南京航空航天大学Matrix-Theory双语矩阵论期末考试2015

NUAA第1页（共6页）MatrixTheory,Final, Test2015年12月28矩阵论班号: 学号 姓名必做题（70分）题号 1 2 3 4 5得分

选做题（30分） 总分PartI （5题，70分）第1题（15分）得分Let P[1,1]

denotethesetofallrealpolynomialsofdegreelessthan3withdomain（定义域）[1,1].Theadditionandscalarmultiplicationaredefinedintheusual。DefineaninnerproductonP[1,1]byp,q11

p(t)q(t)dt.ConstructanorthonormalbasisforP[1,1]

fromthebasis1,x,x2 byusingtheGram-Schmidtorthogonalizationprocess。Letf(x)x21P[1,1]

.Findtheprojectionof f ontothesubspacespannedx｝.Solution:(1) 1 1,1 11

dx 2，u 1,1 2px,1

[1

xdx]1

0, u

xp1

3x，1 2 21 1

1 2 2 3 3 1

xp 21x2p 10px2, x2, x x ，u 2 (3x21)2 2

2 2

3 x2p 42-————————-—--——-——-———--——--————-—-——--———-—--——-—————--———-——--(2） projx21,u1

ux21,u u1 2

x21,1 2

1x21,2

3x 3x2 22 2

023 2 3-————-—-—-——-———————-—-——--——--—-——-——————-——-—--—--—--——-————————--———————-——-第第6页（共6页）第2题（15分）得分LetbethelineartransformationonP3

(thevectorspaceofrealpolynomialsofdegreelessthan3）definedby(p(x))xp'(x)p''(x).（1）Findthematrix A representing withrespecttotheorderedbasis[1,x,x2]for P.3(2）Findabasisfor P3

suchthatwithrespecttothisbasis，thematrixBrepresenting isdiagonal。Findthe核）andrange(值域）ofthistransformation.Solution：（1)0 0 0 2xx22x

A0 1 0 —-——-———-——-—-—————————-———-——-—-—-————--—————————-————--———-———--———-—————--—--—-（2）1 0 1T0 1 0

(ThecolumnvectorsofTaretheeigenvectorsof 0 0 1 ThecorrespondingeigenvectorsinP3

are 0 0 0 T1AT0 1 0 (TdiagonalizesA) 0 0 2 [1,x,x21][1,x,x2。Withrespecttothisnewbasis[1,x,x21],therepresentingmatrixofisdiagonal. ——————-——--——--——-—-—-———-————--——-—--————————--—-———--————-———--————-——————-—-—-- （3）Thekernelisthesubspaceconsistingofallconstant。Therangeisthesubspacespannedbythevectors x,x21——-————————--————--—-———-——-—-———-—-—————--———--——-—————-—-—--————————--—-——————-————-—-——-—-—第3题（20分) 得分1 1 0 Let A0 2 0 0 1 2 FindalldeterminantdivisorsandelementarydivisorsofA。FindaJordancanonicalformof A.Compute e。(Givethedetailsofyour。Solution：（1）1 1 0 IA 0 2 0 （

p()(1)(2)2。Eigenvaluesare2，2）

0 1 2 Determinantdivisoroforder D()1，

()1, D()p()(1)(2)21 2 3Elementarydivisorsare(1) and(2)2 。——--——-—--——-——--—-—-——-———-—-—————-————--—-—-—--—-—-———-——-——-——————-———-—--————--—-——-——————TheJordancanonicalformis1 0 0J0 2 1 0 0 2 —-—-——-————-—————-———--————-—-———-—--——-———-———--—————————-—-—--———--———-————-——--—-—-—-——-———-0 1 0 Foreigenvalue1, IA0 1 0 ，Aneigenvectoris

(1,0,0)T00Foreigenvalue2,2IA

1 11 00 0，Aneigenvectoris

1(0,0,1)T0 1 00

21 1 0 0Solve (A2I)pp, (A2I)p0 0 0p0weobtainthat

3 p(1,1,0)T3

0 1 0 11 0 1 1 1 0 P0 0 1， P10 0 1 0 1 0 1 0 1et 0 01 1 0 et ete2t 0

eAtPeJP10 0 10 e2t te2t0 0 1

e2t 00 1 00 0 e2t0 1 0 0 te2t e2t

———-—-—-—-———--——-—-—--—--————-————--————--—-—-—-—-———————--———--———-———-———--—————-4（10分）得分Supposethat AR33 and A25A6IO。WhatarethepossibleminimalpolynomialsofA？Explain。IneachcaseofpartwhatarethepossiblecharacteristicpolynomialsofA？Explain.Solution：（1)AnannihilatingpolynomialofAis x

5x6.TheminimalpolynomialofAdividesanyannihilatingpolynomialofA.Thepossibleminimalpolynomialsarex6，x1,and x25x6。—-—-—--———-————————--——--——————-—-———-—-—-—————————-———-—-———-——-——-—-———-—-——————--(2)TheminimalpolynomialofAdividesthecharacteristicpolynomialofA。SinceAisamatrixoforder3,thecharacteristicpolynomialofAisofdegree3.TheminimalpolynomialofAandthecharacteristicpolynomialofAhavethesamelinearfactors。Case x6,thecharacteristicpolynomialis(x6)3Case x1,thecharacteristicpolynomialis(xCase x25x6,thecharacteristicpolynomialis(x(x6) or (x6)2(x1)—————-————-——--——--—--—-——————-—-—--——-—-—-——————-—-—————-——-—-—-——--————--—--—-————-——--—第5题（10分) 得分 Let A1 2 0.FindtheMoore—Penroseinverse 0 0 0

of A. Solution:A1 2 012 0PG0 0 0 0 P(PTP)1PT(1,0), G

1 ( ) ( )5 GTGGT 1 0 1 1 01 1 AGP52(1,0)52 00 0 0 也可以用SVD求.————-——-——--—-——-——-——-—-—--—--———-—-—-—--——————-————-—--———-—-——--—--——————-—PartII （选做题,10分）请在以下题目中（69题）这可能影响你的成绩。第6题Let P4

bethevectorspaceconsistingofallrealpolynomialsofdegreelessthan4withusualadditionandscalar。Let x,x,x bethreedistinctrealnumbers. Foreachpairofpolynomials f and g inP4

1 2 3,definef,g3

f(x)g(x).i ii1Determinewhether f,g definesaninnerproductonP4

ornot。Explain。第7题LetARnn.Showthatif (x)Axistheorthogonalprojectionfrom RntoR(,thenAissymmetricandtheeigenvaluesofAareall1’sand0’s.第8题LetACnn。ShowthatxHAxisreal—valuedforallxCnifandonlyifAisHermitian.第9题Let A，BCnn beHermitianmatrices,andAbepositivedefinite。ShowthatABsimilartoBA,andissimilartoarealdiagonalmatrix.选做题得分

若正面不够书写,请写在反面。第6题解答Let f(x)(xx)(xx1 2

)(xx3

Then f,f0But f0Thisdoesnotdefineaninnerproduct。第