人教A版新教材必修第一册第三章《函数的概念与性质》全部教案（共14课时）

3.1.1函数的概念(二)学习目标1.会判断两个函数是否为同一个函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域与函数值．一、区间的概念知识梳理设a，b∈R，且a<b，规定如下：区间数轴表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)注意点：(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆．(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立．(4)∞是一个符号，而不是一个数．例1把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}．解(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x<0}＝(－∞，0)．(3){x|－1<x<1}＝(－1,1)．(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]．反思感悟用区间表示数集时要注意：(1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开．(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．(4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．跟踪训练1(1)集合{x|－2<x≤2且x≠0}用区间表示为________．答案(－2,0)∪(0,2]解析{x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2,0)∪(0,2]．(2)已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．答案(－3,2)解析由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－3<a<2，所以实数a的取值范围是(－3,2)．二、求函数的定义域与值例2(1)函数f(x)＝eq\r(xx－1)－eq\f(1,\r(x))的定义域为________．答案[1，＋∞)解析要使f(x)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－1≥0，,x>0，))解得x≥1，所以f(x)的定义域为[1，＋∞)．(2)已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，则f(2)＝______；当a≠－1时，f(a＋1)＝____________.答案eq\f(5,2)a＋1＋eq\f(1,a＋1)解析f(2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).当a≠－1时，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋eq\f(1,a＋1).反思感悟(1)求函数的定义域应关注三点①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：(ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)y＝x0要求x≠0.②不对解析式化简变形，以免定义域变化．③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(2)函数求值的方法①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)y＝3－eq\f(1,2)x；(2)y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))；(3)y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)；(4)y＝eq\f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)).解(1)函数y＝3－eq\f(1,2)x的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以函数y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为{x|x>－2且x≠－1}．(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，))解得x≤5，且x≠±3，所以函数y＝eq\f(\r(5－x),|x|－3)的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．(4)要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x＋4x－1<0，))解不等式组得－1≤x<1.所以函数y＝eq\f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4))的定义域为{x|－1≤x<1}．三、判断是否为同一个函数问题1构成函数的要素有哪些？提示定义域、对应关系和值域．问题2结合函数的定义，如何才能确定一个函数？提示有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定．例3下列各组函数：①f(x)＝eq\f(x2－x,x)，g(x)＝x－1；②f(x)＝eq\f(\r(x),x)，g(x)＝eq\f(x,\r(x))；③f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(1－x)，g(x)＝eq\r(1－x2)；④f(x)＝eq\r(x＋32)，g(x)＝x＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．其中表示同一个函数的是________(填序号)．答案③⑤解析①不是同一个函数，定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R.②不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝eq\f(1,\r(x))，g(x)＝eq\r(x).③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．④不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．反思感悟判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．跟踪训练3下列各组函数中是同一个函数的是()A．y＝x＋1与y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2答案B解析A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误．四、求抽象函数的定义域例4(1)函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，则f(2x＋1)的定义域为________．答案[－1,1]解析令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，所以f(2x＋1)的定义域为[－1,1]．(2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2,4]，则y＝f(x)的定义域是()A．[－1,1] B．[－5,13]C．[－5,1] D．[－1,13]答案B解析由题意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，所以y＝f(x)的定义域是[－5,13]．反思感悟抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域．(2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域．跟踪训练4已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的定义域为()A．{x|－1≤x≤9} B．{x|－3≤x≤7}C．{x|－2≤x≤1} D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(1,2)))))答案D解析∵函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤2}．∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤eq\f(1,2).即函数f(2x＋1)的定义域为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2≤x≤\f(1,2))))).1．知识清单：(1)区间的表示．(2)求简单函数的定义域和函数值．(3)判断是否为同一个函数．(4)求抽象函数的定义域．2．方法归纳：整体代换．3．常见误区：不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域．1．已知区间[2a－1,11]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，6) B．(6，＋∞)C．(1,6) D．(－1,6)答案A解析由题意可知，2a－1<11，解得a<6.2．已知四组函数：①f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2；②f(x)＝x，g(x)＝eq\r(3,x3)；③f(n)＝2n－1，g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.其中是同一个函数的是()A．没有 B．仅有②C．②④ D．②③④答案C解析对于①，定义域不同；对于③，对应关系不同；对于②④，定义域与对应关系都相同．3．已知函数f(x)＝eq\f(3,x)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))等于()A.eq\f(1,a)B.eq\f(3,a)C．aD．3a答案D解析f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(3,\f(1,a))＝3a.4．函数y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定义域是______________．答案{x|x≥－1且x≠1}解析由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x－1≠0，))所以x≥－1且x≠1，故函数y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．1．区间(0,1]等于()A．{0,1} B．{(0,1]}C．{x|0<x≤1} D．{x|0≤x≤1}答案C2．函数f(x)＝eq\f(\r(1－3x),x)的定义域为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,3)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,3))))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,3)且x≠0))))答案D解析要使f(x)有意义，只需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3x≥0，,x≠0，))即x≤eq\f(1,3)且x≠0.3．设函数f(x)＝3x2－1，则f(a)－f(－a)的值是()A．0B．3a2－1C．6a2－2D．6a2答案A解析f(a)－f(－a)＝3a2－1－[3(－a)2－1]＝0.4．(多选)下列各组函数为同一个函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝eq\f(x2,x)B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0C．f(x)＝eq\f(\r(x)2,x)，g(x)＝eq\f(x,\r(x)2)D．f(t)＝eq\f(t2－16,t－4)，g(t)＝t＋4(t≠4)答案CD解析A．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；B．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；C．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；D．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数．5．若f(x)＝2x－1，则f(f(x))等于()A．2x－1 B．4x－2C．4x－3 D．2x－3答案C解析f(f(x))＝f(2x－1)＝2(2x－1)－1＝4x－3.6．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－2)的定义域为()A．(0,2) B．(1,2)C．(2,3) D．(－1,1)答案B解析由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<\f(x,2)<1，,－1<x－2<1，))解得1<x<2.7．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则a的取值范围为________．答案(1,2)解析由区间的定义知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1<a＋1，,a＋3<4a，))解得1<a<2.8．函数f(x)＝eq\f(\r(x－3),|x＋1|－5)的定义域为________．答案[3,4)∪(4，＋∞)解析要使函数有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,|x＋1|－5≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3，,|x＋1|≠5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3，,x≠4且x≠－6，))∴x≥3且x≠4，故函数f(x)的定义域为[3,4)∪(4，＋∞)．9．已知f(x)＝eq\f(1,x2＋2)，g(x)＝x2＋1，x∈R.(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．解(1)f(2)＝eq\f(1,4＋2)＝eq\f(1,6)，g(2)＝22＋1＝5.(2)f(g(3))＝f(32＋1)＝f(10)＝eq\f(1,100＋2)＝eq\f(1,102).10．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\r(3x－1)＋eq\r(1－2x)＋4；(2)f(x)＝eq\f(x＋30,\r(|x|－x)).解(1)要使函数式有意义，必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1≥0，,1－2x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3)，,x≤\f(1,2).))解得eq\f(1,3)≤x≤eq\f(1,2)，所以函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤\f(1,2))))).(2)要使函数式有意义，必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－3，,|x|>x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－3，,x<0.))所以函数的定义域为{x|x<0且x≠－3}．11．已知f(x)＝ax3＋bx＋1，则f(1)＋f(－1)的值是()A．0B．－1C．1D．2答案D解析由题意知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，可得f(1)＝a＋b＋1，f(－1)＝－a－b＋1，所以f(1)＋f(－1)＝2.12．下列四组函数中表示同一个函数的是()A．f(x)＝eq\r(－2x3)，g(x)＝xeq\r(－2x)B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)答案C解析∵f(x)＝－xeq\r(－2x)，g(x)＝xeq\r(－2x)，对应关系不同，∴A选项中两个函数不表示同一个函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2，两个函数的对应关系不一致，∴B选项中两个函数不表示同一个函数；∵f(x)＝eq\r(x2)＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，对应关系也相同，∴C选项中两个函数表示同一个函数；∵f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)＝0(x＝1)，两个函数的定义域不一致，∴D选项中两个函数不表示同一个函数．13．已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1,2]，则y＝f(x)的定义域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)) B．[－3,3]C．[－1,5] D．以上都不对答案B解析由题意知－1≤x≤2，所以－3≤－2x＋1≤3，所以y＝f(x)的定义域为[－3,3]．14．函数y＝eq\r(ax2＋ax＋1)的定义域为R，则a的取值范围为________．答案[0,4]解析当a＝0时，1≥0恒成立，所以a＝0，符合题意；当a≠0时，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a≤0，))⇒0<a≤4.所以a的取值范围为[0,4]．15．已知g(x)＝1－2x，f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.答案15解析g(x)＝eq\f(1,2)，即1－2x＝eq\f(1,2)，则x＝eq\f(1,4)，代入f(g(x))＝eq\f(1－x2,x2)(x≠0)，可得f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1－\f(1,16),\f(1,16))＝15.16．已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．(1)求f(0)和f(1)的值；(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值．解(1)令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，令x＝y＝1则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)，∴f(36)＝2(a＋b)．3.1.1函数的概念(一)学习目标1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域．导语请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟)，大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现：函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西，它只是一个名称，它就在我们身边，比如路程随时间的变化而变化；一天中温度随时间的变化而变化；天宫二号在发射过程中，上升的高度随时间的变化而变化，可以说这种变量关系无处不在，而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美．一、函数的概念问题1阅读课本60页的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？提示它们有相同的解析式，也就是对应关系．但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同．问题2请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别．提示是函数．由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象．问题3通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？提示不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系．共同点：①都包含两个非空的实数集，分别用A，B来表示；②两个实数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．知识梳理函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围A值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}注意点：(1)A，B是非空的实数集．(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系．(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．例1(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值答案AD解析按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．(2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2D．3答案C解析①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不能表示；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②可以表示；③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不能表示；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不能表示；⑤中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以⑤可以表示．反思感悟(1)判断一个对应关系是否为函数的方法(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．跟踪训练1已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是()A．y＝x2 B．y＝x＋1C．y＝x－1 D．y＝|x|.答案D解析只有y＝|x|是符合题意的对应关系．二、函数的三要素问题4初中我们学习过哪些函数？提示一次函数、二次函数和反比例函数．问题5你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？提示一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥\f(4ac－b2,4a)))))；当a<0时，它的值域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤\f(4ac－b2,4a)))))，对应关系实际上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；反比例函数f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝eq\f(k,x)(k≠0)．例2(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为__________________，值域为________．答案{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}{y|－4≤y≤3}解析根据y＝f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}．(2)若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，则函数的值域为________．答案{0,1}解析由x∈{－1,0,1}，代入f(x)＝x2，解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根据集合的互异性，函数的值域为{0,1}．反思感悟关于函数的三要素(1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围．(2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围．(3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y.跟踪训练2函数y＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0))的值域是()A．R B．{y|－1≤y≤1}C．{－1,1} D．{－1,0,1}答案D三、构建问题情境例3已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系．(1)f(x)＝eq\f(10,x)；(2)f(x)＝2x＋eq\f(20,x)；(3)f(x)＝eq\f(\r(x4＋100),x).解(1)设矩形的长为x，宽为f(x)，那么f(x)＝eq\f(10,x).其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的宽eq\f(10,x).(2)设矩形的长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋eq\f(20,x).其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的周长2x＋eq\f(20,x).(3)设矩形的长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝eq\f(\r(x4＋100),x).其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2eq\r(5)}，对应关系f把每一个矩形的长x，对应到唯一确定的对角线长eq\f(\r(x4＋100),x).反思感悟构建问题情境的步骤(1)综合考虑构建具体的实际问题；(2)赋予每个变量具体的实际意义；(3)根据变量关系，设计出所求的实际问题．跟踪训练3构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2eq\r(x)来描述．解某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍，设投资额为x，利润为y，那么y＝2eq\r(x).其中x的取值范围A＝{x|x≥0}，y的取值范围B＝{y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资对应到唯一确定的利润2eq\r(x).1．知识清单：(1)函数的概念．(2)函数的三要素．(3)构建问题情境．2．方法归纳：定义法、图象法．3．常见误区：函数概念的理解．1．已知f(x)＝|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是()A．{－2,2} B．{－2}C．{－1,2} D．{2}答案C解析若集合A＝{－1,2}，则－1∈A，但|－1|＝1∉B，故选C.2．下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A．A∈R，B∈R，x2＋y2＝1B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：C．A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(2x－1)答案B解析A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±eq\r(1－x2)，显然对任意x∈A，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2022的公共点有()A．0个 B．1个C．0个或1个 D．以上答案都不对答案C4．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为________．答案{－2,0,4}1．(多选)对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()A．y是x的函数B．对于不同的x值，y值也不同C．函数是一种对应，是多对一或一对一D．函数可以是一对多答案AC解析由函数的定义知，y是x的函数，故A正确；对于不同的x值，y值可以相同，例如y＝|x|，当x＝1，－1时，y值均是1，故B错误；由函数的定义知，函数是一种对应，是多对一或一对一，不是一对多，故C正确，D错误．2．下列图形中不是函数图象的是()答案A解析A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，B，C，D均符合函数定义．3．(多选)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是()A．f：x→y＝eq\f(1,8)x B．f：x→y＝eq\f(1,4)xC．f：x→y＝eq\f(1,2)x D．f：x→y＝x答案ABC解析根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．4．托马斯说：“函数是近代数学的思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝{－1,1,2}到集合N＝{1,2,4}的函数的是()A．y＝2x B．y＝x＋1C．y＝|x| D．y＝x2＋1答案C解析根据题意，可知函数的定义域为M＝{－1,1,2}，对于A选项，按照对应的x→2x，函数的值域为E＝{－2,2,4}⊈N，A选项错误；对于B选项，按照对应的x→x＋1，函数的值域为E＝{0,2,3}⊈N，B选项错误；对于C选项，按照对应的x→|x|，函数的值域为E＝{1,2}⊆N，C选项正确；对于D选项，按照对应的x→x2＋1，函数的值域为E＝{2,5}⊈N，D选项错误．5．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是()A．{1} B．{－1}C．{－1,1} D．{－1,0}答案D解析若集合A＝{－1,0}，则0∈A，但02∉B.6．(多选)下列四种说法中，正确的有()A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素答案ACD解析由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．7．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么你认为：y________(填“是”或“不是”)n的函数，理由是__________________________________________．答案是每一个圆周率上的数字n都对应唯一的y解析根据函数的定义可知，每一个圆周率上的数字n都对应唯一的y，所以y是n的函数．8．如图，表示函数关系的是________．(填序号)答案①②④解析由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数关系．9．根据图中的函数图象，求出函数的定义域和值域．解图(1)，定义域为{x|0≤x<3}，值域为{y|0≤y≤1或y＝2}；图(2)，定义域为{x|x≥－2}，值域为{y|y≥0}；图(3)，定义域为R，值域为{y|－1≤y≤1}．10．判断下列对应关系是否为从A到B的函数：A＝B＝N*，对任意的x∈A，x→|x－3|.解考虑输入值为3时，即当x＝3时输出值y由y＝|x－3|给出，得y＝0.这个输入值没有输出值与之对应，所以x→|x－3|(y＝|x－3|)不是从A到B的函数．11．已知集合A＝{1,2，k}，B＝{4,7,10}，x∈A，y∈B，使B中元素y和A中元素x一一对应，对应关系为y＝3x＋1，则k的值为()A．5B．4C．3D．2答案C解析根据对应关系为y＝3x＋1,3×1＋1＝4,3×2＋1＝7，由题意可得3×k＋1＝3k＋1＝10，所以k＝3.12．若两个函数的对应关系相同，值域也相同，但定义域不同，则称这两个函数为同族函数，那么与函数y＝x2，x∈{－1,0,1,2}为同族函数的有()A．5个B．6个C．7个D．8个答案D解析由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{0,1,4}，定义域中0是肯定有的，正、负1至少含有一个，正、负2至少含有一个，它的定义域可以是{0,1,2}，{0,1，－2}，{0，－1,2}，{0，－1，－2}，{0,1，－2,2}，{0，－1，－2,2}，{0,1，－1，－2}，{0,1，－1,2，－2}，共有8种不同的情况．13．下列构建的问题情境中的变量关系不可以用同一个解析式来描述的是()A．某商品的售价为2(单位：元/件)，销量为x(单位：件)，销售额为y(单位：元)，那么y＝2x.其中，x的取值范围是A＝N，y的取值范围是B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)∈N)))).对应关系f把商品的每一个销量x，对应到唯一确定的销售额2xB．把y＝2x(x∈N)看成是一次函数，那么它的定义域是N，值域是B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)∈N)))).对应关系f把定义域中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数2xC．某物体做匀速运动，速度为2(单位：米/秒)，运动时间为x(单位：秒)，路程为y(单位：米)，那么y＝2x.其中，x的取值范围是A＝{x|x≥0}，y的取值范围是B＝{y|y≥0}．对应关系f把物体的每个运动时间x，对应到唯一确定的路程2xD．某品牌汽车的装货量为2(单位：吨/台)，汽车数量为t(单位：台)，运载量为z(单位：吨)，那么z＝2t，其中，t的取值范围是A＝N，z的取值范围是B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(z,2)∈N)))).对应关系f把每一个汽车数量t，对应到唯一确定的运载量2t答案C14．已知集合A＝B＝{0,1,2,3}，f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有________种．答案15解析由函数的定义知，此函数可分为四类：若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况；若函数是三对一对应，则值域有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共6种情况；若函数是二对一对应，则值域有{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，共4种情况；若函数是一对一对应，则值域为{0,1,2,3}，共1种情况．综上，该函数的值域的不同情况有4＋6＋4＋1＝15(种)．15．已知函数f(x)的定义域为A＝{1,2,3,4}，值域为B＝{7,8,9}，且对任意的x<y，恒有f(x)≤f(y)，则满足条件的不同函数共有________个．答案3解析由题意知，当1,2对应7时，3对应8,4对应9；当1对应7时，2,3对应8,4对应9；当1对应7时，2对应8,3,4对应9，所以一共有3个．16．试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝eq\f(10,x)(x∈{x|x>0})来描述．解直角三角形的面积为5，设一条直角边长为x，另一条直角边长为y，那么y＝eq\f(10,x).其中，x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}．对应关系f把每一个直角三角形的一条直角边长x，对应到唯一确定的另一条直角边长eq\f(10,x).3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法(1)学习目标1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点.2.能用图象法表示函数并能通过函数图象得到函数的值域．导语如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容，那么对于不同呈现出来的函数，是否也会有不同的表示方法呢？让我们一起来探究吧．一、函数的表示法问题结合初中所学以及上节课的几个问题，你能总结出几种函数的表示方法？提示解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．例1中秋节到了，小明想买几块月饼，已知每块月饼的单价是6元，买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元，你能用函数的三种表示方法表示函数y＝f(x)吗？解函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6}，用解析法可将函数表示为f(x)＝6x，x∈{1,2,3,4,5,6}．列表法可将函数表示为月饼数x123456钱数y61218243036图象法可将函数表示为反思感悟理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．解用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示．用列表法表示函数y＝f(x)，如表所示．x1234y－2－3－4－5二、函数的图象例2作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．解(1)当x∈[0,2]时，图象是一次函数y＝2x＋1的一部分，如图所示．(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq\f(2,x)的一部分，如图所示．(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分，如图所示．反思感悟作函数y＝f(x)图象的方法(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．跟踪训练2作出下列函数的图象：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．解(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．三、求简单函数的值域例3求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5]；(3)y＝eq\f(2x＋1,x)；(4)y＝eq\f(3x＋2,x－1).解(1)∵y＝2x＋1，且x∈{1,2,3,4,5}，∴y∈{3,5,7,9,11}．∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)配方得y＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示，由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]．(3)y＝eq\f(2x＋1,x)＝2＋eq\f(1,x)，故该函数是由反比例函数向上平移了2个单位长度得到的，故值域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y≠2)))).(4)∵y＝eq\f(3x＋2,x－1)＝eq\f(3x－1＋5,x－1)＝3＋eq\f(5,x－1)≠3，∴函数的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)．反思感悟求函数值域的方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．(3)图象法：利用已知一次函数、二次函数或反比例函数的图象写出函数的值域．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(5)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；(2)y＝eq\f(1,x＋1)－1.解(1)∵x∈[－5，－2]在对称轴x＝－1的左侧，∴x∈[－5，－2]时，抛物线上升．∴当x＝－5时，y＝－12，当x＝－2时，y＝3.∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．(2)因为eq\f(1,x＋1)≠0，所以eq\f(1,1＋x)－1≠－1，故函数y＝eq\f(1,x＋1)－1的值域为{y|y≠－1}．1．知识清单：(1)函数的表示法．(2)函数的图象及其应用．(3)求函数的值域．2．方法归纳：观察法、配方法、换元法、分离常数法、数形结合法．3．常见误区：求函数值域时忽略函数的定义域．1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域是()A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案C解析由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．2．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}答案A解析由对应关系y＝x2－2x得，0→0,1→－1,2→0,3→3，所以值域为{－1,0,3}．3．函数f(x)＝eq\f(1,x2＋2x＋2)(x∈R)的值域是()A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)答案C解析因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1，所以0<eq\f(1,x＋12＋1)≤1，所以函数的值域为(0,1]．4．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________.x1≤x<222<x≤4f(x)123答案3解析∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.1．购买某种饮料x瓶，所需钱数为y元．若每瓶2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为()A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})答案D解析题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2，3,4}．2．函数f(x)＝2x＋1，x∈[0,1]的值域是()A．[1,3]B．(1,3)C．[2,3]D．[0,2]答案A解析由f(x)＝2x＋1的图象知(图略)，图象整体是上升的，当x∈[0,1]时，f(0)＝1，f(1)＝3，所以值域为[1,3]．3．若集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{y|y＝－x2－2x}，则A∩B等于()A．(－1,1) B．[－1,1]C．(－1,1] D．[－1,1)答案B解析集合A＝{y|y＝x2－1}＝{y|y≥－1}，B＝{y|y＝－x2－2x}＝{y|y＝－(x＋1)2＋1}＝{y|y≤1}，则A∩B＝[－1,1]．4．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是()答案D解析由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符合题意．5．(多选)已知函数f(x＋1)＝x2－3x，且f(a)＝－2，则a的值为()A．3 B．2C．1 D．0答案AB解析由x2－3x＝－2得x＝1或x＝2，所以a＝1＋1＝2或a＝1＋2＝3.6．(多选)下列命题中是假命题的是()A．函数f(x)＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)有意义B．函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线C．函数是其定义域到值域的对应关系D．函数y＝x2(x≥0)的图象是一条曲线答案AB解析A选项，函数f(x)的定义域需满足x≥2且x≤1，不存在，A错；B选项，函数y＝2x(x∈N)的图象是由离散的点组成的，B错；C选项，函数是其定义域到值域的对应关系，C对；D选项，函数y＝x2，x≥0的图象是抛物线的一部分，D对．7．若A＝{y|y＝x2－2x＋2}，且a∈A，则eq\f(1,a＋2)的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))解析∵A＝{y|y＝x2－2x＋2}＝{y|y＝(x－1)2＋1}＝{y|y≥1}，a∈A，则a≥1，所以a＋2≥3，所以0＜eq\f(1,a＋2)≤eq\f(1,3).8．已知函数f(x)的定义域是[0,1]，值域是[1,2]，则这样的函数可以是f(x)＝________.答案x＋1，x∈[0,1](答案不唯一)解析因为函数f(x)的定义域是[0,1]，值域是[1,2]，所以函数可以是f(x)＝x＋1，x∈[0,1]．9．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域：(1)y＝eq\f(8,x)；(2)y＝－4x＋5；(3)y＝x2－6x＋7.解(1)反比例函数y＝eq\f(8,x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)一次函数y＝－4x＋5的图象如图所示，定义域为R，值域为R.(3)二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞)．10．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系．解(1)列表法，列出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为x012345y50403020100(2)图象法，画出参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系如图．(3)解析法，参赛者得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系为y＝50－10x，x∈{0,1,2,3,4,5}．11．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水．则正确论断的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，故①正确；从题干丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量也保持不变，故③错．12．已知陈校长某日晨练时，行走的时间x与离家的直线距离y之间的函数图象如图，若用黑点表示陈校长家的位置，则陈校长晨练所走的路线可能是()答案D解析由函数图象可知，在行走过程中，有一段路程离陈校长家距离不变，除D选项外，其余都不符合，故排除A，B，C.13．已知函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4，0]，则实数m的取值范围是________．答案[2,4]解析函数f(x)＝x2－4x的部分图象及在[0，m]上的图象如图所示．f(0)＝0，f(2)＝－4，f(4)＝0，当x＞4时f(x)＞0；当0＜x＜4时，－4≤f(x)＜0，所以为使函数f(x)＝x2－4x在[0，m]上的值域为[－4,0]，实数m的取值范围是[2,4]．14．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a<b时，a*b＝b2.设函数f(x)＝(－2*x)－(2*x)，x∈(－2，2］，则函数f(x)的值域为__________..答案[－2,2]解析由题意知f(x)＝x2－2，因为x∈(－2,2]，所以x2∈[0,4]，所以f(x)∈[－2,2]．15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案A解析对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．16．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解存在．理由如下：f(x)＝eq\f(1,2)x2－x＋eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1图象的对称轴为x＝1，顶点为(1,1)且开口向上．∵m>1，∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,fm＝m，))∴eq\f(1,2)m2－m＋eq\f(3,2)＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3或m＝1(舍)∴存在实数m＝3满足条件．第2课时函数的表示法(2)学习目标1.掌握利用图象的变换法作图.2.会求函数的解析式．导语同学们，函数的图象在整个函数的学习中占据重要的地位，因为它能带领我们直观的感受变量的发生、发展过程，就好像是有了“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天”，就能在我们的脑海里呈现出一幅优美的图象一样直接．一、函数图象的画法问题除了我们所熟悉的“列表、描点、连线”作图，还有哪些作图的方法？提示平移变换、对称变换、翻折变换．知识梳理1．函数图象的平移变换(1)左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象．(2)上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象．2．函数图象的对称变换(1)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝－f(x)；(2)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝f(－x)；(3)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝－f(－x)．3．函数图象的翻折变换(1)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方的图象，),\s\do5(把x轴下方的图象翻折到x轴上方))y＝|f(x)|；(2)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边的图象，),\s\do5(把y轴右边的图象翻折到y轴左边))y＝f(|x|)．注意点：(1)左右移动加减的是自变量，且不带系数与符号，上下移动加减的是函数值．(2)自变量的绝对值是左右翻折，函数值的绝对值是上下翻折．(3)若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数f(x)的图象关于x＝a对称．例1画出函数y＝(x－2)2的图象．解方法一列表：x－1－0.500.511.522.533.544.55y96.2542.2510.2500.2512.2546.259描点、连线，图象如图所示．方法二图象变换法：先作出函数y＝x2的图象，然后把它向右平移2个单位长度，就得到函数y＝(x－2)2的图象，如图所示．反思感悟画函数图象的两种常见方法(1)描点法：列表、描点、连线．(2)变换作图法：常用的有水平平移变换、竖直平移变换、对称变换、翻折变换等．跟踪训练1函数y＝eq\f(x,1＋x)的大致图象是()答案A解析方法一y＝eq\f(x,1＋x)的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，当x＝0时，y＝0，排除B.方法二y＝eq\f(x,1＋x)＝1－eq\f(1,x＋1)，由函数的平移性质可知A正确．二、求函数的解析式例2(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)；(2)已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)．(3)已知2f(x)＋f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x(x∈R且x≠0)，求f(x)的解析式．解(1)方法一(换元法)令t＝eq\r(x)＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因为eq\r(x)＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＋f(x－1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,2b＝－4，,2a＋2c＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2，,c＝－1，))所以f(x)＝x2－2x－1.(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2fx＋f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝xx≠0，,2f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋fx＝\f(1,x)x≠0，))可知f(x)＝eq\f(2x,3)－eq\f(1,3x)(x≠0)．反思感悟求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．跟踪训练2(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)．(3)已知f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．解(1)方法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.方法二(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.))∴f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)因为f(x)＋2f(－x)＝9x＋2，①所以f(－x)＋2f(x)＝9(－x)＋2，②②×2－①得3f(x)＝－27x＋2，即f(x)＝－9x＋eq\f(2,3).1．知识清单：(1)函数的图象．(2)求函数解析式．2．方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法．3．常见误区：求函数解析式时容易忽视定义域．1．若二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式可能为()A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1答案D解析设f(x)＝(x－1)2＋c，由于点(0,0)在二次函数图象上，∴f(0)＝(0－1)2＋c＝0.∴c＝－1，∴f(x)＝(x－1)2－1.2．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2答案A解析因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.3．已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，则函数f(x－3)的图象恒过点()A．(－2，－1) B．(4，－1)C．(1，－4) D．(1，－2)答案B解析因为已知f(x)的图象恒过点(1，－1)，所以当x－3＝1时，f(x－3)＝－1，即函数f(x－3)的图象恒过点(4，－1)．4．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________________________________________________________________________．答案f(x)＝－x2－4x－1解析设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.1．函数f(x)＝|x－1|的图象是()答案B解析画出y＝|x|的图象，则f(x)的图象由y＝|x|的图象向右平移一个单位长度得到．2．二次函数y＝2x2的图象先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为()A．y＝2(x＋1)2＋2 B．y＝2(x－1)2＋2C．y＝2(x＋1)2－2 D．y＝2(x－1)2－2答案B解析将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y＝2x2＋2的图象，再向右平移1个单位长度得函数y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋2的图象．3．函数y＝－eq\f(1,x－1)的图象是()答案C解析方法一先画y＝－eq\f(1,x)的图象，然后再向右平移1个单位长度即可得到y＝－eq\f(1,x－1)的图象．方法二根据函数y＝－eq\f(1,x－1)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)可排除B，D；再根据x＝2时，y＝－1<0，排除A.4．(多选)已知f(2x－1)＝4x2，则下列结论中正确的是()A．f(3)＝9 B．f(－3)＝4C．f(x)＝x2 D．f(x)＝(x＋1)2答案BD解析f(2x－1)＝4x2＝(2x－1)2＋2(2x－1)＋1，故f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故选项C错误，选项D正确；f(3)＝16，f(－3)＝4，故选项A错误，选项B正确．5．(多选)设f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，则下列结论正确的有()A．f(－x)＝－f(x) B．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝－f(x)C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝f(x) D．f(－x)＝f(x)答案BD解析因为f(x)＝eq\f(1＋x2,1－x2)，所以f(－x)＝eq\f(1＋－x2,1－－x2)＝f(x)，故A错误，D正确；f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))＝eq\f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2)＝eq\f(x2＋1,x2－1)＝－f(x)，故B正确，C错误．6．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为()A．y＝－x2＋2x－3 B．y＝－x2＋2x＋3C．y＝－x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x＋3答案C解析先将抛物线y＝x2＋2x－3关于原点作中心对称变换，得到抛物线y＝－[(－x)2＋2(－x)－3]，整理得y＝－x2＋2x＋3；再将抛物线y＝－x2＋2x＋3关于y轴作轴对称变换，得到抛物线y＝－(－x)2＋2(－x)＋3，整理得y＝－x2－2x＋3，所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.7．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为________．答案－1解析若a>0，即图象开口向上，故排除第1个和第3个图象，∵b>0，∴对称轴x＝－eq\f(b,2a)<0，故排除第2个和第4个图象；若a<0，即图象开口向下，∵b>0，∴对称轴x＝－eq\f(b,2a)>0，故函数图象为第3个图象．由图象知函数过点(0,0)，∴a2－1＝0，∴a＝－1(舍去a＝1)．8．已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x＋1)，那么f(x)的解析式为________．答案f(x)＝eq\f(x,1＋x)(x≠－1且x≠0)解析由f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x＋1)可知，函数f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠－1}．令t＝eq\f(1,x)，则f(t)＝eq\f(1,\f(1,t)＋1)＝eq\f(t,t＋1)，故f(x)＝eq\f(x,1＋x)(x≠－1且x≠0)．9．画出函数y＝eq\f(2x,x＋1)的图象．解因为y＝eq\f(2x,x＋1)＝2－eq\f(2,x＋1)，所以可先画出函数y＝－eq\f(2,x)的大致图象(如图虚线所示)，把所得图象向左平移1个单位长度，得到y＝－eq\f(2,x＋1)的图象，再把所得图象向上平移2个单位长度就得到函数y＝eq\f(2x,x＋1)的图象，如图实线所示．10．(1)已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)；(2)已知函数f(x)＝x2－bx＋c且f(1)＝0，f(2)＝－3，求f(x)．解(1)∵f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2，令t＝x－eq\f(1,x)，∴f(t)＝t2＋2，∴f(x)＝x2＋2.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1－b＋c＝0，,f2＝4－2b＋c＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝6，,c＝5，))故f(x)＝x2－6x＋5.11．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2xB．y＝20－2x(0<x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5<x<10)答案D解析由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，由y>0即20－2x>0得x<10，所以5<x<10.12．若y＝f(x＋3)的图象经过点P(1,4