高中不等式的常用证明方法归纳总结

1、名师举荐细心整理学习必备不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考显现较为形式较为活跃,证明中常常需与函数、 数列的学问综合应用,敏捷的把握运用各种方法是学好这部分学问的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举；留意a2b22ab的变式应用； 常用a22b2a2b 其中a,bR 来解决有关根式不等式的问题；一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径；1、已知 a,b,c均为正数,求证：111a1b1c1aab 202a2b2 cbc证明： a,b 均为正数,11a1bbabaab4ab4a4 b4ababca4abab

2、同理11b1cbbc 20,121104b4c4 bcc4c4 aca4acac三式相加,可得111a1bb1c102a2b2 cca111a1bb1cc1a2a2 b2 c二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论；2、a、 b、c0,abc1,求证：a2b2c212ac2c4a422c2a2b32 ca证：3 a2b2c21abc22 a22 b22 c22 ab2 bc3 a2b2c2abc 2 ab2bc2ca 203、设 a、b、 c是互不相等的正数,求证：a4b4c4abcabc证：a4b42a2b2b4c42 b2c2a4b

3、4c4a2b2b2c2c2a2c2a22 bca2a2b2 ca2a2b2b2c22a2b2b2c22 2 abc同理：b2c2a2b2b2c2c2a2abcabc2abc 4、 知 a,b,cR,求证 :a2b2b2c2c2a2证明：2 a2 b2 ab2 2 a2 b 2 a2 ab2 b a2 b 名师举荐细心整理学习必备91.；即a2b2a2b 2,两边开平方得a2b22ab2ab22同理可得b2c22bc2 ca22ca三式相加,得22a2b2b22 cc2a22abc5、x、y0 ,且xy1,证： 11 119；xy证：11 111xxy1xyy2y2x52 yx522xyxyxy

4、6、已知a,bR,ab1求证：11111 9.ab策略 : 由于a ,bR,ab1ab1说明a ,baba2b2R,ab1 的背后隐含着一个不等式ab44证明：a ,bR,ab1ab14而111111111ab112189 .abababababab11119 .ab三、分析法分析法的思路是“ 执果索因”：从求证的不等式动身,探究使结论成立的充分条件,直至已成立的不等式；2原命7、已知a、b、c为正数,求证：2 a2bab3 abc3 abc3证： 要证：2 a2bab3 abc3 abc只需证：2abc3 3abc3即：c2ab3 3abccabab33cabab3 3abc成立原不等式成立

5、8、a、b、c0,且abc1,求证abc3；证：abc3abc23即：2ab2bc2ac22abab2bcbc2acac即2ab2bc2ac ab bc ac 题成立 四、换元法换元法实质上就是变量代换法,即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换,以达到化难为易的目的；名师举荐 细心整理 学习必备2 29、b 1,求证：ab 1 a 1 b 1；k k证明： 令 a sin 2 k b sin 2 k左 sin sin cos cos sin sin cos cos cos 12 2ab 1 a 1 b 110、x 2 y 2 1,求证：2 x y 2证： 由 x 2y 21 设 x c

6、os,y sinx y cos sin 2 sin4 2 , 2 2 x y 211、已知 abc, 求证：1 1 4 .a b b c a c证明： ab0, bc0, ac0 可设 ab=x, bc=y x, y0 就 a c= x + y, 原不等式转化为证明 1 1 4 即证 x y 1 1 4,即证 2 x y4x y 2原不等式成立 （当仅x y x y x y y x y xx=y 当“=” 成立）12、已知 1x 2 y 2 2,求证：1 x 2 xyy 2 32证明： 1x 2 y 2 2,可设 x = rcos,y = rsin,其中 1r 2 2, 0 2 x 2 xyy

7、 2 = r 2 r 2 sin 2 = r 2 1 1 sin 2 ,1 11 sin 23 ,1 r 2 r 2 1 2 2 2 2 21 sin 2 3 r 2 ,而 1 r 2 1 ,3 r 2 31 x 2 xy y 2 32 2 2 2 2 213、已知 x 2 2xyy 2 2,求证： | x y | 10 证明： x 2 2xy y 2 = x y 2 y 2 ,可设 xy = rcos,y = rsin,其中 0 r 2 ,0 2 | x y | =| xy2y | = | rcos 2rsin | = r| 5 sinractan 1 | 5 r10 214、解不等式 5

8、x x 1122 2解：由于 5 x x 1 =6,故可令 5 x = 6 sin,x 16 cos, 0,2就原不等式化为 6 sin6 cos1 所以 6 sin1 + 6 cos2 2由 0,知 1 + 6 cos 0,将上式两边平方并整理,得 48 cos 2+4 6 cos230 2 2解得 0cos282 6 所以 x6cos2 124 47,且 x 1,故原不等式的解集是x|-1 x24 12名师举荐细心整理学习必备43,241247 . 15、 11x2x2 证明： 1x2 0, 1x1,故可设 x = cos,其中 0就1x2x =1cos2 cos= sin cos=2 s

9、in4 ,44 12 sin4 2 ,即 11x2x2 五、增量代换法在对称式 任意互换两个字母,代数式不变和给定字母次序 如 ab c 的不等式,常用增量进行代换,代换的目的是削减变量的个数,使要证的结论更清晰,思路更直观,这样可以使问题化难为易,化繁为简16、已知 a,bR,且 ab = 1 ,求证： a 22 b 22 25 2R 2 25 225 2证明： a,bR,且 a b = 1 ,设 a =1 t ,b= 21 t , t 2就a 22 b 22 = 1 t 2 22 1 t 2 22 = t5 22 t 5 22 = 2ta 22 b 22 25 2六、利用“1” 的代换型1

10、7、已知a,b,cR,且abc,11 求证：a119.策略：做“bc1” 的代换；29 . 证明：111abcabcabc3bacacb322abacbcabcabc七、反证法反证法的思路是“ 假设冲突确定” ,采纳反证法时,应从与结论相反的假设动身,推出冲突的过程中,每一步推理必需是正确的；18、如 p0,q0,p 3 q 3 = 2 ,求证： p q2证明：反证法假设 pq2,就 p q 3 8,即 p 3 q 3 3pq p q 8, p 3 q 3 = 2 , pq p q 2故 pq p q 2 = p 3q 3 = p q p 2 pqq 2 ,又 p 0,q0 p q0,pqp

11、2 pqq 2 ,即 p q 20,冲突故假设 pq2 不成立, p q2119、已知a、b、c（0,1）,求证： 1ab,1bc,1ca,不能均大于4；证明： 假设1ab,1bc,1c1 1a , b 均为正a均大于4 1a b1a b11242名师举荐细心整理学习必备11同理 1b c 1b c11 1c a1242221ab1bc1c a1112222223322不正确 假设不成立 原命题正确20、已知 a,b,c （ 0,1）,求证：（1a） b, （1b）c, （1c）a 不能同时大于1 ；4证明：假设三式同时大于1 0a1 1a 0 41ab1ab24221、a、b、cR,abc0

12、,abbcca0,abc0,求证：a、b、c均为正数；证明： 反证法：假设a、 b 、 c 不均为正数又 abc0a 、 b 、 c 两负一正不妨设a0,b0,c0又 abc0cab0同乘以abcabab2即acbcaba2abb20,与已知abbcca0冲突 假设不成立 a 、b、 c均为正数八、放缩法放缩常常用的方法有：1 去或加上一些项2 分子或分母放大（或缩小）3 用函数单调性放缩4 用已知不等式放缩222、已知 a、b、c、d 都是正数,求证：1abcbcdcdadabbcda证明：abbcdabcabb,abccdbcdccd,bcb 2abdcdcdacdd,abacddabaa

13、b,da将上述四个同向不等式两边分别相加,得：1abcbcdcdadabcda23、nN*,求证：2n11 11112n1；23nk1k证明：1k2kk2k12 kk11k2kk2k12kk1111221 2 322nn1 2 n12n111221 名师举荐细心整理n学习必备2 n112322 n12n判别式法24、A、B、C为ABC 的内角, x 、y、z 为任意实数, 求证：x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC；证明： 构造函数,判别式法令fxx2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosCx22x zcosBycosCy2z22yzcosA为开口向上的抛物线4zc

14、osBycosC24y2z22yzcosA4z2sin2By2sin2C2yzcosBcosC2yzcosA 4z2sin2By2sin2C2yzcosBcosC2yz cosBcosCsinBsinC4 z2sin2By2sin2C2yzsinBsinC4zsinBycosC20无论y、 z 为何值,0 xRfx0 命题真九、构造函数法构造函数法证明不等式 24 设 0a、b、 c2,求证： 4ab 2 c 2 abc2ab 2bc2ca证明：视 a 为自变量,构造一次函数 f a = 4ab 2 c 2 abc2ab2bc 2ca = bc 2b2c4a b 2c 2 2bc ,由 0a2

15、,知 f a 表示一条线段又 f 0 = b 2 c 2 2bc = b c 2 0,f 2 = b 2 c 2 4b4c8 = b 2 2 c 2 2 0,可见上述线段在横轴及其上方,f a 0,即 4ab 2 c 2 abc2ab2bc2ca构造向量法证明不等式 依据已知条件与欲证不等式结构,将其转化为向量形式,利用向量数量积及不等式关系 m n | m | | n | ,就能防止复杂的凑配技巧,使解题过程简化应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式,思路清晰,易于把握25、 设 a、bR ,且 ab =1 ,求证： a 22 b 22 25 2,其中 0C 2 证明：构造向量m =

16、a 2,b2 , n = 1 ,1 设 m 和 n 的夹角为|D O y | m | =a22b22,| n | =2 , m n = | m | | n |cos=a22b222 cos；另一方面, m n = a 2 1b 2 1 = ab4 = 5,而 0|cosA B 1,所以a2 2b222 5,从而 a 22 b 22 25 2x xy = 0 名师举荐细心整理学习必备构造解析几何模型证明不等式假如不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系,就可依据已知式的结构挖掘出它的几何背景,通过构造解析几何模型,化数为形,利用数学模型的直观性,将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决26、

17、设 a0, b0,ab = 1 ,求证：2a12b122 2a12b1 到直线 x y = 0证明：所证不等式变形为：2 a12A2 b1 2这可认为是点的距离但因 2a12 2b12 = 4 ,故点 A 在圆 x2 y2 = 4 x0,y0 上如下列图,ADBC,半径 AOAD,即有：2a122 b12,所以2a12b122 1实数确定值的定义:这是去掉确定值符号的依据,是解含确定值符号的不等式的基础；|a|=2最简洁的含确定值符号的不等式的解；如 a0 时,就 |x|a -axa xa；注 :这里利用实数确定值的几何意义是很简洁懂得上式的,即 |x|可看作是数轴上的动点 Px到原点的距离；

18、3常用的同解变形|fx|gx -gxfxgx fxgx ；|fx|gx| f 2xg 2x；4三角形不等式 : |a|-|b| |a b| |a|+|b|高中数学复习专题讲座 高考要求 不等式的证明,方法敏捷多样,它可以和许多内容结合关于不等式证明的常用方法高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,纯不等式的证明, 历来是高中数学中的一个难点,本节着重培育考生数学式的变形才能,规律思维才能以及分析问题和解决问题的才能重难点归纳1不等式证明常用的方法有比较法、综合法和分析法,它们是证明不等式的最基本的方法名师举荐 细心整理 学习必备1比较法证不等式有作差 商、变形、判定三个步骤,变形的主要方向是因式

19、分解、配方,判定过程必需详细表达 假如作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,就考虑用判别式法证2综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,相互渗透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野2 不等式证明仍有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法 等 换元法主要有三角代换,均值代换 两种, 在应用换元法时,要留意代换的等价性 放缩法 是不等式证明中最重要的变形方法 之一,放缩要有的放矢,目标可以从要证的结论中考查 有些不等式,从正面证假如不易说清晰,可以考虑 反证法 凡是含有“ 至少”“ 惟一” 或含有其他否定词的命题,相

20、宜用反证法证明不等式时,要依据题设、题目的特点和内在联系,挑选适当的证明方法,要熟识各种证法中的推理思维,并把握相应的步骤、技巧和语言特点典型题例示范讲解例 1 证明不等式 1 1 1 12 n nN * 2 3 n命题意图 此题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目,考查同学观看才能、构造才能以及逻辑分析才能学问依靠此题是一个与自然数n 有关的命题,第一想到应用数学归纳法,另外仍涉及不等式证明中的放缩法、构造法等错解分析此题易显现以下放缩错误1nn2n11 211113nnnnnn 个这样只留意形式的统一,而忽视大小关系的错误也是常常发生的技巧与方法此题证法一采纳数学归纳法从n=k 到

21、 n=k+1 的过渡采纳了放缩法证法二先放缩,后裂项,有的放矢,直达目标而证法三运用函数思想,借助单调性,独具匠心,发人深省证法一1当 n 等于 1 时,不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立2假设 n=kk1时,不等式成立,即1+1112k ,23k就 111112k1123kk2kk11kk1 12k1,k1k1当 n=k+1 时,不等式成立综合 1、2得当 nN*时,都有 1+111 2n23n另从 k 到 k+1 时的证明仍有以下证法2k1 12kk1k2kk1k1 111,kkk120,1 ,12k.1k2k2k112k1k1,02kk2又如:2k12kkk11k2k112k1

22、.k名师举荐 细心整理 学习必备证法二 对任意 kN *,都有1 2 22 k k 1 ,k k k k k 1 证 法 三 设因此 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 2 2 n n 1 2 n .2 3 n1 1 1fn= 2 n 1 ,2 3 n那么对任意 kN*都有f k 1 f k 2 k 1 k 1k 11 2 k 1 2 k k 1 1k 121 k 1 2 k k 1 k k 1 k 0k 1 k 1 fk+1 fk 因此,对任意 nN * 都有 fnfn1 f1=10,1 1 1 1 2 n .2 3 n例 2 求使 x ya x y x0,y0恒成立的 a 的最小值命题

23、意图 此题考查不等式证明、求最值函数思想、以及同学规律分析才能学问依靠 该题实质是给定条件求最值的题目,所求 a 的最值包蕴于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有关性质把 a 出现出来, 等价转化的思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值错解分析 此题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范畴,此时我们习惯是将 x、y 与 cos 、sin 来对应进行换元,即令 x =cos ,y =sin 0 ,这样也得 asin +cos ,但是这种换元是错误的 其原2因是 1缩小了 x、y 的范畴 2这样换元相当于此题又增加了“x、y=1” 这样一个条件,明显这是不对的技巧与方法

24、 除明白法一常常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即如参数 a 满意不等关系,afx,就 amin=fxmax 如 afx,就 amax=fx min,利用这一基本领实,可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题 仍有三角换元法求最值用的恰当好处,可以把原问题转化解法一 由于 a 的值为正数,将已知不等式两边平方,得x+y+2 xy a 2x+y,即 2 xy a 2 1x+y, x,y0, x+y2 xy ,当且仅当 x=y 时,中有等号成立比较、得a 的最小值满意a 21=1,212xy a 2=2,a=2因 a0, a 的最小值是y2xy解法二设uxyxy 2xxyxyxyx

25、y x0,y 0, x+y2xy当 x=y 时“=” 成立 ,名师举荐细心整理学习必备2xy1,2xy的最大值是1xyxy1 b25 4从而可知, u 的最大值为112,又由已知,得au, a 的最小值为2解法三y0,原不等式可化为x +1a yx1,y设x=tan , 0,2y tan +1atan21即 tan +1 asec asin +cos =2 sin +4,又 sin +4的最大值为1此时 =4由式可知a 的最小值为2例 3 已知 a0,b0,且 a+b=1求证 a+1 b+ a证法一分析综合法）欲证原式,即证4ab 2+4a 2+b 225ab+40,即证 4ab233ab+8

26、0,即证 ab1 或 ab8 4 a0,b0,a+b=1, ab8 不行能成立 1=a+b2ab , ab1 ,从而得证 41 ,|t2|21证法二均值代换法 设 a=1 +t1,b= 21 +t2 2 a+b=1,a0,b0, t1+t2=0,|t1|2名师举荐细心整理4ab8学习必备1b125a1b1a2a1b2b1ab11t 12111t2211t1t2 11 1t2t221 2244 1t 1t21 2t1t2ab 02221t 1t 121 12t2t221 5t2222t2244411t2t244253t222t242525.162 116 1t2444明显当且仅当t=0,即 a=

27、b=1 时,等号成立 2证法三比较法） a+b=1,a0,b0, a+b2ab , ab14a1b125a2a1b21254a2b2433 ab8 1ab4b4ab14 aba1b125ab4证法四综合法 a+b=1, a0,b0, a+b2ab , ab12541ab1131ab 291ab 21251ab 216即a441614ab4ab4ab证法五三角代换法） a0, b0,a+b=1,故令 a=sin2 ,b=cos2 , 0,2 a1b1sin21cos21absin2cos 2sin4cos42sin22 cos24sin22164sin224sin22sin22,14sin224

28、13.2 42sin22162544sin2222511sinsin224224即得a1b125.ab4不等式的证明名师举荐细心整理学习必备高考要求1通过复习不等式的性质及常用的证明方法比较法、分析法、综合法、数学归纳法等,使同学较敏捷的运用常规方法 即通性通法 证明不等式的有关问题；2把握用“ 分析法” 证明不等式；懂得反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范畴3搞清分析法证题的理论依据,把握分析法的证题格式和要求 法和步骤搞清各种证明方法的理论依据和详细证明方4 通过证明不等式的过程,培育自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的才能；能较灵 活的应用不等式的基本

29、学问、基本方法,解决有关不等式的问题 学问点归纳不等式的证明方法（1）比较法： 作差比较：AB0AB作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差 变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和判定差的符号：结合变形的结果及题设条件判定差的符号 留意：如两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法： 由因导果（3）分析法： 执果索因 基本步骤：要证 只需证 ,只需证 “ 分析法” 证题的理论依据：查找结论成立的充分条件或者是充要条件 “ 分析法” 证题是一个特别好的方法,但是书写不是太便利,所以我们可以利用分析法查找证题的途径,然 后用“ 综合法” 进行

30、表达（4）反证法： 正难就反（5）放缩法： 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如：a21a；n n1 n；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式,如：log3lg5lg3lg52lg15lg16lg4；2nn1 nn12利用常用结论：、k11kk1k1k1k；111k11（程度大）12、1k1 k11；kk2k1kk2kk、k211k11 k1k1； （程度小）11 2k21 11（6）换元法： 换元的目的就是削减不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元和代数换元 如：已知2 xy2a2,可设xracos,yrasin；r1；已知

31、2 xy21,可设xcos,ysin0已知x2y21,可设xacos,y名师举荐细心整理学习必备bsin；a2b2已知x2y21,可设xasec,ybtan；a2b2（7）构造法： 通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法敏捷多样,但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、 题断的结构特点、 内在联系, 挑选适当的证明方法,要熟识各种证法中的推理思维,并把握相应的步骤,技巧和语言特点数学归纳法法 证明不等式将在数学归纳法中特地争论题型讲解例 1 如水杯中的b 克糖水里含有a 克糖, 假如再添上m 克糖, 糖水会变得更甜,试将这一事有用

32、数学关系式反映出来,并证明之分析：本例反映的事实质上是化学问题,由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知Aaamba0 ,m0bbm解：由题意得aamba0,m0 bbm证法一：（比较法）amab ama bm m babmbbbm b bm ba0 m0,ba0,bm0,mba0 即amaFb bm bmb证法二：（放缩法）0,EmCbba0 且maabmaa bmamDmBabb bm bmbm证法三：（数形结合法）如图,在 RtABC 及 RtADF 中,AB=a ,AC=b ,BD=m ,作 CE BDABC ADF,am例 2 已知 a,b R,aamambbCFbCEbm且 a+b=12b

33、2225求证：a22证法一：（比较法）aa ,b2R ,ab2,1b1a24a1b91202b225a2b22a21a 249 22 a22 a2a22即a22b2225名师举荐1细心整理学习必备（当且仅当ab时,取等号）22证法二：（分析法）a222Ba22425a2b24ab82522b1a2825a120a 122由于明显成立,所以原不等式成立点评：分析法是基本的数学方法,使用时,要保证“ 后一步” 是“ 前一步” 的充分条件证法三：（综合法） 由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法） 假设a2 2 b2225,a2b22a2b22就a2b24ab8252由 a+b=1,得b1a,于是

34、有a21a212252所以a120,2这与a120冲突2所以a22b22252证法五：（放缩法）ab1左边a22b222a22b221ab4225右边22点评：依据欲证不等式左边是平方和及a+b=1 这个特点,选用基本不等式证法六：（均值换元法）ab1,所以可设a1t,b1t,22左边a22b221t221t2222t52t522 t22525右边2222当且仅当t=0 时,等号成立点评：形如a+b=1 结构式的条件,一般可以采纳均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法 ）设 y=a+22+b+22,名师举荐,细心整理a21学习必备由 a+b=1,有ya2 2 3a 22 a22a132

35、5aylog所以2 a22 a13y0,由于aR,所以44213y0,即y2故a22b22252ax例 3 设实数 x, y 满意 y+x2=0,0a1 求证：loga8证明：（分析法） 要证logaaxayloga21,810a1,只要证：axayy2a8,又axax,y2axay2a2只需证：1axya4只需证xy1,4即证x2x10,此式明显成立4原不等式成立例 4 设 m 等于 a , b 和 1 中最大的一个,当xm时,求证：ab2翻译为符号语言 “ma,x2x分析： 此题的关键是将题设条件中的文字语言“ m 等于 a , b 和 1 中最大的一个”mb,m1” ,从而知xma证明：（综合法）xma,xmb,xm1ababa1.bxx22xx2xx2xx2xx2例 5 已知fxxx1x1 . 1求fx的单调区间；2 求证：xy0 ,有fxy fxfy.（ 3）如a2b0,ca1,求证：f a2f c 4.b b5解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得fx1x11, 名师举荐 细心整理 学习必备f x 在区间 , 1 和 ,1 上分别单调递增 .（2）f x x