非线性反演方法

1、非线性反演方法第1页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四 主要内容9.1尺度 尺度与分辨率 多尺度反演过程 9.2小波与尺度分析 小波与二进制小波 多尺度分析9.3多尺度反演法 三个基本算子 三种实现方法9 多尺度反演（MSI）第2页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四9.1 尺度尺度：当我们以离散方式描述某一空间或时 间的函数时，均匀离散点之间的距离。分辨率：单位距离内离散点的个数。 尺度越大，分辨率越低；尺度越小，分辨率越高。 若分辨率为 ，则所对应的尺度为 。第3页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四优点缺点大尺度（低波数）分得散，搜

2、索极值点容易极值点少，“全局极小点”不一定是真正全局极小点小尺度（大波数）极值点多，全局极小点离真正全局极小点较近无上一尺度的搜索结果指导则直接搜索较困难第4页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四多尺度反演：是把目标函数分解成不同尺度的分量，根 据不同尺度上目标函数的特征逐步搜索全局极小。反演过程：根据上一级搜索到的背景“全局极小点”为起 点，在其附近搜索下一级尺度的“全局极小点”；不 断迭代缩小尺度至原始尺度，提高分辨率，找到真 正全局极小点。优点：反演稳定，反演结果不受初始模型的影响；反 演不受局部极小困扰，收敛速度加快。第5页，共26页，2022年，5月20日，3点36

3、分，星期四多尺度反演过程示意图：大尺度（总体背景）全局极小 中尺度（背景）全局极小 小尺度（背景）全局极小最小尺度（原始尺度）总体极小第6页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四9.2 小波与多尺度分析小波产生的背景： 常规傅氏变换不能提取频域的局部特征，窗口傅氏变换实现了时域局部化，但一旦函数 选定，不能满足高频和低频信号对窗口大小的不同要求。定义一：称满足条件 (5.100) 的函数 为小波函数或母小波。 式中 是 的傅氏变换。第7页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四 连续小波 是基于仿射群 ，通过母小 波 变换而得。 其表达式为： (5.101) 的含

4、义如下ab尺度伸缩变量位置平移变量 是归一化因子物理空间的实际位置第8页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四定义二：对于任一 的函数，有 (5.102) 为其小波变换。 其逆变换为 (5.103) 式中： 为内积； 与 是共轭，且 (5.104)第9页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四定义三： 在实际应用中，常用其离散形式，若令 则(5.101)式为二进制小波，可以表达为： (5.105) 二进制小波构成 的一个正交基，利用 可以 将在无穷大处衰减得充分快的任意函数 分解为： (5.106)第10页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四 若

5、设： (5.107) 则分解等式可以写成： (5.108) (5.108)第一项大尺度对应平滑部分，第二项小尺度对应细节部分。 基于(5.108)式的分析方法称为尺度分析方法。第11页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四 多尺度分解方法原理：数学显微镜，逐层求解 符号表达： 设光滑部分近似属于 空间，细节部分近似属于 空间，若在基于上，则两空间正交互补。 (5.109) 示意图：如右第12页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四9.3 多尺度反演法反演基本算子操作过程：第一个算子：反演问题分解（从小到大）为各尺度上的反问题。第二个算子：求取各尺度上反问题的解。

6、第三个算子：将稍大尺度上的解嵌入稍小尺度，并作为其反问题求解的起始点。第13页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四多尺度分解反演实现方法：设地球物理线性反演问题的数据方程为：第一种方法第二种方法第三种方法加密插值：大尺度上的解作用于小尺度模型时，解的样点要进行加密，主要方法有样点复制或线性插值法。第14页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四反演过程分析采样点数 ，对应于尺度 。当 时 ， ，为 反演2个数据（此时可以用线性反演方法）的初始模型， 为 阶。当 时 ， 反演4个数据的初始模型， 为 阶。当 时 ， 反演8个数据的初始模型， 为 阶。以此类推: 直

7、至最小的尺度，即最大采样率是的反演问题，这是 问题的解为最终解 。这里 为模型参数个数。第15页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四反演对比结果分析理论模型初始模型方法迭代次数理论模型1初始模型1MSI GI17213.8592.87理论模型2初始模型2MSI GI13157.5829.53初始模型3MSI GI22350.285500.00MSI和GI反演的比较第16页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四 R.Parker法不仅适用于电磁感应资料反演，而且也适用于某些频域地球物理资料反演，其非线性反演原理以大地电磁为给以例说明。法第17页，共26页，202

8、2年，5月20日，3点36分，星期四响应函数 响应函数阻抗 定义为： 或导出： 为一半纯型函数 所以有部分分式结构： 写其成连分式为：第18页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四半纯函数半纯函数是一种复变函数-即自变量和因变量都取值复数， 也称亚纯函数。 半纯函数在定义域中的某些点上没有定义，我们称这些点为极点。 函数在这些极点附近的幂级数展开可写为(以单变量为例)罗朗展开式：f(z)=c_m/（z-a)m+.+c_2/(z-a)2+c_1/(z-a)+ c_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)2+., 这里c_i和a_j都是常系数， z=a是极点。 全纯函数是最简单的半纯

9、函数，也称解析函数， 就是说它没有任何极点。 根据刘维尔定理，在紧致流形上， 全纯函数只能是常值函数。 任何有理函数（即通过多项式加减乘除得到的函数）都是半纯函数。第19页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四留数(又称残数residue ) ，复变函数论中一个重要的概念。解析函数 (z)在孤立奇点z =处的洛朗展开式 (见洛朗级数)中，(z)-1项的系数-1称为(z)在z =处的留数,记作或Res()。它等于，式中是以为中心的充分小的圆周。 留数的概念最早由 A.-L.柯西于1825年提出。由于对函数的洛朗展开式进行积分时只留下一项(z-)-1,因此称为留数。它在很多问题上都

10、有重要应用，如定积分计算，函数零点与极点个数的计算，将亚纯函数展开为部分分式,将整函数展开为无穷乘积，稳定性理论,渐近估计等。 第20页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四设函数(z)以z =为n级极点，则 当n=1时，就有 特别地，当式中(z)和(z)都在 z=处解析，(z)以z =为一级零点，()0，则 第21页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四微层划分 反演问题的关键：将实测的 展成上面所示的连分式形式。 微层划分原则：可以近似的把每层中的 和 看为随深度变化的线性函数。 则对K层有： 由一维介质中电磁波满足Helmholtz方程知： 带入上式得到：第22页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四连分式模型 根据定义： 假设 将上式代入有： 可以得到如下连分式：第23页，共26页，2022年，5月20日，3点36分，星期四 当 当第24页，共