刚体动力学71刚体平面运动0806

1、前言刚体的平面运动非惯性基下刚体动力学碰撞刚体的定点运动理论力学CAI版权所有, 2000 (c) 理论力学 CAI刚体动力学刚体的平面运动2022/9/181刚体的平面运动刚体平面运动的动力学条件 处理动力学问题的一般方法处理动力学问题的独立坐标方法 刚体动力学/刚体的平面运动2022/9/182刚体的平面运动刚体平面运动的动力学条件 处理动力学问题的一般方法处理动力学问题的独立坐标方法 刚体动力学/刚体的平面运动2022/9/183刚体平面运动的动力学条件刚体在力或力偶的作用下产生运动作用于刚体上的一个平面力系，刚体是否一定作平面运动？刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件2022/9/1

2、84刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件/例1例1对象：哑铃(间距2l)外力(不考虑重力) ：力偶矩矢量假定在平面内绕Oz作定轴转动动量矩定理可能成立哑铃可能在平面内绕Oz作定轴转动平面力系平面运动关系平面力系平面运动2022/9/185刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件/例2对象：哑铃外力(不考虑重力) ：力偶矩矢量假定在平面内绕Oz作定轴转动例2平面力系平面运动动量动量矩连体基2022/9/186刚体动力学/刚体的平面运动/动力学条件/例2动量矩定理要求不可能成立哑铃不可能绕Oz作定轴转动动量矩在连体基中为常矢量假定在平面内绕Oz作定轴转动连体基矢端作圆周运动2022/9/187刚体

3、动力学/刚体的平面运动/动力学条件Oz为主轴结论刚体作平面运动的惯量条件：刚体运动平面的法线方向应为刚体的一主轴满足作平面运动动力学条件的刚体称为平面刚体Oz为非主轴2022/9/188刚体的平面运动刚体平面运动的动力学条件 处理动力学问题的一般方法处理动力学问题的独立坐标方法 刚体动力学/刚体的平面运动2022/9/189处理动力学问题的一般方法单刚体动力学方程一般形式单刚体动力学问题刚体系动力学方程一般形式刚体系动力学问题 刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法2022/9/1810刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法单刚体动力学方程一般形式惯性基平动参考基基点为质心C连体基作用于受约束刚体

4、的外力理想约束力系主动力系向质心C简化向质心C简化通常未知主矢主矢主矩主矩2022/9/1811刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法惯性基平动参考基基点为质心C连体基运动描述位置质心运动定理姿态动力学方程对质心动量矩定理2022/9/1812刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法位置姿态单刚体动力学方程组单刚体动力学方程组缩并位形加速度坐标阵增广质量阵 增广主动力阵 增广理想约束力阵 2022/9/1813单刚体动力学问题单刚体平面运动的动力学微分方程组由三个方程组成刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法动力学逆问题，刚体的运动已知通过方程组可求得作用于刚体的主动力(偶)与理想约束力(偶)的关系求

5、解的未知量个数不能超过32022/9/1814刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法动力学正问题，作用于刚体的主动力(偶) 已知如果刚体没受到约束，3个位形坐标未知得到刚体质心的加速度和角加速度与主动力(矩)的关系可通过积分方程组，得到位形坐标与速度的时间历程如果刚体受到约束， 3个位形坐标未知，理想约束力未知未知的变量超过方程的个数，必须附加方程2022/9/1815刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/例例 均质杆AB长为l，质量为m。当该杆由静止开始，在地面与墙面上无摩擦地滑动(a) 试建立杆的动力学方程(b)初始为静止状态，初始角为j0，计算当杆下滑到角j位置瞬时的角速度w(c) 计算该

6、瞬时杆受到的约束力(d) 计算当杆与铅垂壁脱离时的角j1(e)计算此瞬时杆的角速度与质心C的水平运动速度 j02022/9/1816刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解解杆的运动为平面一般运动 惯性基连体基受力分析（一般位置） 主动力理想约束力动力学方程 (a)建动力学方程 2022/9/1817刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解(b)已知主动力求运动动力学正问题初始当前2022/9/1818刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解方程（一般位形）未知量数(5)方程数(3)需附加2个方程约束方程(一般位置)加速度约束方程2022/9/1819刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解2

7、022/9/1820刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解(c)初始当前当前2022/9/1821刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解方程当前态 2022/9/1822刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解(d)初始过程当前杆与铅垂壁脱离瞬时何谓杆与铅垂壁脱离2022/9/1823刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解求杆离壁时的姿态离壁条件 解1 与题意不符 解2 2022/9/1824刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解(e)初始过程当前杆与铅垂壁脱离瞬时运动学问题2022/9/1825刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解(e)求杆离壁时位形速度(运动学问题)离壁瞬时 约

8、束方程 速度约束方程 离壁瞬时质心水平速度 离壁瞬时杆角速度2022/9/1826刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/例例 一均质圆柱质量为m，半径为r，无初速地放在倾斜角为q的斜面上，不计滚动摩擦力，考虑滑动摩擦力试讨论圆柱运动的情况 2022/9/1827刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解解 圆柱运动为平面一般运动 惯性基连体基受力分析（一般位置） 重力 理想约束力 滑动摩擦力 （a）理想光滑 圆柱与斜面的相对光滑程度不同会产生不同的摩擦效应（b）非常粗糙 （c）两者之间 2022/9/1828刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解解 圆柱运动为平面一般运动 受力分析（一般位置）

9、 重力 理想约束力 无滑动摩擦力 (a)圆柱与斜面理想光滑动力学方程 2022/9/1829刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解动力学方程 未知量数(4)方程数(3)需附加1个方程约束方程(一般位置)求解圆柱匀加速度斜面平移下滑 2022/9/1830刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解圆柱运动为平面一般运动 受力分析（一般位置） 重力 理想约束力 滑动摩擦力 (b)圆柱与斜面非常粗糙动力学方程 未知未知临界状态? 2022/9/1831刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解动力学方程 未知量数(5)方程数(3)需附加2个方程约束方程(一般位置)纯滚动构成封闭的方程组2022/9/1

10、832刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解未知量数(3)=方程数(3)求解圆柱沿斜面纯滚动，质心的加速度不变 2022/9/1833刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解讨论 斜面极限静摩擦力 圆柱与斜面无相对滑动的条件 圆柱在斜面纯滚动的条件 圆柱在斜面将又滚又滑 非常粗糙的含义 2022/9/1834刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解受力分析（一般位置） 重力 理想约束力 滑动摩擦力 (c)圆柱与斜面不很粗糙未知2022/9/1835刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解动力学方程未知量数(4)方程数(3)需附加1个方程约束方程(一般位置)封闭2022/9/1836刚体动力学

11、/刚体的平面运动/一般方法动力学正问题小结如果刚体受到约束， 3个位形坐标未知，理想约束力未知未知的变量超过方程的个数，必须附加方程刚体位形坐标的加速度层次上的关系可以作为附加方程对于未知的非理想约束力，还需增加一些描述非理想约束力关系式（如摩擦）2022/9/1837刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法动力学正问题解题过程动力学方程组加速度约束方程组独立坐标动力学方程组(力与加速度的关系)非独立坐标的位置、速度与加速度整理消去理想约束力独立坐标的位置与速度积分加速度理想约束力解代数方程原动力学方程组解代数方程位置、速度加速度约束方程组2022/9/1838刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法

12、刚体系动力学方程一般形式所受的外力理想约束力系主动力系包括刚体间的理想约束力主矢主矢主矩主矩刚体系2022/9/1839刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法刚体系动力学方程组2022/9/1840刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法刚体系动力学方程组组集2022/9/1841刚体系动力学问题对于N个刚体作平面运动的系统，可以系统的每一个刚体为单位，定义它们的位形坐标，建立动力学方程位形坐标与方程的个数均为3N有多少未知的理想约束力需增加多少的加速度约束关系约束包括刚体间的约束刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法2022/9/1842刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/例例 图示机构由均质滑块

13、和长为2l的均质杆组成。刚度为k的线弹簧连接滑块与墙面。滑块在光滑的水平面滑动，均质杆由转动铰悬挂在滑块的质心C1上可在铅垂面内摆动。滑块和摆杆质量分别为m1和m2试建立系统的动力学方程 2022/9/1843刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解解 惯性基滑块连体基摆杆连体基点O在弹簧原长处坐标基的选取是人为的考虑建立约束方程的方便连体基的基点在惯性基的第1象限姿态角为锐角2022/9/1844刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解惯性基受力分析（一般位置） 重力 滑槽理想约束力 点O在弹簧原长处滑块铰理想约束力 摆杆重力 铰理想约束力 设定正向设定正向设定正向线弹性力 2022/9/1

14、845刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解惯性基滑块连体基动力学方程 摆杆连体基点O在弹簧原长处滑块摆杆2022/9/1846刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解动力学方程 未知量数(12)方程数(8)需附加4个方程2022/9/1847刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解约束方程(一般位置)求导求导铰C12022/9/1848刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解约束方程与连体基选择有关滑块连体基摆杆连体基对于第二种坐标基连体基的基点在惯性基的第1象限姿态角为锐角铰C1建议2022/9/1849刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解动力学方程 未知量数(12)=方程数(12)

15、2022/9/1850刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解变量 方程个数=变量个数 方程封闭 消去理想约束力方程可化简 两个变量的封闭方程组 2022/9/1851刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解变量 变量的个数=系统的自由度数 方程封闭 方程不含未知的理想约束力 2022/9/1852刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解系统位形坐标 系统有4个约束方程 变量 是系统的独立变量 主动力 系统的独立变量的变化 系统的非独立变量的变化 动力学 运动学 讨论 求解正动力学问题的另一个途径 2022/9/1853刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法处理动力学问题的一般方法小结 动力学问

16、题的求解规模与系统刚体的个数有关刚体的个数为N，系统的位形坐标为n=3N，动力学方程的个数也为n对于存在约束的系统，动力学方程中将出现未知的理想约束力如果它们个数为s。对于动力学正问题，需要补充s个独立的加速度约束关系式通过消去理想约束力，动力学方程可缩并为d=3N-s个方程变量为系统的独立坐标2022/9/1854刚体的平面运动刚体平面运动的动力学条件 处理动力学问题的一般方法处理动力学问题的独立坐标方法 刚体动力学/刚体的平面运动2022/9/1855处理动力学问题的独立坐标方法以系统描述位形的独立坐标为变量建立动力学方程方程个数为d = ns，d为系统的自由度数方程为d个独立坐标的二阶微

17、分方程组方程中不含未知理想约束力刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法2022/9/1856刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/例例 利用独立坐标方法建立杆AB的动力学方程 2022/9/1857刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/解解惯性基连体基受力分析（一般位置） 运动学分析 位形坐标约束方程自由度选取独立坐标主动力理想约束力2022/9/1858刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/解建立以独立坐标为变量的动力学方程动量矩定理动量定理矩心定点质心瞬心约束力不出现SS2022/9/1859刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/解动力学方程点O为圆心的圆杆对瞬心定轨迹点

18、S的绝对动量矩 杆对瞬心S的转动惯量 瞬心定轨迹SS2022/9/1860刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/例例 一质量为m，半径为R的圆环上固结一质量为m的质点利用独立坐标方法建立系统的动力学方程 圆环在水平面上作无滑动的滚动2022/9/1861刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/解解 惯性基质心连体基系统质心C为O1m的中点受力分析（一般位置） 运动学分析 位形坐标自由度为1选取独立坐标主动力理想约束力摩擦力2022/9/1862刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/解动量矩定理动量定理矩心定点质心瞬心约束力摩擦力不出现建立已独立坐标为变量的动力学方程2022/9/18

19、63刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/解直线系统对瞬心定轨迹点S的绝对动量矩 系统对瞬心S的转动惯量 瞬心定轨迹方向如图方向如图2022/9/1864刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/解2022/9/1865刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/例例 图示机构由均质滑块和长为2l的均质杆组成。刚度为k的线弹簧连接滑块与墙面。滑块在光滑的水平面滑动，均质杆由转动铰悬挂在滑块的质心C1上可在铅垂面内摆动。滑块和摆杆质量分别为m1和m2试利用独立坐标方法建立系统的动力学方程 2022/9/1866刚体动力学/刚体的平面运动/一般方法/解解 惯性基滑块连体基摆杆连体基点O在弹簧原长处2022/9/1867刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/解解 惯性基滑块连体基摆杆连体基点O在弹簧原长处自由度为2选取独立坐标运动学分析 以整体为对象 受力分析（一般位置） 重力 滑槽理想约束力 设定正向线弹性力 2022/9/1868刚体动力学/刚体的平面运动/独立坐标方法/解方向建立以独立坐标为变量的动力学方程动量矩定理动量定理动量摆杆质心速度摆杆连体基方向如图方向如图