2021年数学卷(山东.理)含答案

1、 14/142021年数学卷(山东.理)含答案 2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 第卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项 （1）若cos isin z =+（i 为虚数单位），则使21z =-的值可能是（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 （2）已知集合11M =-，11242x N x x +? = D 对任意的x R ，32 10 x x -+ （8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒

2、；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ） A 0.9，35 B 0.9，45 C 0.1，35 D 0.1，45 （9）下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ） p ：2m ；q ：2 3y x mx m =+有两个不同的零点 () : 1() f x p f x -=；:()q y f x =是偶函数 :cos cos p =；:tan tan q = :

3、p A B A =I ；:U U q B A ? 痧 A B C D （10）阅读右边的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的值依次是（ ） A 2500，2500 B 2550，2550 C 2500，2550 D 2550，2500 （11）在直角ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ） A 2AC AC A B =u u u r u u u r u u u r g B 2B C BA BC =u u u r u u u r u u u r g C 2AB AC C D =u u u r u u u r u u u r g D 22 ()()AC

4、AB BA BC CD AB ?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r （12）位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 1 2 ，质点P 移动五次后位于点(23)， 的概0 13 14 15 16 17 18 19 秒 频率/组距 0.36 0.34 0.18 0.06 0.04 0.02 开始 输入n 22x 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r 与x 轴正向的夹角为60o ，则OA u u u r 为 （14）设D 是不等式组2102

5、3041x y x y x y +?+? ?，表示的平面区域，则D 中的点()P x y ，到直线 10 x y +=距离的最大值是 （15）与直线20 x y +-=和曲线2 2 1212540 x y x y +=都相切的半径最小的圆的标准方程是 （16）函数log (3)1a y x =+-(01)a a 且，的图象恒过定点A ，若点A 在直线 10mx ny +=上，其中0mn ，则 12 m n +的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分） 设数列n a 满足2 1 123333 3 n n n a a a a

6、 -+= ，a * N （）求数列n a 的通项； （）设n n n b a = ，求数列n b 的前n 项和n S （18）（本小题满分12分） 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程2 0 x bx c +=实根的个数（重根按一个计） （）求方程2 0 x bx c +=有实根的概率； （）求的分布列和数学期望； （）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程2 0 x bx c +=有实根的概率 （19）（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB =，AD DC ， AB DC （）设E 是DC

7、 的中点，求证：1D E 平面11A BD ； （）求二面角11A BD C -的余弦值 （20）（本小题满分12分） 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105o 方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船 航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120o 方向的2B 处，此时两船相距102 海里，问乙船每小时航行多少海里？ （21）（本小题满分12分） 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1 （）求椭圆C 的标准方程； （）若直线:l y k

8、x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标 （22）（本小题满分14分） 设函数2 ()ln(1)f x x b x =+，其中0b （）当1 2 b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （）求函数()f x 的极值点； （）证明对任意的正整数n ，不等式23111 ln 1n n n ?+- ?都成立 B C D A 1A 1D 1C 1B E 北 1B 2B 1A 2 A 120o 105o 乙 甲 2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学参考答案 第卷

9、一、选择题 （1）D （2）B （3）D （4）A （5）A （6）B （7）C （8）A （9）D （10）D （11）C （12）B 第卷 二、填空题 （13） 212 p （14）42 （15）22 (2)(2)2x y -+-= （16）8 三、解答题 （17）（本小题满分12分） 解：（）2 1 123333 3 n n n a a a a -+= Q ， 当2n 时，2212311 3333 n n n a a a a += -得1 133n n a -=，13 n n a = 在中，令1n =，得11 3 a = 1 3 n n a = （）n n n b a = Q ， 3n

10、n b n = 23323333n n S n =+?+?+， 23413323333n n S n +=+?+?+ -得 12323(3333)n n n S n +=-+ 即1 3(13)23 13 n n n S n +-=-， 1(21)3344 n n n S +-=+ （18）（本小题满分12分） 解：（）由题意知：设基本事件空间为，记“方程2 0 x bx c +=没有实根”为事件A ，“方程2 0 x bx c +=有且仅有一个实根”为事件B ，“方程2 0 x bx c +=有两个相异实数”为事件C ，则 ()126b c b c =， 2()40126A b c b c b

11、 c =-=， 所以是的基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2 个，C 中的基本事件总数为17个 又因为B C ，是互斥事件， 故所求概率21719 ()()363636 P P B B C =+= += （）由题意，的可能取值为012，则 17 036P = ， 1 118P =， 17236P =， 故的分布列为： 0 1 2 P 17 36 118 1736 所以的数学期望17117 0121361836 E =?+?+?= （）记“先后两次出现的点数有中5”为事件D ，“方程2 0 x bx c +=有实数”为事件E ，由上面分析得 11()36P

12、 D = ，7 ()36 P D E =I ， ()7 ()()11 P D E P E D P D = =I （19）（本小题满分12分） 解法一： （）连结BE ，则四边形DABE 为正方形， 11BE AD A D =，且11BE AD A D ， 四边形11A D EB 为平行四边形 11D E A B 又1D E ?平面1A BD ，1A B ?平面1A BD ， 1D E 平面1A BD （）以D 为原点，1DA DC DD ，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空 间直角坐标系，不妨设1DA =，则(000)D ，(100)A ，(110)B ，(022)C ，1(

13、102)A ， 1(102)DA =u u u u r ，(11 0)DB =u u u r ， 设()x y z =，n 为平面1A BD 的一个法向量 由1DA u u u u r n ， DB u u u r n ， 得200. x z x y +=? +=?， 取1z =，则(231)=-，n 又2(023)DC =u u u u r ，(11 0)DB =u u u r ， 设111()x y z =，m 为平面1C BD 的一个法向量， 由DC u u u r m ，DB u u u r m ， 得1111 2200.y z x y +=?+=?， 取11z =，则(1 11)=-

14、，m ， 设m 与n 的夹角为a ，二面角11A BD C -为，显然为锐角， 33 cos 393 -= =-g m n m n 3cos 3 = ， B C D A 1A 1D 1C 1B E G B C D A 1A 1D 1C 1B E z y x F M 即所求二面角11A BD C -的余弦为33 解法二： （）以D 为原点，1DA DC DD ，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设DA a =，由题意知： (000)D ，(00)A a ，(0)B a a ，(020)C a ，1(022)C a a ， ，1(02)A a a ，1(002)D

15、 a ，(00)E a ， 1(02)D E a a =-u u u u r ，1(02)DA a a =u u u u r ，(0)DB a a =u u u r ， ， 又(02)(0)(02)a a a a a a -=-， 1D E DB DA =-u u u u r u u u r u u u r 1DA DB ?Q ，平面1A BD ，1D E ?平面1A BD ， 1D E 平面1A BD （）取DB 的中点F ，1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， 由（）及题意得知： 022a a F ? ? ，(0)M a a ， 1222a a FA a ?=- ?u u u r

16、，22a a FM a ?=- ?u u u u r ， 12(0)022a a FA DB a a a ? =-= ?u u u r u u u r g g ， (0)022a a FM DB a a a ? +=-+= ?u u u u r u u u r ， 1FA DB ，FM DB ， 1A FM 为所求二面角的平面角 111cos FA FM A FM FA FM =u u u r u u u u r g u u u r u u u u r B C D A 1A 1D 1C 1B E x y z F M 2222232622 a a a a a a a a ?- ? ?= g g

17、， 22 2 223443332 a a a a -+= 所以二面角11A BD C -的余弦值为33 解法三： （）证明：如解法一图，连结1AD ，AE ， 设11AD A D G =I ，AE BD F =I ，连结GF ， 由题意知G 是1A D 的中点，又E 是CD 的中点， 四边形ABED 是平行四边形，故F 是AE 的中点， 在1AED 中，1GF D E ， 又GF ?平面1A BD ，1D E ?平面1A BD ， 1D E 平面1A BD （）如图，在四边形ABCD 中，设AD a =， AB AD =Q ，AD DC ，AB DC ， AD AB 故2BD a = ，由（）

18、得 2222222BC BE EC a a a =+=+=，2DC a =， 90DBC =o ，即BD BC 又1BD BB ， BD 平面11BCC B ，又1BC ?平面11BCC B ， 1BD BC ， 取1DC 的中点M ，连结1A F ，FM ， B C D A 1A 1D 1C 1B E F M H 由题意知：1FM BC ， FM BD 又11A D A B =，1A F BD 1A FM 为二面角11A BD C -的平面角 连结1A M ，在1A FM 中， 由题意知： 1322A F a = ，2211116 222 FM BC BC CC a =+=， 取11D C

19、的中点H ，连结1A H ，HM ， 在1Rt A HM 中， 12A H a =Q ，HM a =， 13A M a = 222 1111cos 2A F FM A M A FM A F FM +-= g 22 2 9332 236222 a a a a a +-=g g 33 = 二面角11A BD C -的余弦值为 33 （20）（本小题满分12分） 解法一：如图，连结11A B ，由已知22102A B =， 1220 30210260 A A =?=， 1221A A A B =， 又12218012060A A B =-=o o o ， 122A A B 是等边三角形， 北 1B

20、2B 1A 2 A 120o 105o 甲 乙 1212102A B A A =， 由已知，1120A B =， 1121056045B A B =-=o o o ， 在121A B B 中，由余弦定理， 22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-o g g 222 20(102)2201022 =+-? 200= 12102B B = 因此，乙船的速度的大小为 102 6030220 ?=（海里/小时） 答：乙船每小时航行302海里 解法二：如图，连结21A B ，由已知1220A B =，1220 30210260 A A =? =， 11210

21、5B A A =o ， cos105cos(4560)=+o o o cos 45cos60sin 45sin 60=-o o o o 2(13) 4 -= ， sin105sin(4560)=+o o o sin 45cos60cos 45sin 60=+o o o o 2(13) 4 += 在211A A B 中，由余弦定理， 222 21221211122cos105A B A B A A A B A A =+-o g g 222(13) (102)202102204 -=+-? 北 1B 2B 1 A 2 A 120o 105o 乙 甲 100(423)=+ 1110(13)A B =

22、+ 由正弦定理 1112111222202(13)2 sin sin 4210(13) A B A A B B A A A B += = +g g ， 12145A A B =o ，即121604515B A B =-=o o o ， 2(13) cos15sin1054 += o o 在112B A B 中，由已知12102A B =，由余弦定理， 22212112221222cos15B B A B A B A B A B =+o g g 2222(13) 10(13)(102)210(13)1024 +=+-?+? 200= 12102B B =， 乙船的速度的大小为 102 60302

23、20 ?=海里/小时 答：乙船每小时航行302海里 （21）（本小题满分12分） 解：（）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=， 由已知得：3a c +=，1a c -=， 2a =，1c =， 2223b a c =-= 椭圆的标准方程为22 143 x y + = （）设11()A x y ，22()B x y ， 联立22 1.4 3y kx m x y =+? ?+=?， 得222 (34)84(3)0k x mkx m +-=， 222222122 21226416(34)(3)03408344(3) .34m k k m k m mk x x k m

24、 x x k ? ?=-+-+-? ? +=-?+? ?-= ?+? g ，即，则， 又222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=+=+=+， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ， 1AD BD k k =-，即 1212122 y y x x =g ， 1212122()40y y x x x x +-+=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k -+=+， 2291640m mk k += 解得： 12m k =-，227 k m =- ，且均满足22 340k m +-， 当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，与已知矛盾； 当