高中数学必修二 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系-同步培优专练

1、8.4空间点、直线、平面之间的位置关系知识储备1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

2、.4.异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：.5.常用结论（1）空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.（2）异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.（3）两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、

3、单选题1（2020合肥市第十一中学高二期中（文）若直线与平面平行，直线，则与位置关系：（ ）A平行B异面C相交D没有公共点【答案】D【解析】若直线与平面平行，直线，则直线与可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点.故选：D.2（2020重庆市万州第三中学高二期中）下列说法正确的是（ ）A经过一条直线和一个点，有且只有一个平面B平面与平面相交，它们只有有限个公共点C经过三点，有且只有一个平面D如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合【答案】D【解析】对于，当点在直线上时，说法不正确；对于，当平面与平面相交，它们无数个公共点，这些公共点在一条公共直线上，说法不正确；对于，经过不在一条直

4、线上的三点，有且只有一个平面，说法不正确；对于，如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，说法正确.故选：D3（2019浙江高二学业考试）若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（ ）A内的所有直线与异面B内不存在与平行的直线C内存在唯一的直线与平行D内的直线与都相交【答案】B【解析】因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，设交点为.A：直线可以和在平面内过点的直线相交，故本选项结论不成立；B：假设内存在与平行的直线，设为，根据线面平行的判定定理可知直线与平面平行，这与直线与平面相交相矛盾，故假设不成立，故本选项结论成立；C：根据B的判断，显然本选项的结论不成立；D：由A判

5、断，显然本选项结论不成立.故选：B4（2020天津高二期中）在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，连结交于点，取的中点，连结，因为点分布是的中点，所以，即异面直线与所成角是或是其补角，设，则底面边长，同理，中，所以，所以，即异面直线与所成角是.故选：A5（2020湖南高三月考）在正方体中，是正方形的中心，点在线段上，且，是的中点，则异面直线，所成角的大小为（ ）A30B45C60D90【答案】D【解析】如图所示，在正方体中，在底面上的射影为，在正方形中，分别为的中点，可得，又由，且，所以平面，又由平面，那么，则异面直线所成角的大小为.故选：D.6（2020大

6、名县第一中学高二月考）若l，m为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7（2020咸阳市高新一中高一月考）如果、是异面直线，且平面，那么与的位置关系是（ ）AB与相交CD不确定【答案】D【解析】、是异面直线，且平面，如图所示：正方体中，是对应棱上的中点，对角面是平面，直线是，满足题意，则是时，是时与相交，是直线时，故与的位置关系不确定.故选：D.8（2020浙江高一期末）设是直线外一定点，过点且与成角的异面直线

7、（ ）A有无数条B有两条C至多有两条D仅一条【答案】A【解析】过点作直线，如图，与直线成角的圆锥面上的母线均与成角，所以符合题意的直线有无数条.故选：A.二、多选题9（2020湖北武汉市高二期中）如图，在正四棱柱中，分别是棱，的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）AB直线与直线共面CD直线与直线异面【答案】BCD【解析】如图，连接，可知在正四棱柱中，四边形是平行四边形，是异面直线与所成角，设，则，则可得,，故A错误，C正确；如图，连接，是，的中点，又正四棱柱中，四边形是平行四边形，四点共面，即直线与直线共面，故B正确；平面，平面，且，直线与直线异面，故D正确.故选：BCD.10（2020

8、南通西藏民族中学高二期中）分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ）A平行B相交C异面D以上皆不可能【答案】ABC【解析】当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；故选：ABC.11（2020山东日照市日照一中高三月考）在正方体中，点在线段上运动，则（ ）A直线平面B三棱锥的体积为定值C异面直线与所成角的取值范围是D直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】BD【解析】A错，如图，连接，由正方体可得，且平面，则，所以平面，故；同理，连接，易

9、证得，则平面，若直线平面，则平面平面这与平面与平面相交矛盾，所以A错；B正确，因为点在线段上运动，所以，面积为定值，且到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，故体积为定值；C错，由, 当点与线段的端点重合时，与所成角为60；设的中点为,当点由的端点向中点运动时，为异面直线与所成角在在中,，所以 在中，不变，逐渐变小.所以逐渐增大，当点与重合时，异面直线与所成角为 所以异面直线与所成角的取值范围是,所以C不正确.D正确，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为1， 则， 由前面可得，平面，所以 为平面的一个法向量直线C1M与平

10、面所成角的正弦值为 ： 当时，有最大值 所以直线C1M与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故D正确故选：BD12（2020邵东市第一中学高三月考）点是正方体中侧面上的一个动点，则下面结论正确的是（ ）A满足的点的轨迹为直线B若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为C点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等D在线段上存在点，使异面直线与所成的角是【答案】BC【解析】如图，在正方体中，侧面，则，又，所以平面，当点M在线段上时，有，所以点的轨迹为线段，故A不正确；由正方体的性质得，平面，若正方体的棱长为1，则点M与重合时，三棱锥的体积取得最大，其值为，故B正确；平面上的点M到直线的距离等于

11、M到的距离，则满足到直线AD和直线的距离相等，即满足到直线AD和点的距离相等.可知M的轨迹为平面上抛物线的部分，故C正确.异面直线与所成的角是，当在线段上运动时，点取的中点时，最小，其正切值为，所以不存在点，使异面直线与所成的角是，故D不正确，故选BC.三、填空题13（2019西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）若a ，b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面有_个【答案】1或无数【解析】由a ，b 是两条不相交的直线，1、若a ，b平行时，过直线b 且平行于a 的平面有无数个；2、若a ，b不平行时，即为异面直线，则过直线b 且平行于a 的平面有且仅有1个；故答案为：1或无数

12、.14（2020山西吕梁市高二期中）如图，在正方体中，、分别是顶点或所在棱的中点，则、四点共面的图形有_（填上所有正确答案的序号）【答案】【解析】对于，连接、，取的中点，连接、，在正方体中，四边形为正方形，则且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，可得，同理可证四边形为平行四边形，所以，则，此时，、四点共面；对于，如下图所示：平面，此时，、四点不共面；对于，连接、，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，可得，、分别为、的中点，则，此时，、四点共面；对于，连接、，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，所以，、分别为、的中点，则，同理可证，此时，、四点共面；对于，由题图可知，平面，此时，、四点不共面.故答案为：.15（2020昔阳县中学校高二期中）如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：该八面体的体积为；该八面体的外接球的表面积为8；E到平面ADF的距离为；EC与BF所成角为60.其中正确的说法为_.（填序号）【答案】【解析】八面体的体积为；八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，易得外接球半径为，表面积为；取AD的中点G，连接EG，FG，EF，易得，平面EGF，过E作，交FG的延长线于H，又，故平面ADF