第30届全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第1套答案

1、联系我们： 2022年物理竞赛复赛模拟试题第一套参考解答命题人 蔡子星一、(20分)某人在设计房子的时候尽量节省空间，弄了一个立起来是储物架，放下来时床的家具。他设计得很精巧，使得在放下的过程中，架子是保持水平的，而且人不怎么费力。下面我们给出一种设计。ABCDP1P2MAB、CD、AD是三根相互铰接的轻杆，。这样就能保证架子上的东西不会掉下来。但是考虑到负重分别加在D点和CD中点O点，直接把床推上放下会比拟费力，而且容易砸到人，即使没有砸到人，砸到花花草草也不好。为了解决这个问题，我们在AB杆上距离A点处的M点连一根原长可以忽略的弹簧到D点。这样就可以自由的上下推动床而几乎不费力了。为了尽量

2、省力，弹簧的经度系数应当为多少？当床与墙面夹角时，请计算AD杆上的受力。【解答】1如果势能处处恒定那么无需外力。令，由余弦定理1分重力势能2分弹性势能2分要求总势能为常数，那么有为常数，于是5分注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分2由于是轻杆，且只在两端受力，所以受力沿杆，设为对于杆，以为支点，由合外力矩等于0 4分中由正弦定理 2分代入力矩方程有由此得到 4分注：其它方法只要结果正确，过程无明显错误均给分二、(22分)天宫一号圆满完成了国内第一次太空授课。在课堂演示中我们看到了如下情景，一个水球悬浮在空中，我们可以通过水球构成的透镜看到宇航员倒立的像。假设水球半径为，折射率为。在计

3、算中我们取傍轴近似只计算小角度范围的光线成的像物像假设物体、水球、实像之间的相对位置如下图，由于相机没有变焦，因而只能对物体前方距离为处的物体能够清晰成像。随着球心到物体之间距离的变化，将发现两次能清晰成像的位置、。求，以及两个实像大小的比值应当满足什么条件才能观察到上述现象。【解答】解法一:设第一次成像物距为，像距为，设第二次成像物距为，像距为物在光心左为正，像在光心右为正由单球面成像公式 1 3分 2 3分由平面几何 3 1分 4 1分将1、2代入3消去和得到再将4代入得到于是6分按放大率定义第一次成像放大率为 1分由于光路可逆，第二成就和第一相比就是物象对调，因而第二次成像放大率为： 1

4、分代入、的解，得到两个实像大小比值为 2分需要使得上式有意义，需要根号内大于0于是有4分解法二:如图假设小角度入射，如图假设各个角度由傍轴近似；2分由平面几何，第一次折射角和第二次入射角相等，均为，因而第一次入射角和第二次折射角均为。由三角形外角等于两内角和；2分由折射定律及傍轴近似2分在中间的三角形中：(2分)代入以上各式，只用和、表示，整理得到：；4分又所以2分以下同解法一三、(23分)如下图，一个半径为的匀质薄壁圆筒，质量为，被轴承限制只能绕着其中心轴旋转。一根长为的不可伸长的细绳一端系在圆筒上，另一端连接一个质量的质点，开始如图静止。沿垂直于绳子的方向给质点大小为的冲量。试计算说明，求

5、当绳子与接触点法线夹角是否能到达，如果可以求出圆筒相对地面的角速度，如果不可以说明理由。【解答】如图，在任意时刻，令接触点的方向与轴夹角为，令绳子方向与夹角相对地面的速度为1分在以为参照的平动系中即为原点，且坐标轴方向不变的参照系，想象一下在摩天轮车厢里面的人，相对的速度(4分)所以对地面速度为和的矢量和(1分)由能量守恒，其中使用了余弦定理(6分)由角动量守恒，其中使用了矢量叉乘定义(6分)为了计算方便，做无量纲化：，得到代入得到； 另一个解，代表相对运动反向时的情景，未给出不扣分 得到圆筒角速度：5分注1：这个参照系中绳子与轴转角为，因而角速度为。假设将由结果误写为，能量守恒和角动量守恒方

6、程只要形式正确不重复扣分，但不给结果分。注2：对于题设情景，可以计算绳子拉力，发现一直大于0，所以绳子不会软。注3：保存形式不变，可以得到时，只有一个解为0；即此时相对角速度反向，也就是说，相对转角最大为。四、(25分)我们想做一个演示电磁感应定律的实验：造一个大电磁铁，正上面放一个细铁环，半径为，横截面为一个半径为的圆，电导率为，密度为，真空介电常数。在铁环的位置磁场大小为，方向与竖直夹角，假磁铁在圆环内磁场的竖直分量不变。在磁铁中通入如下的正弦交流电，频率均为很高，振幅大小为在这种情景下是否可以造成“悬浮的现象，如果可以，估算出的大小，如果不可以说明理由。圆环的自感约为，需要计算说明是否可

7、以忽略【解答】假设电流为那么磁通量为2分电动势为 3分圆环电阻为2分假设忽略电感应，那么感应电流为安培力平均值向上为正3分因而忽略电感导致不可以悬浮，因而不可忽略2分利用感抗大小说明不扣分，不说明理由或者理由错误不给分。 保存电感，电路的方程可以写为3分令，代入得到2分其中利用辅助角公式，于是安培力平均值 2分由于悬浮合外力平均值等于0利用积化和差公式2分代入数值得到4分作为估算，认为，近似为得到，同样给全分五、(22分)理想的非门可以视为一个受控电压源：当输入端电压大于时，输出端相当于和地线之间短路；当输入端电压小于时，输出端相当于和地线之间有一个理想电压源，电源电压。等效电路图如下图。不同

8、非门中接地点可以视为是同一个点。我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器。画出下列图电路中随着时间的变换关系。 提示：如左下列图的RC电路，从刚接通电路开始电容上电压随时间变化规律为： 【解答】等效电路如下图，可见电流只在-回路中流动。假设系统存在稳态，那么电容电量为常数，因而电阻上电流为0，那么输入电压等于输出电压，这显然矛盾，因而系统不存在稳态。不失一般性，电容初态电压为0，系统初态，因而电路沿逆时针给电容充电电阻上电流从下向上为正，电容电量右边记为正当时候，门反向，进入II 门反向，此时，由于电容上电量不突变，所以因而电路沿顺时针给电容反向充电，新充入电量为；即不断上

9、升，到达时，时，门反向，进入II类比题目中的RC电路有，此过程历时II 门再次反向，此时，由于电容上电量不突变，所以因而电路沿逆时针给电容正向充电，新冲入电量为；即不断上升，到达时，时，门反向，进入I类比题目中的RC电路有，此过程历时，重复循环因此得到方波信号周期等于 只需得到此结果，过程无明显错误即给全分六、(22分)在真空中有一个体积为的绝热硬箱子，内部有压强为温度为的理想气体。摩尔质量为，定容摩尔比热为。现在通过一个多孔塞让气体缓缓漏出。1当气体漏出一半时候，箱子内温度为多少？2假设漏出气体的过程中，压强差做的功全部转换为气体的动能，问气体全部漏出的过程中箱子一共可以获得多少动量？提示：

10、理想气体绝热方程为，【解答】对于还没有喷出的气体而言，它经历了准静态绝热膨胀过程。初态，末态体积为，由绝热方程：4分代入理想气体状态方程，末态温度4分2假设经过一小段时间过程，有摩尔的气体被推出。这时内部的气体状态为对外做功只需求出，就能计算出做功了。显然，我们知道绝热方程可以改写：，代入理想气体状态方程：为常数我们可以把这里面初始的看成剩余的的那局部最开始占有的体积得到4分对外做功4分在箱子系中，喷气体动量守恒，因而箱子获得动量大小等于气体动量。由动能定理 4分代入积分得到2分注1：如果最后系数计算的是0.64，且积分步骤是1积分到0.5，那么仅扣1分. 注2：如果在地面系使用动能定理，将导致气体获得的动能在不同阶段不同，计算很难。七、(26分)在诱导原子核衰变的时候，有会用到读作muon，中文缪子代替原子中的一个电子。除了质量比电子重207倍之外几乎没有别的区别。原子核核电荷数为。电子质量，电子电量，普朗克常数1我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计，的基态和第一激发态之间的能级差为多少？用电子伏特做单位表示。2计算上一问中，基态的速度为多少？如果考虑相对论效应，会使得基态轨道半径相对于牛顿力学情景相对变化多少？3原子核的质量为，如果考虑