人教版必修2第二章直线、平面垂直的判定及性质同步学案(无答案)

1、同步学案（无答案）性别上课时间人教版 必修 2 第二章直线、平面垂直的判定及其性质年级年同步教案 3 学科月数学日第同步学案（无答案）性别上课时间人教版 必修 2 第二章直线、平面垂直的判定及其性质年级年同步教案 3 学科月数学日第（ ）次课共（ ）次课课时：2课时辅导练习学生姓名授课教师教学课题（一）直线与平面垂直的判定例题精讲【题型一、线面垂直的判定】【例 1】如图， P为ABC 所在平面外一点， PA平面 ABC，ABC90，AEPB于 E，AFPC 于 F.求证：(1)BC平面 PAB；(2)AE平面 PBC；(3)PC平面 AEF. 【方法技巧】 线面垂直的判定定理的应用(1) 利用

2、直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论(2) 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：1 / 15 同步学案（无答案）寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，1C与平面1B 1B1所成的角PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，同步学案（无答案）寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，1C与平面1B 1B1所成的角PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PD底面 ABCD，ADPD，E，F 分别为 CD，PB的中BC，求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值(1)中

3、还可取 AB 中点 Q，连结 EQ，FQ，证明 AB平面 EFQ，则 ABEF，加上 EFPB，进而证明线面垂直 三角形证明线面垂直时要注意分析几何图形，全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法【题型二、】【例 2】在正方体 ABCDA1B1C1D1中，(1) 求直线 A ABCD所成的角的正切值(2) 求直线 A 与平面 BDD【方法技巧】 求线面角的方法：(1) 求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通

4、过解三角形，求出该角(2) 求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等【题型三、线面垂直的综合应用】【例 3】如图，四棱锥点(1)求证： EF平面 PAB；(2)设 AB【方法技巧】2 / 15 同步学案（无答案）a与平面 的位置关系是 ( B( B C( l ；l；l 垂直 B，那么 的取值范围是 ( B同步学案（无答案）a与平面 的位置关系是 ( B( B C( l ；l；l 垂直 B，那么 的取值范围是 ( B0，90 CBD1与平面 A1B1C1D1所成的角的余弦值大

5、小为) 平行 C) ) 1 C) (0，90 _斜交或在平面内 DD2 D 0，180 以上均有可能D3 则 EF平面 PAB.(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角巩固训练1若直线 a与平面 内的两条直线垂直，则直线A垂直2如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边则能保证该直线与平面垂直A3下列命题中正确的个数是如果直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则如果直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则如果直线 l 不垂直于 ，则 内没有与 l 垂直的直线；如果直线 l 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与A0 4一条直线和平

6、面所成角为A(0，90）5长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则6如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，BCCD，ACBACD.求证：BD平面 PAC. 3 / 15 同步学案（无答案）直二面角横边人教版 必修 同步学案（无答案）直二面角横边（二）平面与平面垂直的判定知识梳理1二面角2平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直 平面 与平面 垂直，记作 .(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的 垂直如图所示4 / 15 同步学案（无答案）人教版 必修 2第二章直线、平面垂直的判定及性质

7、同步学案（无答案）(3)判定定理例题精讲【题型一、求二面角的大小】【例 1】在正方体 ABCDABCD中：(1)求二面角 DABD 的大小； (2)求二面角 AABD 的大小【方法技巧】： 1. 求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”作平面角时，一定要注意顶点的选择2作二面角的平面角的方法方法一： (定义法 )在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图所示， AOB为二面角 a 的平面角5 / 15 同步学案（无答案）过垂足作棱的垂线， 利用线面垂直可找到二面角AFE为二面角 ABCD的平面角AOB为二面角 a 的平面角面面垂直的判定ABC同步学案（无答案）过垂足作棱

8、的垂线， 利用线面垂直可找到二面角AFE为二面角 ABCD的平面角AOB为二面角 a 的平面角面面垂直的判定ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M 是棱 CC1的中点通常情况下利用判定定理要比，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在】方法二： (垂线法 )过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，的平面角或其补角如图所示，方法三： (垂面法 )过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图所示，【题型一、【例 2】如图所示，在长方体证明：平面 ABM平面 A1B1M. 【方法技巧】 证明平面与平面垂直的方法根据面

9、面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法6 / 15 同步学案（无答案）MBCD 的体积C是圆上的点( B1个 C) PA矩形 ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有 B( B AOAOll，BOBOllPABC中，PA平面 ABC，同步学案（无答案）MBCD 的体积C是圆上的点( B1个 C) PA矩形 ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有 B( B AOAOll，BOBOllPABC中，PA平面 ABC，BAC90，则二面角) 2个( 3对 C) BPAC的大小等于 _D3个) 4对 D5对其中一个平面内寻找一

10、直线与另一平面垂直【题型三、线面、面面垂直的综合问题】【例 3】如图所示，已知三棱锥 PABC，ACB90，CB4，AB20，D 为 AB的中点，且 PDB 是正三角形，PAPC. (1)求证：平面 PAC平面 ABC ；(2)求二面角 DAPC的正弦值；(3)若 M 为 PB的中点，求三棱锥【变式】 如图，AB是圆的直径， PA垂直圆所在的平面，(1) 求证：平面 PAC平面 PBC；(2) 若 AB2，AC1，PA1，求二面角 CPBA的余弦值巩固训练1以下角：异面直线所成角；直线和平面所成角；二面角的平面角，可能为钝角的有A0个2二面角是指 ( A一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成

11、的图形B一个半平面与另一个半平面组成的图形C从一条直线出发的两个半平面组成的图形D两个相交的平行四边形组成的图形3如图，已知A2对4自二面角 l 的棱 l 上任选一点 O，若 AOB是二面角 l的平面角，必须具有条件CAAOABBOl ，AOAO?，BOBO? D 且 AO?，BO?5如图，三棱锥7 / 15 同步学案（无答案）PABCD中，PA平面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形， ABAD，CDAD.求证：平同步学案（无答案）PABCD中，PA平面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形， ABAD，CDAD.求证：平面 PDC平线面垂直的性质的中点， MN平面 A1DC. 6如右图，四棱

12、锥面 PAD. （三）直线与平面垂直的性质知识梳理直线与平面垂直的性质定理例题精讲【题型一、 】【例 1】如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 AB上一点， N 是 A1C求证： MNAD1. 【方法技巧】 证明线线平行常有如下方法：(1) 利用线线平行定义：证共面且无公共点；8 / 15 同步学案（无答案）线面垂直的性质的综合应用E的位置，使 D1E平面 A1BD，并说明理由) 平面m； ，则下列四个说法中正确的是m? 同步学案（无答案）线面垂直的性质的综合应用E的位置，使 D1E平面 A1BD，并说明理由) 平面m； ，则下列四个说法中正确的是m? ( D作平面 ABC的

13、垂线 DE，其中) (2) 利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3) 利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4) 利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5) 利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的【题型二、 】【例 2】如右图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知 DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC. (1)求证： D1CAC1；(2)设 E是 DC 上一点，试确定【方法技巧】 线面垂直与平行的相互转化：(1) 空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、

14、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的巩固训练1下列说法中不正确的是 ( ) A若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边B同一个平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直2已知直线 a，b，平面 ，且 a，下列条件中，能推出 ab的是( Ab Bb? C b DbA3已知直线? ll ，直线? lm?m；平面l ；l m? . A B C D4如右图所示，在三棱锥 PABC中，PA平面 ABC，D是侧面 PBC上的一点

15、，过D?PC，则 DE与平面 PAC的位置关系是 _9 / 15 同步学案（无答案）AFDE，AD6，则 EF_. ABC是正三角形， AE和 CD都垂直于平面平面垂直性质定理的应用ABC，且 AEAB2a，CDa，同步学案（无答案）AFDE，AD6，则 EF_. ABC是正三角形， AE和 CD都垂直于平面平面垂直性质定理的应用ABC，且 AEAB2a，CDa，F BE的中点】是5已知 AF平面 ABCD，DE平面 ABCD，如图所示，且6如图，求证： (1) DF平面 ABC；(2) AFBD. （四）平面与平面垂直的性质知识梳理平面与平面垂直的性质定理例题精讲【题型一、【例 1】已知：

16、，l.求证：l. 10 / 15 同步学案（无答案）那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，l这条辅助线，这是证法三的关键与面面垂直有关的计算)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等SABCD 中，底面 ABCD 是正方形同步学案（无答案）那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，l这条辅助线，这是证法三的关键与面面垂直有关的计算)：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等SABCD 中，底面 ABCD 是正方形， SA平面 ABCD，且 SAAB，点 E为 AB的在第一个平面【方法技巧】 证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个

17、平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线这是证法一、证法二的关键证法三是利用 “如果两个平面互相垂直，内”这一性质，添加了【题型二、 】【例 2】如图所示，平面 平面 ，在 与 的交线 l 上取线段 AB4 cm，AC，BD 分别在平面 和平面内，ACl，BDl，AC3 cm，BD12 cm，求线段 CD 的长【方法技巧】 1.与面面垂直有关的计算问题的类型：(1) 求角的大小 (或角的某个三角函数值(2) 求线段的长度或点到直线、平面的距离等(3) 求几何体的体积或平面图形的面积2计算问题的解决方法：(1) 上述计算问题一般在三角形中求解所给条件中的面面垂直首先转化为

18、线面垂直，然后转化为线线垂直往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题(2) 求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积 )法【题型三、线线、线面、面面垂直的综合应用】【例 3】如图所示，在四棱锥中点，点 F 为 SC的中点求证： (1)EFCD；(2)平面 SCD平面 SCE. 11 / 15 同步学案（无答案）. “线在面内” “平面经过一直线”等这( ) 人教版 必修 同步学案（无答案）. “线在面内” “平面经过一直线”等这( ) 【方法技巧】： (1) 空间垂直关系的判定方法(2) 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直

19、、线面垂直、面面垂直的相互转化每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：(3) 在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性巩固训练1设两个平面互相垂直，则12 / 15 同步学案（无答案）ABCD是( B某圆的外切四边形x、y、z) x、y、z都是平面x是直线， y、z是平面 表示平面，给出下列命题：(l 垂直A垂直于 a同步学案（无答案）ABCD是( B某圆的外切四边形x、y、z) x、y、z都是平面x是直线， y、z是平面 表示

20、平面，给出下列命题：(l 垂直A垂直于 a的平面内) C表示不同的直线或平面，若命题“) 正方形 D任意四边形xy，xz，则 yz”成立，则 x、y、z分别表示A一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面B过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上C过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面D分别在两个平面内的两条直线互相垂直2点 P到平面四边形 ABCD四条边的距离相等，则四边形A某圆的内接四边形3在空间中，用的元素是 ( Ax、y、z都是直线 BCx、y是平面， z是直线 D4用 a，b，c表示三条不同的直线，若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac；若 a，b，则 ab

21、；若 a，b，则ab.其中真命题的序号是 ( ) A B C D5平面 平面 ，l ，n?，nl，直线 m，则直线 m与 n的位置关系是 _6如图所示，已知： ，l ，AB?，ABl ，BC?，BCDE.求证：ACDE. 课后作业【基础巩固】1下列命题中，正确的有如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直过直线 l 外一点 P，有且仅有一个平面与如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面过点 A垂直于直线 a的所有直线都在过点13 / 15 同步学案（无答案）B3个a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则(BDPABC 中，D，E，F分别是 AB，BC，CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是BDF平面 PAED平面 PAE平面 ABC 同步学案（无答案）B3个a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则(BDPABC 中，D，E，F分别是 AB，BC，CA 的中点，则下面四个结论中不成立的是BDF平面 PAED平面 PAE平面 ABC ，是两个不同的平面B若 m，m，则 D若 m，则 mABCD 中，平面 ABD平面 BCD，且 DA平面 ABC，则 ABC的形状是 (B直角三角形D不能确定PA垂直于 O 所在的平面， AB是O的直径， C是