数学模型 数学论文指导 初等模型分配问题市公开课一等奖省名师优质课赛课一等奖课件

初等数学模型问题一：公平席位分配问题公平席位分配是人类社会中相当普遍一类权益分配问题，这个问题起源于美国众议院议员在各州名额分配问题。席位分配问题某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按通例分配席位方案，即按人数百分比分配标准表示某单位席位数表示某单位人数表示总人数表示总席位数1问题提出20个席位分配结果系别人数所占百分比分配方案席位数甲100100/200(50/100)•20=10乙6060/200(30/100)•20=6丙4040/200(20/100)•20=4现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。系别人数所占百分比分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%•20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%•20=3.410641064现象1

丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）为了在表决提案时可能出现10：10平局，再设一个席位。21个席位分配结果系别人数所占百分比分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%•21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%•21=3.5701173现象2

总席位增加一席，丙系反而降低一席。（不公平！）通例分配方法：按百分比分配完取整数名额后，剩下名额按通例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平分配席位方案？2建模分析目标：建立公平分配方案。反应公平分配数量指标可用每席位代表人数来衡量。系别人数席位数每席位代表人数公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系别人数席位数每席位代表人数甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系别人数席位数每席位代表人数公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差普通地，单位人数席位数每席位代表人数AB当席位分配公平但通常不一定相等，席位分配不公平程度用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好衡量标准。单位人数p席位数n每席位代表人数绝对不公平标准A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D不公平程度大为改进！2）相对不公平表示每个席位代表人数，总人数一定时，此值越大，代表人数就越多，分配席位就越少。则A吃亏,或对A是不公平。定义“相对不公平”对A相对不公平值；同理，可定义对B相对不公平值为：对B相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度数量指标制订席位分配方案标准是使它们尽可能小。3建模模型1若A、B两方已占有席位数为用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。不失普通性，有下面三种情形。情形1说明即使给A单位增加1席，仍对A不公平，所增这一席必须给A单位。情形2说明当对A不公平时，给A单位增加1席，对B又不公平。计算对B相对不公平值情形3说明当对A不公平时，给B单位增加1席，对A不公平。计算对A相对不公平值则这一席位给A单位，不然给B单位。结论：当（*）成立时，增加一个席位应分配给A单位，反之，应分配给B单位。记则增加一个席位应分配给Q值较大一方。这么分配席位方法称为Q值方法。若A、B两方已占有席位数为4推广有m方分配席位情况设方人数为，已占有个席位，当总席位增加1席时，计算则1席应分给Q值最大一方。从开始，即每方最少应得到以1席，（假如有一方1席也分不到，则把它排除在外。）设有k个部门，每个部门人数分别

为

,总人数N，待分配席位为m，理想化席位分配结果为,记

显然，若全为整数时，应有

当不全为整数时，需要确定同时满足以下公理公平分配方案：模型2公理1、

，即

取

，其中

，

，

表示

整数部分。公理2、，即总席位增加时，各个部门席位数不会降低。公理1显然满足Young公理公理IV（公平分摊性），公理2显然满足Young公理公理I（人口单调性）和公理III（名额单调性）设总人数为n，总席位数为m，第个部门人数为，令称其为对第个部门绝对不公平值。令称其为对第个部门相对不公平值，或称为相对尾数。因为人口数是整数，为使分配公平，需全部

越小越好，所以公平分配方案应该是最大

到达最小，亦即全部到达最小。为方便起见，首先考虑只有两个部门情况，而且

，

和

不全是整数（实际上，它们同为整数或小数）。记，即为小数部分。 定理、满足公理1、2分配方案为：(1)若

，且

，则取，（即“百分比加通例”方法）。(2)若

，则取得结果同上.

(3)若

，则取按照定理，对三个部门，设全不为零（若有一个为零，实则按两个部门进行分配），能够做以下公平分配当时；按百分比取整后，多出席位分配给小数部分较大部门（百分比加通例方法）。当时；按百分比取整后，若多出一个席位，则分配给第一个部门，若多出两个席位，则分配给第一个部门及第二、三部门中小数部分较大部门。当初

；按百分比取整后，若多出一个席位，则分配给第一、二部门中小数部分较大部门，若多出两个席位，则分配给第一部门和第二部门。当初

；按百分比取整后，若多出一个席位，则分配给第一部门；若多出两个席位，则分配给第一部门和第二部门。普通地，对个部门，设不全为零，且，则当时，将剩下个席位分配给第一至第个部门，当时，将剩下个席位分配给第一至第-1个部门及(较大一个部门。单位人数20个席位21个席位分配百分比X，BQ，H分配百分比XBQH110310.3101110.815101111122636.3666.61577663343.4433.574343总和2002020202121212121X-表示相对尾数法分配结果，B-表示百分比加通例分配结果，Q-表示Q-值法分配结果，H-表示d’Hondt法（文[1]）分配结果5举例甲、乙、丙三系各有些人数103，63，34，有21个席位，怎样分配？按Q值方法：练习学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432