连续系统的振动

1、第五章 连续系统振动主要内容：弦和杆振动；梁弯曲振动；梁振动一些特殊问题；能量原理与动力学方程。连续系统的振动第1页具有连续分布质量和弹簧系统称作连续系统或分布参量系统。连续系统具有没有限多个自由度，其动力学方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确解。对于复杂连续系统则必须利用各种近似方法简化为离散系统求解。这将在下一章叙述。本章先讨论以杆纵向振动和弦横向振动为代表一类较简单连续系统振动，然后讨论梁横向振动以及薄膜和板振动，以掌握连续系统振动普通规律。本章所讨论材料均为理想线弹性体，即材料为均匀和各向同性，且在弹性范围内服从胡克定律。连续系统动力学方程能够基于微元体受力分析，也可从能量原

2、理出发建立。模态叠加概念对连续体依然适用。引 言连续系统的振动第2页5.1 张紧弦振动一、弦振动微分方程为单位长度弦上横向干扰力 讨论两端固定，以张力拉紧细弦横向振动设弦单位长度质量为以变形前弦方向为轴。振动过程中弦张力不变，取一段弦受力图如右图。列出其动力平衡方程：设横向挠度为连续系统的振动第3页将代入整理得自由振动时上式化为一维波动方程波速二、弦自由振动方程解现来求解一维波动方程 利用分离变量法，令 这个假设实质是：假设杆上各点作同时运动 代入波动方程得 杆上距原点x处截面纵向振动振幅各截面振动随时间改变规律连续系统的振动第4页等式两边是相互无关函数，所以只能等于常数 记 上式可化为以下两

3、个常微分方程 思索：为何这个常数为非正数? 通解：振动形态(模态)常数 由杆边界条件确定。 与有限自由度系统不一样，连续系统模态为坐标连续函数，即模态函数。因为是表示各坐标振幅相对比值，模态函数内能够包含一个任意常数。依据对应边界条件，可推导出对应频率方程和模态。连续系统的振动第5页由频率方程确定固有频率有没有穷多个 一一对应第i阶主振动 系统自由振动是无穷多个主振动叠加 其中积分常数和由系统初始条件确定 若弦两端固定，则边界条件为因 代入 可得 和 连续系统的振动第6页因为 故须有 频率方程 无穷多个固有频率 模态函数 因为模态表示是各振幅比值，故可令这个常数等于1因为零固有频率对应模态函数

4、为零，故可将零固有频率除去将模态函数代入第i阶主振动表明弦振动随空间坐标和时间均按正弦规律改变，显示为简谐振动沿x轴传输过程。振动在弹性介质中传输现象称为弹性波。连续系统的振动第7页在确定时刻，当模态函数相角从零变至 时，x坐标增量称为波长，记作 ，导出振动周期为将波长与周期相除，得到波传输速度可见参数a物理意义即弹性波沿弦长方向传输速度，由弦物理性质确定，与主振动除数无关，也适合用于其它边界条件。弦乐器发出声音频率f为连续系统的振动第8页若按照整数百分比调整琴弦长度，所发出声音频率之间亦满足整数百分比而产生友好效果。公元前6世纪毕达哥拉斯对此现象认识，以及古代中国音律学中提出“三分损益律”是

5、人类最早对振动问题理论研究。弦自由振动是无穷多个主振动叠加 也能够写成假设初始位移和速度为：连续系统的振动第9页将初始条件代入解表示式，得利用三角函数正交性可得例：设张紧弦在初始时刻被拔到图示位置，然后无初速度释放，求弦自由振动规律。假设弦单位长度质量为 弦张力假设为 。连续系统的振动第10页解：此弦初始条件为于是解得因而，弦自由振动可表示为式中波速连续系统的振动第11页可见，两端固定弦横向自由振动除了基频振动外，还包含频率为基频整数倍振动，这种倍频振动也称作是谐波振动。在音乐上，正是利用了这种频率之间整数倍关系，使各阶谐波与基波组成各种悦耳谐音。弦振动中，基波起主导作用，各高次谐波出现取决于

6、初始条件。5.2 直杆纵向自由振动基本假设：1、线性弹性；2、微小变形。设弹性模量为E横截面积为A材料密度为杆件长度为l假定振动过程中各截面保持平面，并忽略因纵向振动引发横向变形 。连续系统的振动第12页考虑微段平衡 一维波动方程而 将上式代入动力平衡方程整理得 波速因为杆纵向振动与弦振动在数学描述上完全相同，所以，杆纵向振动规律也很轻易得到，其自由振动各主振动仍为普通初始条件下自由振动则由各主振动叠加得到。连续系统的振动第13页讨论几个常见边界条件下固有频率和模态函数 1、两端固定 边界条件为 因 将 代入 可得 和 因为 故须有 频率方程 无穷多个固有频率 模态函数 令这个常数等于1，有连

7、续系统的振动第14页2、两端自由 边界条件为 因 将 代入 可得 和 因为 故须有 频率方程 无穷多个固有频率 模态函数 亦可令这个常数为1，有连续系统的振动第15页3、一端固定另一端自由 边界条件为 因 将 代入 可得 和 因为 故须有 频率方程 无穷多个固有频率 模态函数 亦可令这个常数为1，有连续系统的振动第16页例：设杆一端固定，另一端自由且有附加质量 如图所表示，试求杆纵向振动固有频率和模态。解：边界条件写为 将边界条件代入 得到 及频率方程化作其中梁总质量利用数值方法或作图法可解出此方程，得到频率 对应模态函数为连续系统的振动第17页例：设杆一端固定，另一端由刚度系数为 弹簧支承

8、如图所表示，试求杆纵向振动固有频率和模态。解：边界条件写作 将边界条件代入 得到 及频率方程化作利用数值方法或作图法可解出此方程，得到频率 连续系统的振动第18页例：一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集中力，如图所表示。试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样振动？边界条件：两端固定解：杆自由振动方程初始条件：模态函数 ：固有频率：连续系统的振动第19页系统自由振动是无穷多个主振动叠加： 应用位移初始条件：连续系统的振动第20页应用速度初始条件：系统响应：设截面二次极矩为材料密度为剪切模量建立图示坐标系扭转角该截面处扭矩为 对右图示微元体，列出 轴扭转振动连续系统的振动第21页化为一维波动

9、方程波速自由振动时 杆剪切振动对粗短杆横向振动剪切振动 材料密度为剪切模量建立图示坐标系对右图示微元体，列出 截面形状系数 一维波动方程波速整理得 连续系统的振动第22页5.3 梁弯曲振动一、动力学方程考虑等截面细直长梁弯曲自由振动，忽略梁剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲影响。Euler-Bernoulli梁 以未变形时梁中轴线为x轴，设梁含有过x轴对称面，将对称面内与x轴垂直向上方向取作y轴。梁在对称面内作弯曲自由振动时，梁中心轴只有沿y轴横向位移w(x,t)，称作挠度。连续系统的振动第23页取一微段，其受力图如右图 利用达朗伯原理列出微元体沿方向动力学平衡方程 即再列出微元体力矩方向平衡方

10、程,对C点取力矩平衡，有略去高阶微量得到将该式代入前面式子得到由材料力学知连续系统的振动第24页代入整理得动力学方程此方程含有对坐标四阶导数和对时间二阶导数，故求解时必须考虑四个边界条件和两个初始条件。二、梁弯曲自由振动解考虑梁自由振动，此时梁上无荷载，动力学方程为仍采取分离变量法，令 代入动力学方程，整理得到该式两边分别为时间和坐标孤立函数，二者相互无关，故只能等于常数，记为导出以下两个常微分方程连续系统的振动第25页第一个方程解为令若梁为等截面时，第二个方程可写为该方程解能够确定梁模态函数和固有频率设特解普通形式为代入控制方程，导出本征方程本征根为对应于4个线性独立特解 因为 连续系统的振

11、动第26页亦可将作为基本解于是原方程通解为积分常数及参数应满足频率方程由梁边界条件确定可解出无穷多个固有频率及模态函数组成系统主振动系统自由振动是无穷多个主振动线性叠加其中，积分常数由初始条件确定连续系统的振动第27页常见约束情况与边界条件有以下几个：固定端即简支端即自由端即以后若无特殊说明，均假设梁为等截面梁。连续系统的振动第28页例：求两端简支梁固有频率和模态解：已知梁边界条件为代入得由前二式可解得代入后二式有连续系统的振动第29页因为故由式可解得于是得频率方程及而解得得固有频率将及代入得对应模态函数因为模态表示各点振幅之间比值，故可取连续系统的振动第30页得模态函数其前几阶模态形状以下第

12、一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态没有节点一个节点二个节点三个节点连续系统的振动第31页例：求悬臂梁固有频率和模态解：已知梁边界条件为代入得以及因为不能全为零,故有展开化简后，得到频率方程 连续系统的振动第32页该方程为超越方程，不能求得准确解，可用作图法或者数值法求得其近似解 对应各阶频率为 对应各阶模态函数为其中其前三阶模态图以下连续系统的振动第33页第一阶模态第二阶模态第三阶模态例：求两端自由梁固有频率和模态函数解：已知梁边界条件为利用前面相同步骤能够导出频率方程解得连续系统的振动第34页对应各阶模态函数为其中例：图示梁自由端有弹性支承，试列出其频率方程解：固定端边界条件化为梁右端边

13、界条件为：梁端剪力和弯矩分别等于直线弹簧反力和卷簧反力矩，即：化为连续系统的振动第35页由固定端条件解得由弹性支承端条件并考虑上式得因不全为零和导出频率方程或若全为零和则退化为悬臂梁频率方程连续系统的振动第36页解：固定端边界条件为例：悬臂梁自由端有附加质量 ，试列出其频率方程自由端应有化为利用与上例相同方法可提频率方程其中说明：上述分析没有考虑梁剪切变形和梁截面转动惯性，因而只适合用于细长梁若不满足此条件，宜用Timoshenko梁模型，剪切变形和梁截面转动惯性都会使梁固有频率减小。连续系统的振动第37页例：简支梁中点受常力P作用产生静变形求：当P突然移出时梁响应解：由材力得初始条件： 梁中

14、点静挠度固有频率：振型函数：连续系统的振动第38页由速度初始条件知：系统自由振动是无穷多个主振动线性叠加由位移初始条件知：所以有：连续系统的振动第39页三、模态函数正交性讨论细长梁，不限于等截面情形，设 它们必满足 对第(1)式,两边乘以 并沿杆长积分 左边利用分部积分有 连续系统的振动第40页对于梁简单边界条件，其挠度和剪力中必有一个为零，转角和弯矩中也必有一个为零，因而上式中前两项必定等于零，故有代入(3)式得同理，对第(2)式，两边乘以 并沿杆长积分 得(4)式减去(5)式得假如则再代回(4)式得连续系统的振动第41页主振型关于质量正交性主振型关于刚度正交性以上主振型正交性条件要求当时定

15、义第i阶主质量第i阶主刚度由式知模态正交条件可写为为克罗内克符号连续系统的振动第42页注：当梁端部为简支、固定或自由以外其它复杂情形时，则以上对正交性条件推导和结论应作对应改变。四、梁强迫振动振型叠加法梁动力学方程为 设 代入动力方程得 简写为 方程两边同时乘以 ，并沿杆长积分连续系统的振动第43页利用模态正交性，得到无穷多个完全解耦方程 其中第i个正则坐标方程第i个广义力设梁初始条件为将此初始条件亦看作是各阶模态叠加两式分别乘以并沿杆长积分得连续系统的振动第44页此二式即为广义坐标初始条件系统广义坐标响应为初始条件确定自由振动和激励力产生响应叠加。由杜哈梅积分公式及单自由度结构自由振动解得到

16、原来系统几何坐标响应为假如作用梁上不是分布力和分布力矩，而是集中力和集中力矩，如图所表示作用力可表示为连续系统的振动第45页广义作用力为连续系统的振动第46页例：设等截面简支梁受到初始位移 激励，求梁响应解：我们已知该梁模态函数为计算其主质量其简正模态为其中为梁质量连续系统的振动第47页梁固有频率为因为梁没有初速度，也没有干扰力，而只有初位移广义坐标初位移为广义坐标响应为连续系统的振动第48页系统几何坐标响应为例：设等截面简支梁上经过一辆以速度 匀速驶过车，若忽略车辆惯性，能够看作集中力 匀速沿桥梁移动 设梁上桥瞬时梁初位移和初速度皆为零求梁响应解：集中力荷载用脉冲函数表示为 连续系统的振动第

17、49页简支梁固有频率和简正模态函数为 求出与广义坐标相对应广义力 将广义力和零初始条件代入杜哈梅积分连续系统的振动第50页梁响应为其中括号内第一项为车辆载荷激起受迫振动，第二项为伴生自由振动 当固有频率与激励频率相等时候将产生第阶共振，对应车速为这时梁振幅将随时间增加，直到车辆离开桥梁 连续系统的振动第51页当 后 梁作自由振动 其广义坐标初位移和初速度为 和其振动响应可参考上例求得，此处略去例：图示等截面简支梁中点处受集中力偶求梁响应解：简支梁固有频率和简正模态函数为 力偶荷载用脉冲函数表示为 广义力 连续系统的振动第52页广义坐标动力学方程为 其稳态响应为 所以有连续系统的振动第53页5.

18、4 特殊原因对梁横向振动影响一、轴向力对弯曲振动影响设梁两端受有一对常值轴向拉力F，在小挠度假设下各截面轴力能够认为均等于F。现考虑下列图隔离体在竖向平衡，注意左右两截面转角不一样，因而左右两截面轴向力在竖向投影也不一样。连续系统的振动第54页整理这两个方程得将第二式代入第一式，并注意到得到连续系统的振动第55页若讨论梁自由振动仍采取分离变量法，令 代入动力学方程,整理得到导出其中上面二式中，第一式与单自由度系统自由振动解一样，无须赘述，第二式解可用特征根方法求解，其特征方程为解出四个本征值连续系统的振动第56页所对应四个线性独立解线性组合，得到方程通解积分常数及参数 所满足频率方程仍由梁边界条件确定解出固有频率及模态函数组成系统主振动，系统自由振动为无限多个主振动线性叠加请参阅书上例题7.3.1思索：考虑轴向拉力影响之后，梁固有频率会增大还是减小？连续系统的振动第57页二、铁摩辛柯梁自由振动考虑剪切变形和转动惯性影响，此时，截面法线轴就与