高中物理选择性必修36.3.1二项式定理

1、63二项式定理63.1二项式定理课标要求素养要求1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.通过学习二项式定理的有关内容，提升逻辑推理素养及数学运算素养.新知探究牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史上一个又一个重要的发现，有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理，他抓住了姑娘的手，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛的姑娘大叫，离他而去问题什么是二项式定理？提示(ab)nCeq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1bCeq oal(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bn即为二项式

2、定理二项式定理及其相关概念注意二项式系数与系数的概念二项式定理公式(ab)nCeq oal(0,n)anCeq oal(1,n)an1bCeq oal(k,n)ankbkCeq oal(n,n)bn，称为二项式定理二项式系数Ceq oal(k,n)(k0，1，n)通项Tk1Ceq oal(k,n)ankbk二项式定理的特例(1x)nCeq oal(0,n)Ceq oal(1,n)xCeq oal(2,n)x2Ceq oal(k,n)xkCeq oal(n,n)xn拓展深化微判断1(ab)n的展开式中共有n项()提示(ab)n的展开式中共有n1项2在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()提示

3、交换a，b的顺序各项都发生变化.3.Ceq oal(k,n)ankbk是(ab)n展开式中的第k项()提示Ceq oal(k,n)ankbk是(ab)n展开式中的第k1项4(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()微训练1.eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(5)的展开式中含x3项的二项式系数为()A10 B10 C5 D5解析eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(5)展开式的通项为Tk1Ceq oal(k,5)x5keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(k)(1)kCeq

4、 oal(k,5)x52k，令52k3，得k1，含x3项的二项式系数为Ceq oal(1,5)5.答案D2.eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(2,x3)eq sup12(5)展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40解析eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(2,x3)eq sup12(5)展开式的通项为Tk1Ceq oal(k,5)(x2)5keq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x3)eq sup12(k)(2)kCeq oal(k,5)x105k，令105k0，得k2，常数项为(2)2Ceq oal(2,5)40.答案C3设S(x1)33(

5、x1)23(x1)1，则S等于_解析S(x1)13x3.答案x3微思考1二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示二项式系数与项的系数是两个不同的概念二项式系数是指Ceq oal(0,n)，Ceq oal(1,n)，Ceq oal(n,n)，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关2二项式(ab)n与(ba)n展开式中第k1项是否相同？提示不同(ab)n展开式中第k1项为Ceq oal(k,n)ankbk，而(ba)n展开式中第k1项为Ceq oal(k,n)bnkak.题型一 二项式定理的正用、逆

6、用【例1】(1)求eq blc(rc)(avs4alco1(3r(x)f(1,r(x)eq sup12(4)的展开式(2)化简：Ceq oal(0,n)(x1)nCeq oal(1,n)(x1)n1Ceq oal(2,n)(x1)n2(1)kCeq oal(k,n)(x1)nk(1)nCeq oal(n,n).解(1)法一eq blc(rc)(avs4alco1(3r(x)f(1,r(x)eq sup12(4)(3eq r(x)4Ceq oal(1,4)(3eq r(x)3eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(x)Ceq oal(2,4)(3eq r(x)2eq blc(rc)

7、(avs4alco1(f(1,r(x)eq sup12(2)Ceq oal(3,4)(3eq r(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(x)eq sup12(3)Ceq oal(4,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(x)eq sup12(4)81x2108x54eq f(12,x)eq f(1,x2).法二eq blc(rc)(avs4alco1(3r(x)f(1,r(x)eq sup12(4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3x1,r(x)eq sup12(4)eq f(1,x2)(13x)4eq f(1,x2)eq blcrc(av

8、s4alco1(1Ceq oal(1,4)3xCeq oal(2,4)（3x）2Ceq oal(3,4)（3x）3Ceq oal(4,4)（3x）4)eq f(1,x2)(112x54x2108x381x4)eq f(1,x2)eq f(12,x)54108x81x2.(2)原式Ceq oal(0,n)(x1)nCeq oal(1,n)(x1)n1(1)Ceq oal(2,n)(x1)n2(1)2Ceq oal(k,n)(x1)nk(1)kCeq oal(n,n)(1)n(x1)(1)nxn.【迁移】(变条件，变设问)若(1eq r(3)4abeq r(3)(a，b为有理数)，则ab_解析(1

9、eq r(3)41Ceq oal(1,4)(eq r(3)1Ceq oal(2,4)(eq r(3)2Ceq oal(3,4)(eq r(3)3Ceq oal(4,4)(eq r(3)414eq r(3)1812eq r(3)92816eq r(3)，a28，b16，ab281644.答案44规律方法(1)(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的次数和等于n；字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢

10、【训练1】化简：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.解原式Ceq oal(0,5)(2x1)5Ceq oal(1,5)(2x1)4Ceq oal(2,5)(2x1)3Ceq oal(3,5)(2x1)2Ceq oal(4,5)(2x1)Ceq oal(5,5)(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.题型二二项展开式通项的应用【例2】(1)求二项式eq blc(rc)(avs4alco1(2r(x)f(1,x)eq sup12(6)的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup1

11、2(9)的展开式中x3的系数解(1)由已知得二项展开式的通项为Tk1Ceq oal(k,6)(2eq r(x)6keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(k)26kCeq oal(k,6)(1)kx3eq f(3k,2)，T6265Ceq oal(5,6)(1)5x3eq f(3,2)512xeq f(9,2).第6项的二项式系数为Ceq oal(5,6)6，第6项的系数为12.(2)设展开式中的第k1项为含x3的项，则Tk1Ceq oal(k,9)x9keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(k)(1)kCeq oal(k,9)

12、x92k，令92k3，得k3，即展开式中第4项含x3，其系数为(1)3Ceq oal(3,9)84.【迁移1】(变设问)本例问题(1)条件不变，问题改为“求第4项的二项式系数和第4项的系数”解由通项Tk1(1)kCeq oal(k,6)26kx3eq f(3,2)k，知第4项的二项式系数为Ceq oal(3,6)20，第4项的系数为(1)3Ceq oal(3,6)23160.【迁移2】(变设问)本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解？解设展开式中第k1项为含x5的项，则Tk1(1)kCeq oal(k,9)x92k，令92k5，得k2，即展开式中的第3项含x5，且

13、系数为(1)2Ceq oal(2,9)36.规律方法(1)求二项展开式的特定项的常见题型求第k项，TkCeq oal(k1,n)ank1bk1；求含xk的项(或xpyq的项)；求常数项；求有理项(2)求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致【训练2】已知二项式eq blc(rc)(avs4alco1(3r(

14、x)f(2,3x)eq sup12(10).(1)求展开式的第4项的二项式系数；(2)求展开式的第4项的系数；(3)求展开式的第4项解eq blc(rc)(avs4alco1(3r(x)f(2,3x)eq sup12(10)的展开式的通项是Tk1Ceq oal(k,10)(3eq r(x)10keq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3x)eq sup12(k)Ceq oal(k,10)310keq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(k)xeq f(103k,2)(k0，1，2，10)(1)展开式的第4项(k3)的二项式系数为Ceq oal(3,10)

15、120.(2)展开式的第4项的系数为Ceq oal(3,10)37eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(3)77 760.(3)展开式的第4项为T4T3177 760eq r(x).题型三与展开式中的特定项有关的问题角度1求展开式中的特定项【例3】eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,2x)eq sup12(6)的展开式中，常数项是()Aeq f(5,4) B.eq f(5,4) Ceq f(15,16) D.eq f(15,16)解析eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,2x)eq sup12(6)展开式的通项Tk1Ceq o

16、al(k,6)(x2)6keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2x)eq sup12(k)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(k)Ceq oal(k,6)x123k，令123k0，解得k4.所以常数项为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(4)Ceq oal(4,6)eq f(15,16).答案D角度2由二项展开式某项的系数求参数问题【例4】若(x2a)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(10)的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.eq f(1,3) B.eq f(1

17、,2) C1 D2解析eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(10)的展开式的通项是Tk1Ceq oal(k,10)x10keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(k)Ceq oal(k,10)x102k，eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(10)的展开式中含x4(当k3时)、x6(当k2时)项的系数分别为Ceq oal(3,10)，Ceq oal(2,10).因为(x2a)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(10)的展开式中含x6的项由x2与eq bl

18、c(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(10)展开式中含x4的项的乘积以及a与eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(10)展开式中含x6的项的乘积两部分构成，因此由题意得Ceq oal(3,10)aCeq oal(2,10)12045a30，由此解得a2.答案D规律方法求展开式中特定项的方法求展开式中特定项的关键是抓住其通项公式，求解时先准确写出通项，再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式即可求解有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数【训练3】(1)若eq blc(rc)(avs4alc

19、o1(xf(a,x)eq sup12(9)的展开式中x3的系数是84，则a_(2)已知n为等差数列4，2，0，的第六项，则eq blc(rc)(avs4alco1(xf(2,x)eq sup12(n)的二项展开式的常数项是_解析(1)展开式的通项为Tk1Ceq oal(k,9)x9k(a)keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(k)Ceq oal(k,9)(a)kx92k(0k9，kN)当92k3时，解得k3，代入得x3的系数为Ceq oal(3,9)(a)384，解得a1.(2)由题意得n6，Tk12kCeq oal(k,6)x62k，令62k0得k3，常数

20、项为23Ceq oal(3,6)160.答案(1)1(2)160一、素养落地1通过本节的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养2注意区分项的二项式系数与系数的概念要牢记Ceq oal(k,n)ankbk是展开式的第k1项，不要误认为是第k项3求解特定项时必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值二、素养训练112Ceq oal(1,n)4Ceq oal(2,n)8Ceq oal(3,n)(2)nCeq oal(n,n)等于()A1 B1 C(1)n D3n解析逆用二项式定理，将1看成公式中的a，2看成公式中的b，可得原式(12)n(1)n.答案C2若(1eq r(2)4abeq

21、r(2)(a，b为有理数)，则ab等于()A33 B29 C23 D19解析(1eq r(2)414eq r(2)128eq r(2)41712eq r(2)abeq r(2)，又a，b为有理数，a17，b12.ab29.答案B3在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是()A5 B5 C10 D10解析(1x)5中x3的系数Ceq oal(3,5)10，(1x)6中x3的系数为Ceq oal(3,6)(1)320，故(1x)5(1x)6的展开式中x3的系数为10.答案D4二项式eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,x2)eq sup12(6)的展开式中，常数项是_解

22、析二项式eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,x2)eq sup12(6)的第k1项为Tk1Ceq oal(k,6)(2x)6keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)eq sup12(k)Ceq oal(k,6)26kx63k，令63k0，解得k2，所以常数项是Ceq oal(2,6)24240.答案2405.eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,x)eq sup12(8)的展开式中x7的系数为_(用数字作答)解析二项展开式的通项Tk1Ceq oal(k,8)(x2)8keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(k

23、)(1)kCeq oal(k,8)x163k，令163k7，得k3，故x7的系数为Ceq oal(3,8)56.答案56基础达标一、选择题1(x2)n的展开式共有12项，则n等于()A9 B10 C11 D8解析(ab)n的展开式共有n1项，而(x2)n的展开式共有12项，n11.答案C2(1i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为()A210 B210 C120i D210i解析由通项得T7Ceq oal(6,10)(i)6Ceq oal(6,10)210.答案A3.eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(2,x)eq sup12(6)展开式中的常数项为()A60 B60

24、 C250 D250解析eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(2,x)eq sup12(6)展开式的通项为Ceq oal(k,6)(eq r(x)6keq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x)eq sup12(k)(2)kCeq oal(k,6)x3eq f(3,2)k.令3eq f(3,2)k0，得k2.eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(2,x)eq sup12(6)展开式中的常数项为(2)2Ceq oal(2,6)60.答案A4.eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,x)eq sup12(9)展开式中的第4项是()A56x3 B

25、84x3 C56x4 D84x4解析由通项公式有T4Ceq oal(3,9)x6eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(3)84x3.答案B5(2xeq r(x)4的展开式中x3的系数是()A6 B12 C24 D48解析(2xeq r(x)4展开式的通项为Tk1Ceq oal(k,4)(2x)4k(eq r(x)k24kCeq oal(k,4)x4eq f(k,2).令4eq f(k,2)3，解得k2，故展开式中x3的系数是4Ceq oal(2,4)24.答案C二、填空题6若(xa)10的展开式中x7的系数为15，则a_解析二项展开式的通项为Tk1Ceq oa

26、l(k,10)x10kak，当10k7时，k3，T4Ceq oal(3,10)a3x7，则Ceq oal(3,10)a315，故aeq f(1,2).答案eq f(1,2)7若eq blc(rc)(avs4alco1(axf(1,x)eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,x)eq sup12(5)展开式中的常数项为40，则a_解析eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,x)eq sup12(5)展开式的第k1项为Tk1Ceq oal(k,5)(2x)5keq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)eq sup12(k)Ceq oal(k,5)25kx52

27、k.因为eq blc(rc)(avs4alco1(axf(1,x)eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,x)eq sup12(5)的展开式中的常数项为40，所以axCeq oal(3,5)22x1eq f(1,x)Ceq oal(2,5)23x40，所以40a8040，解得a3.答案38.eq blc(rc)(avs4alco1(x4f(4,x)eq sup12(6)(x0)的展开式中的常数项为_解析eq blc(rc)(avs4alco1(x4f(4,x)eq sup12(6)(x0)可化为eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)f(2,r(x)eq sup12(1

28、2)，因而Tk1Ceq oal(k,12)eq blc(rc)(avs4alco1(r(x)eq sup12(12k)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,r(x)eq sup12(k)(2)kCeq oal(k,12)x6k.令6k0，得k6，故展开式中的常数项为eq blc(rc)(avs4alco1(2)eq sup12(6)Ceq oal(6,12)59 136.答案59 136三、解答题9若二项式eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,r(x)eq sup12(6)(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B4A，求a的值解Tk1Ceq oal(k,6)

29、x6keq blc(rc)(avs4alco1(f(a,r(x)eq sup12(k)(a)kCeq oal(k,6)x6eq f(3k,2)，令6eq f(3k,2)3，则k2，得ACeq oal(2,6)a215a2；令6eq f(3k,2)0，则k4，得BCeq oal(4,6)a415a4.由B4A可得a24，又a0，所以a2.10已知(eq r(x)eq r(3,x)n(其中n15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列(1)求n的值；(2)写出它展开式中的所有有理项解(1)(eq r(x)eq r(3,x)n(其中n15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二

30、项式系数分别是Ceq oal(8,n)，Ceq oal(9,n)，Ceq oal(10,n).依题意得eq f(n！,8！（n8）！)eq f(n！,10！（n10）！)2eq f(n！,9！（n9）！)，化简得90(n9)(n8)20(n8)，即n237n3220，解得n14或n23，因为n15，所以n14.(2)展开式的通项Tk1Ceq oal(k,14)xeq f(14k,2)xeq f(k,3)Ceq oal(k,14)xeq f(42k,6)，展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数，又0k14，所以展开式中的有理项共3项，分别是：k0，T1Ceq oal(0,14)x7x7；k6，T7

31、Ceq oal(6,14)x63 003x6；k12，T13Ceq oal(12,14)x591x5.能力提升11若(x1)nxnax3bx2nx1(nN*)，且ab31，那么n_解析aCeq oal(n3,n)，bCeq oal(n2,n).ab31，eq f(Ceq oal(n3,n),Ceq oal(n2,n)eq f(Ceq oal(3,n),Ceq oal(2,n)eq f(3,1)，即eq f(n（n1）（n2）2,6n（n1）)3，解得n11.答案1112已知在eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x2f(1,r(x)eq sup12(n)的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数解已知二项展开式的通项为Tk1Ceq oal(k,n)eq blc(rc)(avs4alco1(