7.2偏导数与全微分

1、7.2偏导数与1一偏导数1. 一元函数变化率与多元函数变化率 一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率， 即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）oxyPx2 二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率随y变化的变化率随xy同时变化的变化率。 即点P(x,y)在域D内可沿x轴沿y轴沿其它直线方向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。oxyzMPD32偏导数定义定义8.4 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果固定 后，一元函数 在点 处可导，即极限存在，则称A为函数 在点 处关于自变量 的偏导数，记为 或4记为

2、或类似地， 在点 处对y的偏导数定义为53偏导函数概念 偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点 (x,y)处对 x（ y ）的偏导数都存在， 则它就是x,y的函数，称为偏导函数。 记号：或或 在不至混淆时常称偏导函数为偏导数。 z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是偏导函数在(x0,y0)处的函数值.64. 偏导数的几何意义切线M0Ty对y轴的斜率oxyzM0P0 x0y0TyTxz=f(x0,y)z=f(x,y0) 切线M0Tx对x轴的斜率 75偏导数的计算法 对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自 变量视为常数，按一元函数求导法则计算：求 时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求 时

3、，只要把x暂时看作常量而对y求导数。8例 1求 在点(1,2)处的偏导数。解9例2 求 的偏导数。解：10解:例3 设 求证：11例4 求 的偏导数。解:126.高阶偏导数二阶偏导数： 设 为D上的二元函数 ，则其在 D上的偏导数为 若二元函数 的偏导数也存在， 则称其是函数 的二阶偏导数。13z=f(x,y)的二阶偏导数记号：14例5 求二阶偏导数解：15解：16注记： 若 在D内连续，则在D内 （二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！） 类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、n阶 偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数； 二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个， n阶有2n个；三元函数的n阶偏

4、导数有3n个； 等等。177. 偏导数的经济意义边际需求:偏弹性:两种商品，价格分别为 和需求函数： 称为边际需求发生变化，而 不变时其中：18发生变化，而 不变时其中： 称为1商品需求量 对自身价格 的直接价格偏 弹性； 称为1商品需求量 对相关价格 的交叉价格偏弹性。19二全微分 1全增量偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z的增量称为偏增量。如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加 x(或宽增加y)，则面积的增量是偏增量。20如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变，这时面积的改变量（增量）就是全增量。全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取

5、得增量时，函数z的增量称为全增量。oxyx0y0y0+yx0+xx0yy0 xxy212全微分定义8.5 如果函数 在点 处的改变量 可表示为其中 与 无关， 为 时的无穷小量，即 则称表达式中的线性主部 为函数 在点 处的全微分，记为 即并称函数 在点 处可微分或可微。22定理8.1：若z=f(x,y)在点 可微分，则 z=f(x,y)在 的偏导数 必定存在，且23例6 求 的全微分 解： 24定理8.3： 若函数 在点 的某 邻域内偏导数存在且偏导数连续，则该函 数在点处可微。定理8.2 若函数 在点 处可微， 则该函数在点 处连续。25多元函数连续、偏导数存在、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数偏导数存在263全微分在近似计算中的应用 271、偏导数的定义2、偏导数的计算、偏导