16、不等式的应用和一元一次方程的应用类似，关键是由题意找出不等的关系，列出不等式。4-3 一元一次不等式组（1）关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起叫做一元一次不等 式组。一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做一元一次不等式 组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。(2)不等式组的解分四种情况：解集是x - b& Y a/a若a-解集是xYaLx Yba b-x a a.一) 右a y b 解集是a y x y b。x Y b abx Y a3x a若aYb解集是空集。 x A b ka b(3)解不等式组2x-5A3x-23x6 4x = 9解：解第一个不等式，得x

17、 - 2解第一个不等式，得x3所以，原不等式组的解是2x3五、函数51函数的有关概念(1)常量与变量：在某一变化过程中，保持不变的量叫常量，可以取不同 数值的量叫变量。(2)函数的定义：某变化过程中有两个变量 x和y,如果对于x在实数某 一范围内的每一个确定的值，按照给定的法则y有确定的值和它对应，那么变量 y就叫做变量x的函数。称x是自变量，y是因变量。“y是x的函数”这句话通常用式子y = f (x)来表示。符号“ f ”表示因变量y与自变量x之间函数关系的给定法则。通俗讲函数就是自变量x与因变量y 之间的一种对应关系。(3)定义域和值域：自变量x的取值范围叫函数的定义域，和 x的值对应

18、的y的值叫函数值。全体函数值叫值域。定义域的取值范围：是确定使函数的解析式有意义的 x的值。例如分母不能为0,负数不能开偶次方。(4)函数的表示方法：有列表法、解析式法、图像法。B是常数52 一次函数一般地，形如y = kx+b叫做一次函数。这里kw0,b是常数。它的图像是一条直线,y = kx +b可以变为kx - y + b = 0，这是二元一次方程。当X=0时，y=b；当y=0时，x = b。过点(0, b) ,( b,0)作直线，就是 kky = kx +b的图像。53反比例函数k一般地，形如y= 叫做y是x的反比例函数。K为常数，kw0. x .k .反比例函数y=性质：当K0两个分支分别位于第一象限和第三象限x内，在每个象限内，y的值随x值增大而减少.K0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当 aY0时，抛物线的 开口向下，顶点是它的最高点。(4)二次函数y =ax2 +k的图像和性质二次函数y = ax2+k的图像是抛物线，它与抛物线 y = ax2的形状相同，只是位置不同，它的对称轴为y轴，顶点坐标为（0, k） .k 0抛物线y = ax2向上平移k个单位；k0将