机电系统检测与控制第二章机械系统数学模型建立

1、机电系统检测与控制Measurement and Control in Mechatronics System 机械系统是机电一体化系统的最根本要素，主要用于执行机构，传动机构和支承部件，以完成规定的动作，传递功率，运动和信息，支承连接相关部件等。机械系统设计时，除考虑一般机械设计要求外，还必须考虑机械结构因素与整个伺服系统的性能参数，电气参数的匹配，以获得良好的伺服性能。第二章 机械系统数学模型建立2.1 机械系统建模中根本物理量的描述2.2 机械传动系统数学模型第二章 机械系统数学模型建立 在机电一体化系统的分析中，质量，弹簧，阻尼这三个理想的机械元件代表了机械系统各组成局部的本质。另外，

2、机械系统中的负载，驱动力，间隙，死区等因素也直接影响机械系统的性能。2.1 机械系统建模中根本物理量的描述一、质量和惯量的转化 质量m：指储有直线运动动能的部件属性。 力质量系统mxF(t)2.1 机械系统建模中根本物理量的描述转动惯量J：表示具有转动动能的部件属性。转动惯量取决于部件相对转动轴的几何位置和部件的密度。质量和惯量转化的原那么：转化前后系统瞬时动能保持不变。即：2.1 机械系统建模中根本物理量的描述转动元件的瞬时动能为： 移动元件的瞬时动能为：式中 m化转化质量(等效质量)； J化 转化惯量(等效转动惯量)。2.1 机械系统建模中根本物理量的描述机床传动机构示意图1 、2、3、4

3、齿轮5丝杠 6工作台等效质量 齿轮1 、2、3、4及丝杠5和工作台6，其转动惯量J1，J2， J3， J4 ，J5，工作台6的质量为m6，各齿轮的齿数为Z1，Z2，Z3，Z4，丝杠5螺距为12mm，求工作台6的转化质量。2.1 机械系统建模中根本物理量的描述机床传动机构示意图1 、2、3、4齿轮5丝杠 6工作台2.1 机械系统建模中根本物理量的描述2.1 机械系统建模中根本物理量的描述二、弹性系数的转化 轴向弹性系数k 表示位移弹簧的位能。力弹簧系统F(t)kX(t)2.1 机械系统建模中根本物理量的描述扭力弹簧系数或扭转刚度系数k表示旋转弹簧的位能。转矩扭力弹簧系统T(t)(t)k2.1 机

4、械系统建模中根本物理量的描述弹性系数的转化 旋转传动系统弹性系数的转化：式中 k化转化弹性系数； kj各构件的弹性系数； ij各构件到被研究元件间的传动比。 此式是对旋转传动系统而言的，如果是移动系统那么需要变换。 2.1 机械系统建模中根本物理量的描述移动系统弹性系数的转化：串联弹簧的等效数学表达式为：并联弹簧的等效其数学表达式为：2.1 机械系统建模中根本物理量的描述三、阻尼系数的转化 机械系统在工作过程中，相互运动的元件间存在着阻力，并以不同的形式表现出来。如摩擦阻力、流体的阻力以及负载阻力。这些在建立物理模型时都需要进行转化，转化为与速度有关的粘滞阻尼力。2.1 机械系统建模中根本物理

5、量的描述(一)直线运动的摩擦FFFF 1静摩擦 2动摩擦 3粘滞摩擦2.1 机械系统建模中根本物理量的描述(二)旋转运动的摩擦 直线运动的三种摩擦均适用于转动。2.1 机械系统建模中根本物理量的描述 (三)阻力系统转化为当量粘滞阻尼系数 上边讲的系统中存在的阻力性质是不相同的，但系统在运行过程中都要消耗能量是共同的。在数学模型的建立中，只有与构件运动速度成正比的阻力才是可行的。所以，利用摩擦阻力与粘滞阻力所消耗的功相等这一根本原那么来求取转化粘滞阻尼系数。2.1 机械系统建模中根本物理量的描述微分方程及其线性近似拉氏变换及其反变换传递函数系统方框图2.2 机电系统数学模型的建立一、列写微分方程

6、的一般步骤：(1)要先明确输入和输出变量；(2)利用对系统的分析，找出各元部件之间的动态联系: 微分方程组；(3)消去中间变量，得到输入、输出变量间的微分方程；(4)写成标准式：即与输入变量有关的项放在等号的右边，与输出变量有关的项放在等号左边。并按求导次数依次降低的顺序排列。2.2.1 微分方程及其线性近似例1：求组合机床动力滑台力学模型的微 分方程。fi(t)xo(t)kfM由牛顿第二定律得：二阶线性定常非齐次微分方程！2.2.1 微分方程及其线性近似例2：求求摆锤的扭转力矩与扭转角之间的关系。由牛顿第二定律得：2.2.1 微分方程及其线性近似一、拉氏变换的定义：(1)当 t 0时， x(

7、t)在每个有限区间上分段连续；对于函数 x(t)，如果满足以下条件：(2) 存在，其中s=+j为复变量。为原函数为象函数2.2.2 拉氏变换及其反变换二、典型函数的拉氏变换1、单位阶跃函数: 1(t)=1, (t0)2、单位斜坡函数: t1(t)0t1(t)10tt1(t)452.2.2 拉氏变换及其反变换二、典型函数的拉氏变换(t)在a0时t-a/21/aa/20, (t0);, (t=0); 且有(t)=4、指数函数: e-at 1(t)3、单位脉冲函数: (t)2.2.2 拉氏变换及其反变换三、拉氏变换的根本性质和定理1、线性性质：t例：0 x(t)4522.2.2 拉氏变换及其反变换三

8、、拉氏变换的根本性质和定理2、微分性质：假设系统处于零初始条件下：那么有2.2.2 拉氏变换及其反变换三、拉氏变换的根本性质和定理例：在零初始条件下求输出的拉氏变换。解：对上方程在零初始条件下求拉氏变换得：利用拉氏反变换便可得到输出的原函数。2.2.2 拉氏变换及其反变换三、拉氏变换的根本性质和定理3、积分性质（在零初始条件下）：4、延时定理：0t1( t -)1例：x(t)t045222.2.2 拉氏变换及其反变换三、拉氏变换的根本性质和定理5、终值定理：证明)(lim)(lim0ssXtxst=2.2.2 拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换采用局部分式展开法求拉氏反变换： x(t) X(s)

9、 X(s)=Lx(t)X(s) x(t) x(t)=LX(s)-12.2.2 拉氏变换及其反变换1、只含不同单极点的式中：四、拉氏反变换2.2.2 拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换1、只含不同单极点的情况：例1例2解：解：2.2.2 拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换通过配方化成正弦、余弦象函数的形式再求反变换2、含共轭复数极点的情况：2.2.2 拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换2、含共轭复数极点的情况：例2.2.2 拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换3、含重极点的情况：S - p1S=-p1为r 重极点展开为r 个分式2.2.2 拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换例13、含重极点的情况：2.2.2

10、 拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换例23、含重极点的情况：2.2.2 拉氏变换及其反变换四、拉氏反变换例23、含重极点的情况：2.2.2 拉氏变换及其反变换 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 一、传递函数的定义 即系统的传递函数为：式中:C(s)为系统的输出量，R(s)为输入量，mn。a0、a1、 an 及b0、b1、 、bm 均为实数, 其数值由系统的结构及参数决定。 2.2.3 传递函数一、传递函数的定义 若线性定常系统的微分方程一般形式为：G(s)R(s)C(s)即为系统的传递函数。C（s）=G（s）R（S）2.2.3 传递函数 控制系统的数学模型是描

11、述系统内部各物理量或变量之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。亦：描述能系统性能的数学表达式或数字、图像表达式数学模型有三种描述 微分方程 传递函数 系统方框图 传递函数是系统数学模型的一种形式，也是一种表示输入输出的模型形式。 它表示了系统本身的特性而与输入信号无关。它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构。一、传递函数的定义 2.2.3 传递函数 比例(或放大)环节：G(s)=K (理想)积分环节：G(s)=1/s (理想)微分环节：G(s)= s (一阶)惯性环节：G(s)= 1/ (T s+ 1) 一阶微分环节： G(s)= s + 1 (二阶)振荡环节：G(s)=

12、1/ (T2 s2 +2Ts +1) 二阶微分环节： G(s)= 2 s2 + 2s + 1 二、典型环节及其传递函数 1. 典型环节的传递函数2.2.3 传递函数 机械转动系统：M(t)(t)fJ 此系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成，负载的转动惯量为 J，粘性摩擦系数为 f，作用到系统上的转矩为M(t)。 根据牛顿定律可得：二、典型环节及其传递函数 2. 典型机电元部件传递函数中的典型环节2.2.3 传递函数经拉氏变换得角速度的传递函数：则减速器转矩的传递函数为可见负载转矩M2折算到输入端的折算值为：由机械原理知，在不考虑功率损耗时有M1M2（减速比： ） 减速器：Z1Z21M12M2二、

13、典型环节及其传递函数 2. 典型机电元部件传递函数中的典型环节2.2.3 传递函数轴：轴：轴：M21M32齿轮传动系统：设输入为转矩M1，输出为转角1 。J3, f3M1J1, f11轴J2, f22M2轴3M3轴Z1Z2Z3Z4且在不考虑功率损耗时有:二、典型环节及其传递函数 2. 典型机电元部件传递函数中的典型环节2.2.3 传递函数M11fJ轴齿轮传动系统：设输入为转矩M1，输出为转角1 。J3, f3M1J1, f11轴J2, f22M2轴3M3轴Z1Z2Z3Z4二、典型环节及其传递函数 2. 典型机电元部件传递函数中的典型环节2.2.3 传递函数一、系统方框图 方框图模型是控制系统的

14、又一种数学模型。特点：具有图示模型的直观，能说明系统个元件的功能及信号的流向。方框图具有数学性质，可以进行代数运算和等效变换，是计算系统传递函数的有力工具，应用非常普遍。 系统方框图与原理图是不一致的！2.2.4 系统方框图一、系统方框图组成A(s)B(s)C(s)= A(s) B(s)A(s)A(s)A(s)信号线：表示信号传递通路 与方向。 方框：表示对信号进行的数学变换。 方框中写入元件或系统的传递函数。 比较点：对两个以上的信号进行加减运算。引出点：表示信号引出或测量的位置。同一位 置引出的信号数值和性质完全相同。R(s)C(s)E(s)G(s)H(s)(-)系统方框图表示符号的“三要素2.2.4 系统方框图二、系统方框图的绘制对各元件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元件的方框图表示。2.按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的方框图连接起来，可得系统的方框图。3.绘制系统方框图的步骤建立控制系统各元件的微分方程。注意分清各元件的输入和输出，同时考虑相邻元件之间的负载效应。1.2.2.4 系统方框图例1：试建立图示机械系统的方框图(或结构图)。J1J2T2T1ok2fik11解：二、系统方框图的绘制2.2.4 系统方框图1(s)k1i(s)T1(s)T2(s)1(s)o(s)k2T2(s)o(s)例1：