全国高中数学联赛初赛试卷

1、全国高中数学联赛初赛试卷(含)全国高中数学联赛初赛试卷(含)全国高中数学联赛初赛试卷(含)全国高中数学联赛江苏赛区初赛参照答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每题7分要求直接将答案写在横线上）1已知点P(4，1)在函数f(x)loga(xb)(b0)的图象上，则ab的最大值是解：由题意知，loga(4b)1，即ab4，且a0，a1，b0，从而ab2(ab)4，4当ab2时，ab的最大值是4432函数f(x)3sin(2x)在x424处的值是解：2x443124010241234434，所以f()3sin3243323若不等式|ax1|3的解集为x|2x1，则实数a的值是解：设

2、函数f(x)|ax1|，则f(2)f(1)3，故a24第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各拿出一球，拿出的球颜色同样的概率是解：有两类状况：同为白球的概率是310252530，同为红球的概率是6257642，所求的2525625概率是726255在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆2x2a2y21(ab0)与椭圆b2x2b2yc21有同样的离心率e，则e的值是解：若cb，则2c2a2b2c2，得ab，矛盾，所以cb，且有c2c2a2c215b2，解得eb26如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线B1D与平面

3、A1BC1交于E点记四棱锥EABCD的体积为V1，长方体ABCDA1B1C1D1的体D1C1积为V2，则V1的值是V2A1B1ECDAB（第6题图）解：记四棱锥B1ABCD的体积为V2如图，DEDB1，3D1OA1B1C1从而V121V又VV2，所以33V12V29DECAB（第6题图）7若实数会集A31x，65y与B5xy，403仅有一个公共元素，则会集AB中全部元素之积的值是解：由于31x65y5xy4032015xy若xy0，则会集A和会集B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意所以xy0，从而AB中全部元素之积的值为08设向量a(cos，sin)，b(sin，cos)向量x1，x

4、2，x7中有3个为a，其他为b；7向量y1，y2，y7中有2个为a，其他为b则xiyi的可能取值中最小的为i=1解：由于aabb1，ab0，所以7xiyi的最小值为2i=19在33的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其他6个数之和为1解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知2a2012，从而对角线上三个数的和为x20112015所以bx2014，c4026，d2013，ex2014（第9题图）由bexx2011，解得x20112ec1这9个数的和为3(201122011)180992，dx2所以幻方中其他6个数之和为1

5、809922018221352a2015b（第9题图）10在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x0，y0，xyxy19的点(x，y)形成的地域（此中x是不超出x的最大整数）则地域D中整点的个数为解：地域D中整点的个数为1231055二、解答题（本大题共4小题，每题20分，共80分）11在等比数列an中，a22，q是公比记Sn为an的前n项和，Tn为数列a2n的前n项和若S2n2Tn，求q的值解：若q1，则ana22，a2n4，则S2n4n，Tn4n，S2n2Tn若q1，则an2(1)n4，则S2n0，Tn4n，S2n2Tnn，a25分n2，a22n4，从而S2n若q1，则an2qn4q2q2n

6、)(1q，Tn1q42(1q2n)2n)q21q15分由S2n2Tn，则11741，q2q40，解得q2q(1q)综上，q的值为117和211720分212如图，ABC中，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，且BDCEBAC的外角均分线与ADE的外接圆交于A、P两点C求证：A、P、B、C四点共圆EDABP(第12题图)C证明：如图，连结PD，PE，PC由于四边形APDE是圆内接四边形,E所以PADPED，PAFPDE又由于AP是BAC的外角均分线，DAB所以PADPAF，FP从而PEDPDE，(第12题图)故PDPE10分又ADPAEP，所以BDPCEP又由于BDCE，所以BDPCEP，从

7、而PBDPCE，即PBAPCA，所以A、P、B、C四点共圆10分13如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1、圆O2都与直线l：ykx及x轴正半轴相切若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程yl解：由题意，圆心O1，O2都在x轴与直线l的角均分线上若直线l的斜率ktan，2t设ttan，则k221tPO1O2圆心O1，O2在直线ytx上，Ox可设O1(m，mt)，O2(n，nt)(第13题图)交点P(2，2)在第一象限，m，n，t04分2+(ymt)2=(mt)2，所以O1：(xm)2+(ynt)2=(nt)2，O1：(xn)所以2(2mt)2(mt)2，(2m)2(2

8、nt)2(nt)2，即(2n)2(44t)m80，m2(44t)n80，8分n所以m，n是方程X2(4+4t)X8=0的两根，mn8由半径的积(mt)(nt)2，得t16分21，故t1422t所以k21t114，直线l：y13443x20分14将正十一边形的k个极点染红色，其他极点染蓝色（1）当k2时，求极点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k取何值时，三个极点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明原由解：（1）设正十一边形的极点A1，A2，A3，A11，则易知此中任意三点为极点的三角形都不是正三角形以这些点为极点的等腰三角形个数可以这样计算：以Ai(i1，2，3，11)为顶角极点

9、的等腰三角形有1115个，这些三角形均不是等边三角形，即当ji时，以Aj为顶角2极点的等腰三角形都不是上述等腰三角形故全部的等腰三角形共有51155个5分当k2时，设此中Am，An染成红色，其他染成蓝色以Am为顶角极点的等腰三角形有5个，以Am为底角极点的等腰三角形有10个；同时以Am，An为极点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的极点不一样色，且共有(510)2327个注意到仅有这些等腰三角形的三个极点不一样蓝色，故所求三个极点同为蓝色的等腰三角形有552728个10分（2）若11个极点中k个染红色，其他11k个染蓝色则这些极点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有k(k1)条，两端点染蓝色的有2(11k)(10k)条，两端点染一红2一蓝的有k(11k)条而且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形把等腰三角形分4类：设此中三个极点均为红色的等腰三角形有x1个，三个极点均为蓝色的等腰三角形有x2个，两个极点为红色一个极点为蓝色的等腰三角形有x3个，两个极点为蓝色一个极点为红色的等腰三角形有x4个，则按极点颜色计算连线段，3x1x33k(k1)，23x2x43(11k