高中数学选修第一册：选择性必修第一册第二章 2.3.2 两点间的距离公式

1、23.2两点间的距离公式学习目标1.掌握两点间距离公式并会应用.2. 用坐标法证明简单的平面几何问题知识点两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|eq r(x2x12y2y12).特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关(2) 原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|eq r(x2y2).1点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为ab.()2当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用()3点P1(x1，y1)，点P2(x2，y2)，当直线平行于坐标轴时|P1P2|x1x2|.()一、两点间的距离例1如图，已知ABC

2、的三个顶点A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，试判断ABC的形状解方法一|AB|eq r(332312)eq r(52)2eq r(13)，|AC|eq r(132712)eq r(52)2eq r(13)，又|BC|eq r(132732)eq r(104)2eq r(26)，|AB|2|AC|2|BC|2，且|AB|AC|，ABC是等腰直角三角形方法二kACeq f(71,13)eq f(3,2)，kABeq f(31,33)eq f(2,3)，kACkAB1，ACAB.又|AC|eq r(132712)eq r(52)2eq r(13)，|AB|eq r(332312)eq r(5

3、2)2eq r(13)，|AC|AB|，ABC是等腰直角三角形延伸探究题中条件不变，求BC边上的中线AM的长解设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以xeq f(31,2)2，yeq f(37,2)2，即点M的坐标为(2,2)由两点间的距离公式得|AM|eq r(322122)eq r(26)，所以BC边上的中线AM的长为eq r(26).反思感悟计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|eq r(x2x12y2y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解跟踪训练1已知点A(1,2)，B(2，

4、eq r(7)，在x轴上求一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值解设P(x，0)，|PA|eq r(x1222)，|PB|eq r(x22r(7)2)，|PA|PB|，eq r(x124)eq r(x227)，解得x1，P(1,0)，|PA|eq r(1124)2eq r(2).二、运用坐标法解决平面几何问题例2在ABC中，AD是BC边上的中线，求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)证明设BC边所在直线为x轴，以D为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(a，0)因为|AB|2(ab)2c2，|AC|2(ab)2c2，|AD|2b2c2，|DC

5、|2a2，所以|AB|2|AC|22(a2b2c2)，|AD|2|DC|2a2b2c2，所以|AB|2|AC|22(|AD|2|DC|2)反思感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤：(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；(2)用坐标表示有关的量；(3)将几何关系转化为坐标运算；(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系跟踪训练2已知等腰梯形ABCD中，ABDC，对角线为AC和BD.求证：|AC|BD|.证明如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(ab，c)|AC|eq r(b02c02)eq r(b2c2)，|BD|eq r(aba2c0

6、2)eq r(b2c2).故|AC|BD|.1已知M(2,1)，N(1,5)，则|MN|等于()A5 B.eq r(37) C.eq r(13) D4答案A解析|MN|eq r(212152)5.2直线yx上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于()A4 B4eq r(2) C2 D2eq r(2)答案B解析P(1,1)，Q(5,5)，|PQ|eq r(4242)4eq r(2).3到A(1,3)，B(5,1)的距离相等的动点P满足的方程是()A3xy80 B3xy40C3xy60 D3xy20答案B解析设P(x，y)，则eq r(x12y32)eq r(x52y12)，即3xy40

7、.4(多选)直线xy10上与点P(2,3)的距离等于eq r(2)的点的坐标是()A(4,5) B(3,4)C(1,2) D(0,1)答案BC解析设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0y010，且eq r(x022y032)eq r(2)，两式联立解得eq blcrc (avs4alco1(x03，,y04)或eq blcrc (avs4alco1(x01，,y02.)5已知ABC的顶点坐标为A(1,5)，B(2，1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为_答案eq r(17)解析BC的中点坐标为(0,1)，则BC边上的中线长为eq r(102512)eq r(17).1知识清单：两点间的距离公

8、式2方法归纳：待定系数法、坐标法3常见误区：已知距离求参数问题易漏解1已知A(1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq f(|AC|,|CB|)等于()A.eq f(1,3) B.eq f(1,2) C3 D2答案D解析|AC|4eq r(2)，|CB|2eq r(2)，故eq f(|AC|,|CB|)2.2已知ABC的顶点A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC的周长是()A2eq r(3) B32eq r(3)C63eq r(2) D6eq r(10)答案C解析由两点间距离公式得|AB|eq r(212302)3eq r(2)，|BC|eq r(122002)3，|CA|eq

9、 r(222302)3.故ABC的周长为63eq r(2).3已知坐标平面内三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则ABC的形状是()A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析由两点间的距离公式，可得|AB|eq r(18)，|BC|CA|eq r(17)，且|BC|2|CA|2|AB|2，ABC为等腰三角形4在ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是()A2eq r(5) B3eq r(5) C.eq f(5r(5),2) D.eq f(7r(5),2)答案C解析由中点坐标公式可得，BC边的中点Deq blc(

10、rc)(avs4alco1(f(3,2)，6).由两点间的距离公式得|AD|eq r(blc(rc)(avs4alco1(4f(3,2)2162)eq f(5r(5),2).故选C.5两直线3axy20和(2a1)x5ay10分别过定点A，B，则|AB|的值为()A.eq f(r(89),5) B.eq f(17,5)C.eq f(13,5) D.eq f(11,5)答案C解析直线3axy20过定点A(0，2)，直线(2a1)x5ay10过定点Beq blc(rc)(avs4alco1(1，f(2,5)，由两点间的距离公式，得|AB|eq f(13,5).6已知点A(2，1)，B(a，3)，且

11、|AB|5，则a的值为_答案1或5解析由两点间距离公式得(2a)2(13)252，所以(a2)232，所以a23，即a1或a5.7在x轴上找一点Q，使点Q与A(5,12)间的距离为13，则Q点的坐标为_答案(10,0)或(0,0)解析设Q(x0,0)，则有13eq r(5x02122)，得x00或x010.8直线2x5y100与坐标轴所围成的三角形面积是_答案5解析令x0，则y2；令y0，则x5.Seq f(1,2)|2|5|5.9已知直线ax2y10和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为eq f(r(2),4)，求a的值解由题易知a0，直线ax2y10中，令y0，有x

12、eq f(1,a)，则Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)，0)，令x0，有yeq f(1,2)，则Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，故AB的中点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)，f(1,4)，线段AB的中点到原点的距离为eq f(r(2),4)，eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2a)0)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)0)2)eq f(r(2),4)，解得a2.10已知直线l1：2xy60和点A(1，1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|5，求直线l的方程解当

13、直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x1)，解方程组eq blcrc (avs4alco1(2xy60，,ykxk1，)得eq blcrc (avs4alco1(xf(7k,k2)，,yf(4k2,k2)，)即Beq blc(rc)(avs4alco1(f(7k,k2)，f(4k2,k2).由|AB|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(7k,k2)1)2blc(rc)(avs4alco1(f(4k2,k2)1)2)5，解得keq f(3,4)，直线l的方程为y1eq f(3,4)(x1)，即3x4y10.当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x1.此时，与l1的交点为(1,

14、4)，也满足题意，综上所述，直线l的方程为3x4y10或x1.11以点A(3,0)，B(3，2)，C(1,2)为顶点的三角形是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D以上都不是答案C解析|AB|eq r(33222)eq r(364)eq r(40)2eq r(10)，|BC|eq r(132222)eq r(1616)eq r(32)4eq r(2)，|AC|eq r(13222)eq r(8)2eq r(2)，|AC|2|BC|2|AB|2，ABC为直角三角形故选C.12已知x，yR，Seq r(x12y2)eq r(x12y2)，则S的最小值是()A0 B2 C4 D.eq r(2

15、)答案B解析Seq r(x12y2)eq r(x12y2)可以看作是点(x，y)到点(1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.13设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，1)，则|AB|_.答案2eq r(5)解析设A(a，0)，B(0，b)，由中点坐标公式，得eq blcrc (avs4alco1(f(a0,2)2，,f(b0,2)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a4，,b2，)|AB|eq r(402022)2eq r(5).14在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则eq f(|PA|2|PB|2,|PC|

16、2)_.答案10解析以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(4a，0)，B(0,4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)，所以|PA|29a2b2，|PB|2a29b2，|PC|2a2b2，于是|PA|2|PB|210(a2b2)10|PC|2，即eq f(|PA|2|PB|2,|PC|2)10.15光线从B(3,5)射到x轴上，经反射后过点A(2,10)，则光线从B到A经过的路程为_答案5eq r(10)解析B(3,5)关于x轴的对称点为B(3，5)，AB交x轴于P点，所以|PA|PB|AB|eq r(2321052)5eq r(10)，即光线从B到A经过的路程为5eq r(10).16ABD和BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明|AE|CD|.证明如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系，设ABD和BCE的边长分别为a，c，则A(a，0)，C(