九年级数学复习专题动态几何问题

1、中考数学专题动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD3，DC5，BC10，梯形的高为4动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t（秒）ADNBMC（1）当MNAB时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本

2、题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定ADNMNMNtDDEABBCEABEDBEMCABDEABMNDEMNMCNC102tt50tECCD103517MNNCNFBCBCFMC2FCsinCDF4CD5A33t25cosC102t2t558DNBMFCMNMCMMHCDCN2CHt2102ttMCCN102tttCE3360517ADNHAFCBM10BGDt2560108173MNC42BC3xx（3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q，点D在线段

3、BC上运动时，BCA=45o，可求出AQ=CQ=4DQ=4-x，易证AQDDCP，CPCD，DQAQCPx4x4CPxAQDDCP，CPCD，CPx，CPxx24点D在线段BC延长线上运动时，BCA=45o，可求出AQ=CQ=4，DQ=4+x过A作AGAC交CB延长线于点G，则AGDACFCFBD，DQAQ4x4x24（3）在（2）中，当取最小值时，判断PQC的形状，并说明理由ADQ点【例3】已知如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD2，BC4，是的中点，MBC是等边三角形（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且MPQ60保持不变设PCx，MQy，求与x的函数关系

4、式；M60BCP【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60，这个度数的意义在哪里其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：MBC是等边三角形MBMC，MBCMCB60是中点AMMDADBCAMBMBC60，DMCMCB60AMBDMCAB

5、DC梯形ABCD是等腰梯形（2）解：在等边MBC中，MBMCBC4，MBCMCB60，MPQ60PCBMPBPMBPMQPC120摩)BMPQPCBMPCQPCQBMBPPCx，MQyBP4x，QC4y(这个角度传递非常重要,大家要仔细揣x4y1yx2x444x4(设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解：PQC为直角三角形y1x2234当取最小值时，

6、xPC2而是的中点，MPBC，MPQ60，CPQ30，PQC90以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG，你在（1）中得到的结论

7、是否发生变化写出你的猜想并加以证明1（3）将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（）中的结论是否仍然成立（不要求证明）ADADADGEGEFEFFBB图1C图2CB图3C【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE

8、，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（1）CGEG（2）（1）中结论没有发生变化，即CGEG证明：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中，ADCD，ADGCDG，DGDG，DAGDCGAGCG在DMG与FNG中，DGMFGN，FGDG，MDGNFG，DMGFNGMGNG在矩形AENM中，AMEN在RtAMG与RtENG中，AMEN，MGNG，AMGENGAGEGEGCGAMGDEFNBC图2【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们

9、不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。（3）（1）中的结论仍然成立ADGEFBC图3【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F

10、eqoac(,，将)ABE沿直线AE翻折，点B落在点B处（1）当BE=1时，CF=_cm，CE（2）当BECE=2时，求sinDAB的值；（3）当BE=x时（点C与点E不重合），请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部CE分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）ABDC【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴

11、对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【解析】（1）CF=6cm；（延长之后一眼看出，EAZY）（2）如图1，当点E在BC上时，延长AB交DC于点M，ABCF，ABEFCE，BEBE=2，CF=3CEABCF，BAE=FABCEFC又BAE=BAE，BAE=FMA=MF设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k在eqoac(,Rt)ADM中，由勾股定理得：图1k2=(9-k)2+62，解得k=MA=法）135DM=（设元求解是这类题型中

12、比较重要的方22sinDAB=DM5；AM13如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交BE于点N，同可得NA=NE设NA=NE=m，则BN=12-m在eqoac(,Rt)ABN中，由勾股定理，得图2m2=(12-m)2+62，解得m=AN=159BN=22BN3sinDAB=AN5（3）当点E在BC上时，y=18xx1；（所求eqoac(,A)BE的面积即为ABE的面积，再由相似表示出边长）当点E在BC延长线上时，y=18x18x【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到

13、题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，

14、不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考1】已知：如图（1），射线AM/射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DEEC，且ADDEABa（1）求证：ADEBEC；（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：ADBCCD；（3）设AEm，请探究：BEC的周长是否与m值有关若有关，请用含有m的代数式

15、表示BEC的周长；若无关，请说明理由第25题（1）第25题（2）【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【思考2】ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0PBC180，且PBC平分线上的一点D满足DB=DA，（1）当BP与BA重合时（如图1），BPD=；（2）当BP在ABC的内部时（如图2），求BPD的度数；（3）当BP在

16、ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数，并画出相应的图形【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心，BA为半径的一个圆，那D点是什么呢留给大家思考一下DD【思考3】如图：已知，四边形ABCD中，ADA置关系，并加以证明；35YABCD断直线FC1与直线CD的位A当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2M与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.P（2）若AD=6,t

17、anB=,AE=1,在的条件下，设CP1=Bx，SVPFC=，求与xC之间的函数关B43ONC11系式，并写出自变量x的取值范围.（备用图）【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90的条件。旋转90自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。第三部分思考题解析【思考1解析】（1）证明：DEEC，DEC

18、90AEDBEC90又AB90，AEDEDA90BECEDAADEBEC（2）证明：如图，过点E作EF/BC，交CD于点F，E是AB的中点，容易证明EF1(ADBC)2在RtDEC中，DFCF，EF12CD1第25题1(ADBC)CD22ADBCCD（3）解：AED的周长AEADDEam，BEam设ADx，则DEaxA90，DE2AE2AD2即a22axx2m2x2xa2m22a由（1）知ADEBEC，a2m2ADE的周长BEam2aBEC的周长AD2aamamADE的周长2aBEC的周长2aBEC的周长与m值无关【思考2答案】解：（1）BPD=30；（2）如图8，连结CD解一：点D在PBC的

19、平分线上，1=2ABC是等边三角形，BA=BC=AC，ACB=60BP=BA，BP=BCAPBD=BD，PBDCBDB12D34CBPD=3-3分DB=DA，BC=AC，CD=CD，BCDACD341ACB302BPD=30解二：ABC是等边三角形，BA=BC=ACDB=DA，CD垂直平分AB341ACB302BP=BA，BP=BC点D在PBC的平分线上，PBD与CBD关于BD所在直线对称BPD=3图8BPD=30（3）BPD=30或150图形见图9、图10PAAA或PDDBBC图9BC图10CPD【思考3解析】解：（1）过点A作AEBC,在eqoac(,Rt)ABE中，由AB=5，cosB=35得BE=3CDBC，ADBH3918cosB3BO555过P作PQBC，过点O作OHAB,设BO=x，则PO=x,由BHBQ=BPcosB=18OQ=x18x29PQODOC，PQDC即254，得xOQOC76xCDBC，则有PQODOC-33cosB，得BH=x,x55BP=2BH=6x.524x，PQ=x25