数学建模微分方程模型

关于数学建模微分方程模型第1页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四动态模型

描述对象特征随时间(空间)的演变过程.

分析对象特征的变化规律.

预报对象特征的未来性态.

研究控制对象特征的手段.

根据函数及其变化率之间的关系确定函数.微分方程建模

根据建模目的和问题分析作出简化假设.

按照内在规律或用类比法建立微分方程.第2页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四1目标跟踪问题

设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程．乙舰行驶多远时，导弹将它击中？第3页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四由(1),(2)消去t,整理得模型:第4页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四解法二(数值解法)1．建立M文件eq1．m

functiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2．取x0=0，xf=0．9999，建立主程序如下：

x0=0，xf=0．9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b．')holdony=0:0．01:2;plot(1,y,’b*')

结论:导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰.令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组．第5页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四结果见图导弹大致在（1，0．2）处击中乙舰，与前面的结论一致．返回

结论：时刻t=0．21时，导弹在（1，0．21）处击中乙舰．第6页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四背景

年份1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年份19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长2如何预报人口的增长做出较准确的预报建立人口数学模型第7页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四指数增长模型——马尔塞斯1798年提出常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长.与常用公式的一致?第8页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四指数增长模型的应用及局限性

与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合.

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代.

可用于短期人口增长预测.

不符合19世纪后多数地区人口增长规律.

不能预测较长期的人口增长过程.19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第9页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四阻滞增长模型——Logistic模型人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数第10页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四dx/dtxOxmxm/2txOx增加先快后慢xmx0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)指数增长模型Logistic模型的应用

经济领域中的增长规律(耐用消费品的售量).

种群数量模型(鱼塘中的鱼群,森林中的树木).S形曲线第11页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm.模型的参数估计、检验和预报

指数增长模型阻滞增长模型由统计数据用线性最小二乘法作参数估计例：美国人口数据(百万)t186018701880…19601970198019902000x31.438.650.2…179.3204.0226.5251.4281.4第12页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四r=0.2022/10年，x0=6.0450模型的参数估计、检验和预报

指数增长模型阻滞增长模型r=0.2557/10年，xm=392.0886年实际人口计算人口(指数增长模型)计算人口

(阻滞增长模型)17903.96.03.918005.37.45.0…………1960179.3188.0171.31970204.0230.1196.21980226.5281.7221.21990251.4344.8245.32000422.1指数增长模型阻滞增长模型第13页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四用模型计算2000年美国人口误差约2.5%与实际数据比较(2000年281.4)=274.5模型的参数估计、检验和预报

为作模型检验在参数估计时未用2000年实际数据加入2000年数据重估模型参数r=0.2490，xm=434.0x(2010)=306.0

预报美国2010年人口美国人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年4月1日美国总人口为3.087亿.预报误差不到1%！第14页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四场景3如何施救药物中毒两位家长带着孩子急匆匆来到医院急诊室.诉说两小时前孩子一次误吞下11片治疗哮喘病、剂量100mg/片的氨茶碱片，已出现呕吐、头晕等不良症状.按照药品使用说明书，氨茶碱的每次用量成人是100~200mg，儿童是3~5mg/kg.过量服用可使血药浓度(单位血液容积中的药量)过高，100μg/ml浓度会出现严重中毒,200μg/ml浓度可致命.医生需要判断：孩子的血药浓度会不会达到100~200μg/ml；如果会达到，应采取怎样的紧急施救方案.第15页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四调查与分析转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型”

.药量x(t)药量y(t)血液系统对药物的吸收率(胃肠道到血液系统的转移率)和排除率可以由半衰期确定.半衰期可以从药品说明书上查到.第16页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四通常，血液总量约为人体体重的7%

~8%，体重50~60kg的成年人有4000ml左右的血液.目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml.调查与分析血药浓度=药量/血液总量

口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍.临床施救的办法：

体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证.第17页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四模型假设

1.胃肠道中药物向血液的转移率与x(t)成正比，比例系数λ(>0)，总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.2.血液系统中药物的排除率与y(t)成正比，比例系数μ(>0)，t=0时血液中无药物.3.氨茶碱被吸收的半衰期为5h，排除的半衰期为6h.4.孩子的血液总量为2000ml.胃肠道中药量x(t),血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）.第18页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数λ),总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外药量x(t)药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度与y(t)成正比(比例系数μ),t=0时血液中无药物.第19页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四模型求解

药物吸收的半衰期为5h药物排除的半衰期为6h只考虑血液对药物的排除第20页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四血液总量2000ml血药浓度200μg/ml结果及分析胃肠道药量血液系统药量血药浓度100μg/mly(t)=200mg严重中毒y(t)=400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3h后将致命！y(2)=236.5第21页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四施救方案

口服活性炭使药物排除率μ增至原来的2倍.

孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t)λ=0.1386(不变)，μ=0.1155×2=0.2310第22页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四施救方案t=5.26z=318

施救后血液中药量z(t)显著低于y(t).z(t)最大值低于致命水平.

要使z(t)在施救后立即下降，可算出μ至少应为0.4885.若采用体外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定.第23页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四偏微分方程与数学模型2022/10/21济南大学数学科学学院24第24页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四偏微分方程偏微分方程（PartialDifferentialEquations）指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导数的方程2022/10/21济南大学数学科学学院25第25页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四什么是偏微分方程？

2022/10/21济南大学数学科学学院26物理量(如位移、温度等)----时间、空间位置

---------------物理量的变化规律(偏微分方程)第26页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四

例子

2022/10/21济南大学数学科学学院27第27页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四研究内容

2022/10/21济南大学数学科学学院28一般规律+定解条件(初始条件、边界条件)定解问题定解问题的适定性：存在性（Existence）唯一性（Uniqueness）稳定性（Stability）+附加条件方程第28页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四4人口预测和控制年龄分布对于人口预测的重要性.只考虑自然出生与死亡，不计迁移.人口发展方程第29页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四人口发展方程一阶偏微分方程第30页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四人口发展方程p0(r)~已知函数(人口调查)f(t)~生育率(控制人口手段)0tr第31页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四生育率的分解~总和生育率h~生育模式0第32页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四人口发展方程和生育率~总和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密正反馈系统滞后作用很大第33页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制(t)不过高第34页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四5

烟雾的扩散与消失现象和问题炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域.不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失.建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系.问题分析无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化.观察到的烟雾消失与烟雾对光线的吸收、以及仪器对明暗的灵敏程度有关.第35页，共42页，2022年，5月20日，23点26分，星期四模型假设1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风的影响；扩散服从热传导定律.2）光线穿过烟雾时光强的相对减少与烟雾浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强.3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定.模型建立1）烟雾浓度的变化规律热传导定律：单位时间通过单位法向面积的流量与浓度梯度成正比.第36页，共42页，2022年，5月20日，23