随机过程试题及解答

646646机过程（A解答1机程

(t)U

是互独立服从正态分布

N(2,9)的随机变量。1)求

t)

的一维概率密度函数；2)

求

X(t

的均值函数、相关函数和协方差函数。3)求解：

t)

的二维概率密度函数；由于

U

，

V

是相互独立服从正态分布

N

的随机变量，所以

X(t)

也服从正态分布，且：

(t)

tDt)Dt

D

故：(1)

t

的一维概率密度函数为：

f()t

2

t

(2)

Xt

的均值函数为：

mt)t

；相关函数为：R(s,ts(ts)协方差函数为：（）关系数

(s,t)(,t)(s))t

(t)D()(t)9

9st9t

s

t2

t)

的二维概率密度函数为：f(xx)t

2t

)

s2xtxts9s4(t2、（分）某商店8时开始营业，在8时客平均到达率为每小时4人，在时客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从时时客平均到达率维持不变为每小时80人—之无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将时15时移到—时则顾客的到达速率函数为：

t(t4在10:00—之间到商店顾客数

X

服从泊松分布，其均值：m(6)(2)

(t)dt

t)dt

dt24

0.2120.212323在10:00—之间无客到达商店的概率为：(282)0(6)X(2)0!

在10:00—之间到商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：(6)(2)3、13分设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程，平均每周有户居，如果一户4人概率为，如果一户人的概率为，一户2人概率为，一户1人概率为，并且每户的人口数是相互独立的随机变量在8周移民到该地区人口数的数学期望与方差。解：已知移民到某地区定居的户数

Nt)

是一个强度的松过程，第i户的人口数Y（i相互独立同分布的随机变量，在i

t

周内移民到该地区人口数：t)()ii

是一个复合泊松过程，

i

的分布为：

Y1i0.20.3EY2.57.3由公式：

E)

)

2可得在5周移民到该地区人口数的数学期望与方差为：160,4、（分）设马尔可夫链的转移概率矩阵：

0.5

P0.5（）求马尔夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间。（）求两步移概率矩阵

P

(2)

及当零时刻初始分布为：P{X1}P{2}{3}0.6,0时，经两步转移后的绝对分布。解：（）马尔科链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分

1

2

}3

满足：解得：

11232123312312337,故平稳分布

,}103各状态的平均返回时间：

1

11031103,321

0.260.320.422120.10.20.30.20.00.00.0

0.5

0.370.310.32

（）

(2)

0.1

0.10.50.40.330.60.20.20.26已知初始分布：

(0.2

0.20.6)

，所以经两步转移后的绝对分布为：0.370.31

T

(2)

T

(0)

(2)

0.2(0.2925、（分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），开车时这个路口如果红灯则下个路口仍红灯的概率为，而如果这个路口绿灯则下个路口仍绿灯的概率为，试求路口遇红灯的极限概率，以及红灯和绿灯状态的平均返回时间。解：设红灯为状态1，灯为状态，可以求出其转移概率矩阵为：

P

0.6

此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分

1

}2

满足：解得：

1

9,

1221故平稳分布

,}13路口遇红灯的极限概率为

413红灯和绿灯状态的平均返回时间：

16、（分）设马尔可夫链的状态空间

I

，转移概率矩阵为：

0.00.30.00.0

0.00.00.00.40.6（1）试对

状态

进行分类，并说明各状态的类型；（2）求各常返闭集的平稳分布，

及各状态的平均返回时间。解：马尔可夫链的状态空间

I

可以分解为

C和C{3,5}12

的并。其

55ijQ5i55ijQ5iji,j中

C

为非常返状态；

C

为不可约、非周期、正常返闭集，从而存在平稳分布。对于

C{3,5}2

，转移概率矩阵为：

，其平稳分布满足：353

55解得：

3

,4故

C{3,5}2

的平稳分布

3,}各常返状态的平均返回时间：

3

13

1457点在1上随机游动时t质点位于这三个点之一

[t,t)内，它都以概率

5(h

分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率解：

p(t)ij

及平稳分布。质点随机游动t时刻的位置

()

是一个马尔科夫过程，其状态空间：

I

，

矩阵元素为：

ijh

(hh(h

(ij)iiii

i,i

)

，（其中约定状态：，4=1）即：

柯尔莫哥洛夫向前微分方程为：ij

(5(i,j

(t)i,j

(t))(i,j由于：

pi,j

(t)p(i,ji,j

(t)得到：

ij

(t)((t)()ijijij解此一阶线性微分方程得：

pti,j

13

，为定常数。又因：

ij(0)1,ij故转移概率

(t)ij

为：

11etij3pt)21et,ij

T1T1平稳分布为：

j

lim(t),j1,2,3)ijt8、10分）设随机过程

X)sin2(t

是从间

[

]上的均匀分布的随机变量。试回答：和相关函数是否具有各态历经性。解：

t

是否为（宽）平稳过程？研究X的均值函数)

sin(t

0

1

sin

2

(

12)t

)(tt11cos(248

1

sin

(t

(t

故所以，

t)

是（宽）平稳过程。故

t)

X(t)imT的均值函数具有各态历经性。

2T

(tdt

(t)t-

)

l2T14

(t)sin

(t

故

t)

的相关函数具有各态历经性。西南交通大学2006-2007学年第一)期考试试卷课程代

随过

考试时题号

一

二

三

四

五

六

七

总成绩得分一、（14分）设二维随机变量(,Y)的联合概率密度函数为：)f(y)试求:0时求E(Y)

解：()Y

f(y

00

)ydx

y(1其它

0y

(5分)y时，

f(y)f(y)

)＝(1)20

y其它

(5分)(X|Yy)(y)dx

f(,yfy)

1(1)

y

2x(1)dx

1yy)

(4)二、（14分）设离散型随机变量X服从几何分布：P{Xk}p

p试求X的特征函数，并以此求其期望E()与方D(X)。解()(itX)P(X

(2分)

itk

(1p)

p

p(1p)

itkp)

[(1eit]p)

(1p)e)1)e

it

it(1pe

it

it

it

(4)

t)

ipeit(1it

p(0)0)2p

(2分)

(t)

it(1it)

it

)

(0)

)(1)

(2分)所以：11EXip

(2分

f(xf(xEX

(1)p2DX

2

EX)

2

(1)1qp2p2

(2)三、（14分）请写出维纳随机过程的数学定义，均值函数，自相关函数与一维特征函数。答：1、设W()是一个随机过程，满足：（1）P(0)

(2)（2）(t)是增量独立的随机过程(2)（30，则称W()为维纳过程。

(t)()(0,2(t

(2分)2tWt)N

2

t),EW(t)，(3)(s)(s(t)W

,t)

(3)

(vt)

tv2

(2)四、（14分）设随机过{X(t)t),其是常数，0相互独立的随机变量，服从区(0,2布，其概率密度为

)上的均匀布，A服从瑞利分e22A试证明X(t)为宽平稳过程。

解：（1(t){cos(t)}E{cos(t)}0

111

x

e

x

dx

cos(y无关（4分）（2）

(t){2t)}{cos(t)}2()}E(2)0(A2)

x

xe2

2

t

te2dt，

t

|0

0

e

t

e

t2

|0所以2(t)E{(t)}（3）(t,E{[)][Acos()]}112

（5分）[

2

]E{cos(t)cos(t)}0

1t)(t)]dy22

cos

)01

只与时间间隔有关，所以(t)为宽平稳过程。分）五、（14分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟人与每分钟3人的泊松过程。（1）试求到某时t时到达商场的总人数的分布；（2）在已t时刻以有50人达的条件下，试求其中恰有妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设((t),N(t)别为（0,）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及12总人数。（1）由已知()为强的泊松过程Nt)为强的泊松过程；112故，Nt)为强5泊松过程；于是，1(N())

(5)!

k

e

k

（5分）

ii（2）P(Nt)Nt)2

(()30,t)50)2(N(t)

((t)30)P(N(t)(3t)30/t)e(Nt)t)50t)/30!)e/3230)30()20t)e/

/20!（5分）一般地，

32P{()|()50}k()k(),k0,1,2,,50553故平均有女性顾客E{N()|()50}30人（4分）5六、（15分）设一个坛子中装4个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次取球置换，令X(),n表示次取球后坛中的黑球