数学选修1-2课件2.2.1.2

1、第2课时 分 析 法1.理解分析法的意义，掌握分析法的特点.2.能用分析法证明数学问题. 1.本课时重点是利用分析法证明数学问题.2.本课的难点是分析法的理解与综合运用. 分析法定义框图表示特点一般地，从要证明的_，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、_、_、_等)为止.这种证明方法叫做分析法逆推证法或执果索因法结论出发充分条件定理定义公理1.分析法就是从结论推向已知，这句话对吗？提示：不对.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.2.分析法是合情推理还是演绎推理？提示：分析法是演绎推理.因为分析法的每一步

2、都是严密的逻辑推理，因此得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.3.要证明AB,若用作差比较法，只要证明_.【解析】要证AB,只要证A-B0.答案：A-B04.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到角A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足的条件是a2_b2+c2(填“”“”“”“”).【解析】a为最大边且abc，要想角A为钝角，只需cosA0，即 只需要b2+c2a2，也即a2b2+c2.答案：1.分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的

3、条件.用分析法思考数学问题的顺序可表示为：(对于命题“若A则D”)即从D上溯寻其论据，如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3，B4等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的论据，如果其中之一B的论据恰为已知条件A，那么命题得证.2.综合法与分析法的区别及优缺点(1)区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.(2)优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点，综合法从条件推出结论，能较简捷地解决问题，但不便于思考；分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方

4、法，缺点是思路逆行，叙述较繁. 用分析法证明不等式【技法点拨】用分析法证明不等式的三个关注点(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等.(2)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件.(3)分析法为逆推证明.因此在使用时要注意逻辑性与规范性.其格式一般为“要证，只要证，只需证，显然成立，所以成立”.【典例训练】1.(2012聊城高二检测)求证：2.(2012中山高二检测)已知a0,b0，求证：【证明】1.要证只要证即只需证即证4240,因为4240显然成立，所以 成立.2.a

5、0,b0,要证 成立，只需证 成立，只需证只需证只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),只需证a2-2ab+b20,只需证(a-b)20,而(a-b)20显然成立，则原不等式得证.【互动探究】请用综合法证明题2.【证明】a0,b0,【思考】1.从例题证明过程中能否提炼出“要证明ab,只要证明a2b2”?2.分析法一般在什么情况下使用？提示：1.不能.在分析法的步骤中，寻找的是充分条件，而a2b2 ab,但当a0,b0时，a2b2ab成立.2.当题目已知条件与结论之间的联系不明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，一般采用分析法.【变式训练】已知非零向量ab，求证：【解题指南

6、】本题含有绝对值符号，可用分析法通过变形、平方证明.【证明】要证 只需证平方得只需证 成立，即 显然成立.故原不等式得证. 分析法证明立体几何问题【技法点拨】分析法证明立体几何问题的三个关注点(1)主要依据：立体几何中直线、平面的位置关系、定义、判定定理、性质定理以及一些推论.(2)立体几何中某些结论成立的充分条件很多，要结合题目背景加以认真分析.(3)分析法证明的模式(若p则q形式)是：要证明q命题为真，只需证命题p1为真,从而有只需证命题p2为真，从而有只需证命题p为真，而已知p为真，故q必为真.【典例训练】1.对于不重合的直线m，l和平面，要证明，需要具备的条件是( )(A)ml,m,l

7、(B)ml,=m,l(C)ml,m,l(D)ml,l,m2.如图，SA平面ABC，ABBC，过点A作SB的垂线，垂足为点E；过点E作SC的垂线，垂足为F.求证：AFSC.【解析】1.选D.A：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合；D是成立的，故选D.2.要证AFSC，而EFSC，故只需证SC平面AEF，只需证AESC，而AESB，故只需证AE平面SBC，只需证AEBC，而ABBC，故只需证BC平面SAB，只需证BCSA.由SA平面ABC可知，SABC，即上式成立.所以AFSC成立.

8、【思考】 (1)用分析法证明数学问题必须遵循什么原则？(2)要证明某命题B成立时，需要证的条件唯一吗？举例说明.提示：(1)用分析法证明数学问题，必须遵循分析法步骤步步可逆的原则.(2)不唯一.如本题1中D能得出，如果改成条件“a,a”，也能推出.【变式训练】如图，AB为O的直径，C为O上一点，PA平面ABC，A在PB，PC上的射影分别为E，F，求证：PB平面AFE.【证明】要证PB平面AFE(因为AEPB)，只要证AFBC(因为AF平面PAC)，只要证BC平面PAC，而AB为直径，ACBC，只需证BCPA(因BC平面ABC)，只要证PA平面ABC，因为PA平面ABC为已知条件，故PB平面AF

9、E. 分析法与综合法的综合应用【技法点拨】分析综合法的特点及证明思路(1)根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法,或称“两头凑法”.(2)分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.(3)综合法和分析法常常交叉使用.其证明模式可用框图表示如下：其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论.【典例训练】1.证明函数 是奇函数.2.(2012中山高二检测)A

10、BC的三个内角A，B，C成等差数列，且角A，B，C的对边分别为a，b，c,求证：(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.【证明】 恒成立， 的定义域为R，要证函数 是奇函数，只需证f(-x)=-f(x),只需证只需证而log21=0.上式成立.故函数 是奇函数.2.方法一：(分析综合法)要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1成立，即证 成立，即化简得又需证c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c),即c2+a2=b2+ac.又ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理,得所以a+c2-bac,所以原命题成立.方法二：(综合法)因为ABC三

11、个内角A，B，C成等差数列，所以B60.由余弦定理，得b2=c2+a2-2accos60，即c2+a2=ac+b2,两边同时加(ab+bc),得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),两边除以(a+b)(b+c)，得所以即所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.【互动探究】若把本题2的结论当条件，试证明：B【证明】(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1， 即c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),b2=a2+c2-ac,又B(0,),B=【想一想】根据分析法和综合法的特点，应该怎样使用这两种方法证明数学问题？提示：根据分析法有利于思考，便于找

12、到解题突破口，综合法宜于表述的特点，证题时常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证明过程.【变式训练】若a,b,c是不全相等的正数，求证：【解题指南】对于含有对数的不等式往往先利用对数的运算性质去掉对数，然后再证.【证明】要证只需证只需证又因为且上述三式中的等号不全成立，所以因此，【规范解答】分析法的应用【典例】(12分)(2012临沂模拟)已知a0,b0,2ca+b,求证:【解题指导】【规范解答】要证只需证 3分即证 5分只需证 6分只需证a2-2ac+c2a2+ab,9分因为a0,所以只需证2ca+b.10分因为2ca+b成立

13、.所以原不等式成立.12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程)失分警示 在解答过程中，若不能把待证不等式转化为处不等式，可能会分别证明两个不等式 和 这时要证两边平方达到这两个不等式成立，就不会是充分条件，即要证 只需证(a-c)2c2-ab,这是不正确的，考试中可能只给2分.失分警示 在解答过程中，若在处不能将要证转化为需证处的不等式，思路就会很乱，导致无法继续推证，考试中最多给3分，只要能想到，接下来就会很容易分析从而得到满分.解题启示(1)要学会“解不等式”在“证不等式”中的熟练应用.这里应用了“|x-a|ba-bxa+b”.(2)分析法证明中要注意充分条件的寻找.【规范训练】(12分)用分析法证明等式：【解题设问】(1)是否要先分析待求式，把它化为不含分母的等式？_.(2)解答中需要应用基本关系式吗？_. 是需要【规范答题】要证 2分只需证sin2x=(1-cosx)(1+cosx),5分只需证sin2x=1-cos2x.7分因为sin2x=1-cos2x显然成立，9分所以 12分1.分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( )(A)充分条件 (B)必要条件(C)充要条件 (D)等价条件【解析】选A.由分析法的定义