用导数处理不等式恒成立问题

1、优选文档授课过程一、复习预习一般地，求函数f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤以下：求f(x)在(a,b)内的极值；将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b上的最值二、知识讲解常应用函数方程思想和“分别变量法”转变成最值问题，也可抓住所给不等式的结构特色，利用数形结合法。考点1：利用导数解决恒成立问题若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmin若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxAB考点2：利用导数解决能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区

2、间D上fxmaxA；若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB.解决不等式恒成立问题和能成立问题，注意一个是全称命题，一个是存在性命题，因此转变的时候要注意求的终究是函数最大值和最小值。三、例题精析【例题1】【题干】设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时获取极值（1）求a、b的值；（2）若关于任意的x0,3，都有f(x)c2成立，求c的取值范围【答案】（1）a3，b4（2）c的取值范围为(,1)U(9,)【解析】（1）f(x)6x26ax3b，函数f(x)在x1及x2获取极值，则有f(1)0，f(2)0.优选文档即66a3b0，解得a3，b4241

3、2a3b0（2）由（1）可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0,1)，f(x)0；当x(1,2)，f(x)0；当x(2,3)，f(x)0当x1，f(x)获取极大f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c当x0,3，f(x)的最大f(3)98c于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，98cc2，解得c1或c9，因此c的取范(,1)U(9,)【例题2】【干】函数(1)当a=1，求曲在点的切方程；(2)若函数在其定域内增函数，求数a的取范；(3)函数，若在l，e上最少存在一使成立，求数a的取范.【解析】（1）切（2），由意若函数在其定域内增函数，

4、在（0，+）上恒成立，即.优选文档，（3）在1，e上最少存在一使成立；，9分在1，e上减，令当，在上增，当在上增，不合意。当，在上减，当，在上减，ks5u，不合意。.优选文档综上：【例题3】【题干】已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是增函数，求的取值范围.【解析】（1）当时，在内单调递减，在内单调递加，当时，有极小值，的极小值是（2）在上，是增函数，当且仅当，即.当时，恒成立.当时，若要成立，则需，解得.当时，若要成立，则需，解得.综上，的取值范围是.优选文档四、课堂运用【基础】1.三次函数f（x）=x33bx+3b在1，2内恒为正当，则b的取值范围是_【答案】【解析】方法1：拆分函

5、数f（x），依照直线的斜率观察可知在1，2范围内，直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范围方法2：利用函数导数判断函数的单调性，再对b进行谈论，比较可否与已知条件切合，若不符则舍掉，最后求出b的范围。2.关于总有成立，则的值为多少？【答案】a=4【解析】若，则不论取何值，显然成立；当，即时可化为.设，则，因此在区间上单调递加，在区间上单调递减，因此，从而.当，即时，可化为，则在区间上单调递加，因此，从而.综上所述.优选文档【牢固】1.设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|.若f(0)1，求a的取值范围；求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)f(x),x(a,)，

6、直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集.【解析】（1）若f(0)1，则a|a|1a0a1a21（2）当xa时，f(x)3x22axa2,f(a),a02a2,a0f(x)mina02a2,a0f(),a33当xa时，f(x)x22axa2,f(x)minf(a),a002a2,a0f(a),a2a2,a02a2,a0综上f(x)min2a20,a3（3）x(a,)时，h(x)1得3x22axa210，4a212(a21)128a2当a6或a6时，0,x(a,)；226a6时，0,得：(xa32a2a32a2)0当223)(x3xa谈论得：当a(2,6)时，解集为(a,);22当a(

7、6,2)时，解集为(a,a32a2a32a2,);2233当a2,2时，解集为a32a2,).2232.已知函数f(x)x2a(2lnx),(a0)，谈论f(x)的单调性.x【解析】f(x)的定义域是(0,+),f(x)12ax2ax2.x2xx2设g(x)x2ax2,g(x)0的鉴识式a28.二次方程.优选文档当2，即0a22时，对所有x0都有f(x)0此时f(x)在(0,)a80,上是增函数。当a280,即a22时，仅对x2有f(x)0,对其余的x0都有f(x)0,此时f(x)在(0,)上也是增函数。当a280，即a22时，方程g(x)0有两个不同样的实根x1aa28,x2aa28,0 x

8、1x2.22x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f(x)+0_0+f(x)单调递加极大单调递减极小单调递加此时f(x)在(0,aa28)上单调递加,在(aa28,aa28)是上单调递减,222在(aa28,)上单调递加.2【拔高】1.设函数f(x)xekx(k0)（）求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程；（）求函数f(x)的单调区间；（）若函数f(x)在区间(1,1)内单调递加，求k的取值范围.【解析】（）fx1kxekx,f01,f00,曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为yx.（）由fx1kxekx0，得x1k0，k若k0，则当x,1时，fx0，函数fx单调递

9、减，k.优选文档当x1,时，fx0，函数fx单调递加，k若k0，则当x,1时，fx0，函数fx单调递加，k当x1,时，fx0，函数fx单调递减，k（）由（）知，若k0，则当且仅当11，k即k1时，函数fx1,1内单调递加，若k0，则当且仅当11，k即k1时，函数fx1,1内单调递加，综上可知，函数fx1,1内单调递加时，k的取值范围是1,0U0,1.2.已知函数f(x)=1x2ax+(a1)lnx，a1。21）谈论函数f(x)的单调性；（2）证明：若a5，则对任意x1，x2(0,)，x1x2，有f(x1)f(x2)1。x1x2【解析】(1)f(x)的定义域为(0,)。f(x)xaa1x2axa

10、1(x1)(x1a)xxx（i）若a1即2,则1af(x)(x1)2x故f(x)在(0,)单调增加。(ii)若a11,而a1,故1a2,则当x(a1,1)时，f(x)0;当x(0,a1)及x(1,)时，f(x)0故f(x)在(a1,1)单调减少，在(0,a1),(1,)单调增加。.优选文档(iii)若a,即a2,同理可得f(x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),(a1,)单调增加.11(II)考虑函数g(x)f(x)x1x2ax(a1)lnxx2则g(x)x(a1)a12xga1(a1)1(a11)2xx由于1a1,证明对任意的c,都有M2:()若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

11、【解析】Qf(x)x22bxc，由f(x)在x1处有极值43f(1)12bc0可得1cbc4f(1)b33b1b1解得1,或3cc若b1,c1，则f(x)x22x1(x1)20，此时f(x)没有极值；若b1,c3，则f(x)x22x3(x1)(x1)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况以下表：x(,3)3(3,1)1f(x)0+0f(x)极小值12Z极大值(1,)43当x1时，f(x)有极大值41，c3即为所求。，故b3（）证法1：g(x)|f(x)|(xb)2b2c|当|b|1时，函数yf(x)的对称轴xb位于区间1.1之外。(x)在1,1上的最值在两端点处获取M应是g(1)和g(1)中

12、较大的一个2Mg(1)g(1)|12bc|12bc|4b|4,即M2.优选文档证法2（反证法）：由于|b|1，因此函数yf(x)的对称轴xb位于区间1,1之外，(x)在1,1上的最值在两端点处获取。M应是g(1)和g(1)中较大的一个假设M2，则g(1)|12bc|2g(1)|12bc|2将上述两式相加得：4|12bc|12bc|4|b|4，以致矛盾，M2（）解法1：g(x)|f(x)|(xb)2b2c|（1）当|b|1时，由（）可知M2；（2）当|b|1时，函数yf(x）的对称轴xb位于区间1,1内，此时Mmaxg(1),g(1),g(b)由f(1)f(1)4b,有f(b)f(1)b(m1)

13、20若1b0,则f(1)f(1)f(b),g(1)maxg(1),g(b)，于是Mmax|f(1),|f(b)|1(|f(1)|f(b)|)1|f(1)f(b)|1(b1)212222若0b1，则f(1)f(1)f(b),g(1)maxg(1),g(b)于是Mmax|f(1)|,|f(b)|1(|f(1)|f(b)|)1|f(1)f(b)|1(b1)212222综上，对任意的b、c都有M12而当b0,c1时，g(x)x21在区间1,1上的最大值M1222故Mk对任意的b、c恒成立的k的最大值为1。2解法2：g(x)|f(x)|(xb)2b2c|（1）当|b|1时，由（）可知M2；（2）当|b|

14、1时，函数yf(x)的对称轴xb位于区间1,1内，.优选文档此时Mmaxg(1),g(1),g(b)4Mg(1)g(1)2g(h)|12bc|12bc|2|b2c|12bc(12bc)2(b2c)|2b22|2，即M122.已知函数f(x)1ax3bx2x3,其中a03（1）当a,b满足什么条件时,f(x)获取极值?（2）已知a0,且f(x)在区间(0,1上单调递加,试用a表示出b的取值范围.【解析】(1)由已知得f(x)ax22bx1,令f(x)0,得ax22bx10,f(x)要获取极值,方程ax22bx10必定有解,因此4b24a0,即b2a,此时方程ax22bx10的根为x12b4b24

15、abb2a,x22b4b24abb2a,2aa2aa因此f(x)a(xx1)(xx2)当a0时,x(-,x)x1(x1,x)x2(x,+)122f(x)00f(x)增函数极大值减函数极小值增函数因此f(x)在x1,x2处分别获取极大值和极小值.a0时,x(-,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+)f)(x00f(x)减函数极小值增函数极大值减函数因此f(x)在x1,x2处分别获取极大值和极小值.综上,当a,b满足b2a时,f(x)获取极值.(2)要使f(x)在区间(0,1,f(x)210(0,1.在上恒成立上单调递加需使.优选文档即ax1恒成立,因此ax1b22x,x(0,1b(22x)maxax1a1a(x21)设g(x),g(x)a,