九年级弧长和扇形面积计算讲义

1、弧长和扇形面积计算 内容基本要求略高要求较高要求弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关的简单问题圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题自检自查必考点一、弧长公式由于圆周角课看做的圆弧，而的圆心角所对的弧长就是圆周长 ，所以在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长的计算公式：【注意】圆心角的单位若不全是“度”，一定要化为“度”再代入公式；公式中的三个未知量只要知道两个就可以求出第三个，从而可以推得圆心角的计算公式为：二、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角度常见的多边形滚动问题有：正三角

2、形沿水平线翻滚；正方形沿水平线翻滚；各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚；各内角不相等的多边形沿水平线翻滚三、扇形扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形扇形的周长：在半径为，圆心角的度数为的扇形中，周长的公式为：扇形面积的计算公式： （为扇形的弧长） 【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公式进行计算四、弓形面积的计算方法弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化成扇形面积和三角形面积来计算根据弧的情况不同，有以下三种情况： 当弓形所含的弧是劣弧时， 当弓形所含的弧是优弧时， 当弓形所含的弧是半圆时

3、， 五、圆锥圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形这条直线叫做圆锥的轴垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥的底面周长，因此圆锥的侧面积公式为：圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全面积公式为：【注意】圆锥面积计算公式中的与扇形面积计算公式中的表示的含义是不一样的，应用时不要用混淆推

4、论：已知扇形的半径为，圆心角为， 扇形围成的圆锥的底面半径为，则可以三者之间的关系为： 例题精讲一、弧长的计算在半径为3的圆中，150的圆心角所对的弧长为（ ）A B C D如果中标的轴心到分针针端的长为5，那么经过40分钟，钟表的分针针端转过的弧长是_一条弧的长度为，所对的圆心角为108，那么这段弧的半径为_（2012年漳州）如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（）A B C D（2013年玉林）如图，实线部分是半径为 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是_m（2013年宜宾）如图，是正三角形，曲线叫做正三角形的渐开线

5、，其中弧、弧、弧的圆心依次是，如果，那么曲线的长是_（2013年扬州）如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处，折痕交于点，则弧的长为 _二、多边形滚动问题（2013年遵义）如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动（不滑动），点从开始到结束，所经过路径的长度为（ ） A B C D3（2011年兰州）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_米（2013年贵阳）在矩形中，有一个半径为1的硬币与边相切，硬

6、币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边滚动到开始的位置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（）A1圈 B2圈 C3圈 D4圈（2012年呼伦贝尔）如图，在中，将绕顶点按照顺时针旋转至的位置，且三点在同一条直线上，则点经过的路线的长度是（）A4 B C D （2009年黄冈）已知：矩形的边，现将矩形放在直线上且沿着向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点所经过的路线长是_（2010年台州）如图，菱形中，菱形在直线上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60叫一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心所经过的路径总长为（结果保留）_（2013年内江）如图，正六边形硬纸片在桌面上由

7、图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心运动的路程为_cm（2013年六盘水）把边长为1的正方形纸片放在直线上，边在直线上，然后将正方形纸片绕着顶点按顺时针方向旋转90，此时，点运动到了点处（即点处），点运动到了点处，点运动到了点处，又将正方形纸片绕点，按顺时针方向旋转90，按上述方法经过4次旋转后，顶点经过的总路程为_，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为_如图，边长为2的等边置于边长为4的正方形内，使点在边上将三角形先绕点作顺时针旋转，然后再绕作顺时针旋转，如此进行，使三角形沿着正方形的边向前转动，直到回到原来位置这时顶点所行路程长度

8、为_三、扇形、弓形面积的计算（2013年资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A B C D 【答案】A（2013襄阳）如图，以为直径的半圆经过斜边的两个端点，交直角边于点是半圆弧的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（）A B C D （2013年东营）如图，正方形中，分别以为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）A B C D （2013年昭通）如图所示是某公园为迎接“中国南亚博览会”设置的一休闲区，弧的半径长是6米，是的中点，点在弧上，则图中休闲区（阴影部分）的面积是？（2012宁夏）如图，一根5m

9、长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），那么小羊在草地上的最大活动区域面积是？=（2013年遵义）如图，在中，为边上的一点，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交的延长于点，若图中两个阴影部分的面积相等，则的长为？（结果保留根号）（2013年盐城）如图，在中， ，将绕顶点按顺时针方向旋转45至的位置，则线段扫过区域（图中的阴影部分）的面积为？四、圆锥（2013年贵港）如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的高与母线所夹的角为，且 ，则该圆锥的侧面积是（）A B C D （2013黔西南州）如图，一扇形纸片，圆心角为120，弦的长为，用它围成一个圆锥的侧面（接

10、缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_（2013年盘锦）如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具，那么这个教具的用纸面积是_cm2（不考虑接缝等因素，计算结果用表示）（2013年佛山）如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线与高的夹角（参考公式：圆锥的侧面积，其中为底面半径，为母线长）（2009年永州）问题探究：如图所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达点，求蚂蚁爬行的最短路程（探究思路：将圆柱的侧面沿母线剪开，它的侧面展开图如图中的矩形，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长）；如图所示是一个底面半径为，母线长为4的圆

11、锥和它的侧面展开图，是它的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点，求蚂蚁爬行的最短路程；如图所示，在的条件下，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程（2008年南通）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？请说明方案一不可行的

12、理由；判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由如图：有一个半径为的半圆，要用这个半圆做一个圆锥的侧面和底面，小芳想这样做：在圆弧上取点，使，用扇形作圆锥的侧面，在扇形内剪一个最大的作圆锥的底面，你认为小芳这样做办得到吗？请你通过计算说明理由己知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，为母线的中点，求从到在圆锥的侧面上的最短距离课后作业（2012年北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，将绕点顺时针旋转60，则顶点所经过的路径长为（）A B C D （2013年山西）如图，四边形是菱形，扇形的半径为2，圆心角为60，则图中阴影部分

13、的面积是（）A B C D （2013年泰安）如图，是的两条互相垂直的直径，点分别是的中点，若的半径为2，则阴影部分的面积为（）A8 B4 C D （2013年遂宁）如图，的三个顶点都在55的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将绕点逆时针旋转到的位置，且点仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是？（ ，结果精确到0.1）（2013年黄冈）如图，矩形中，边在直线上，将矩形沿直线作无滑动翻滚，当点第一次翻滚到点位置时，则点经过的路线长为_（2012年遵义）如图，将边长为的正方形沿直线向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心经过的路线长是_cm（结果保留）（2013年广安）如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是 cm（2009年青海）如图，一个圆锥的