D18连续性间断点92360课件

1、增量：函数在点连续：机动目录上页下页返回结束一、函数的连续性变量u从到，称为u的增量可正，可负or为零2、(1)设在内有定义，若则称在点连续。1、增量：函数在点连续：机动目录上页下页1注：函数在点（2）在的某邻域内有定义,则称函数在点即

极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束定义：注：函数在点（2）在的某邻域内有定义,则称函数在点即2例1、证明：证明：推论：若为x

的多项式，则在上连续。3、左右连续：（1）左连续：则称在点左连续。机动目录上页下页返回结束例1、证明：证明：推论：若为x的多项式，则在上连续。3、3(2)右连续：则称在点右连续。(3)在点连续在点左、右连续。主要用于分段函数在分段点的连续性的讨论；例1、设讨论在点的连续性。解：在点连续。机动目录上页下页返回结束(2)右连续：则称在点右连续。(3)在点连续在点左、右连续。4例2、设在点连续,求k

。解：在点连续,机动目录上页下页返回结束例2、设在点连续,求k。解：在点连续,机动目录5例如,在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.机动目录上页下页返回结束4、区间上的函数连续的定义：（1）在(a,b)上连续：在点连续,则称f(x)

在(a,b)上连续，记（2）在[a,b]上连续：且f(x)

在a

点右连续，在b点左连续；记例如,在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在6例3.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.机动目录上页下页返回结束推论：基本初等函数在其定义域内连续。例3.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可7在在二、函数的间断点与分类：(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但

不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点即不连续的点。在无定义;机动目录上页下页返回结束1、定义：在在二、函数的间断点与分类：(1)函数(2)函数不存在82、间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.机动目录上页下页返回结束2、间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断9为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:机动目录上页下页返回结束为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:机10显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动11例4、讨论函数的连续性，若有间断点，指出类型：但f(0)

无定义，x=0

为可去间断点。故x=1

为无穷间断点。机动目录上页下页返回结束例4、讨论函数的连续性，若有间断点，指出类型：但f(0)12故f(x)

在x=0

间断，x=0为不可去间断点。机动目录上页下页返回结束故f(x)在x=0间断，x=0为不可去间断点。机动13内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动目录上页下页返回结束内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限14一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性机动目录上页下页返回结束连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性机动15定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动目录上页下页返回结束定理2.连续单调递增函数的反函数16定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.证:

设函数于是故复合函数又如,且即机动目录上页下页返回结束定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增17例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目18例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.机动目录上页下页返回结束例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运19二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动目录上页下页返回结束二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四20例2.求解:原式例3.求解:

令则原式机动目录上页下页返回结束例4.求例2.求解:原式例3.求解:令则原式机动目21

内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.机动目录上页下页返回结束内容小结基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算的结22思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:为连续函数.机动目录上页下页返回结束答案:x=1是第一类可去间断点,思考与练习1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间23备用题确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束备用题确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点241、增量：函数在点连续：机动目录上页下页返回结束一、函数的连续性变量u从到，称为u的增量可正，可负or为零2、(1)设在内有定义，若则称在点连续。1、增量：函数在点连续：机动目录上页下页25注：函数在点（2）在的某邻域内有定义,则称函数在点即

极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;机动目录上页下页返回结束定义：注：函数在点（2）在的某邻域内有定义,则称函数在点即26例1、证明：证明：推论：若为x

的多项式，则在上连续。3、左右连续：（1）左连续：则称在点左连续。机动目录上页下页返回结束例1、证明：证明：推论：若为x的多项式，则在上连续。3、27(2)右连续：则称在点右连续。(3)在点连续在点左、右连续。主要用于分段函数在分段点的连续性的讨论；例1、设讨论在点的连续性。解：在点连续。机动目录上页下页返回结束(2)右连续：则称在点右连续。(3)在点连续在点左、右连续。28例2、设在点连续,求k

。解：在点连续,机动目录上页下页返回结束例2、设在点连续,求k。解：在点连续,机动目录29例如,在上连续.(有理整函数)又如,

有理分式函数在其定义域内连续.机动目录上页下页返回结束4、区间上的函数连续的定义：（1）在(a,b)上连续：在点连续,则称f(x)

在(a,b)上连续，记（2）在[a,b]上连续：且f(x)

在a

点右连续，在b点左连续；记例如,在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在30例3.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.机动目录上页下页返回结束推论：基本初等函数在其定义域内连续。例3.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可31在在二、函数的间断点与分类：(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但

不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点即不连续的点。在无定义;机动目录上页下页返回结束1、定义：在在二、函数的间断点与分类：(1)函数(2)函数不存在322、间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.机动目录上页下页返回结束2、间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断33为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:机动目录上页下页返回结束为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:机34显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动目录上页下页返回结束显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.机动35例4、讨论函数的连续性，若有间断点，指出类型：但f(0)

无定义，x=0

为可去间断点。故x=1

为无穷间断点。机动目录上页下页返回结束例4、讨论函数的连续性，若有间断点，指出类型：但f(0)36故f(x)

在x=0

间断，x=0为不可去间断点。机动目录上页下页返回结束故f(x)在x=0间断，x=0为不可去间断点。机动37内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式机动目录上页下页返回结束内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限38一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性机动目录上页下页返回结束连续函数的运算与初等函数的连续性

第一章一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性机动39定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的运算法则定理1.

在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动目录上页下页返回结束定理2.连续单调递增函数的反函数40定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.证:

设函数于是故复合函数又如,且即机动目录上页下页返回结束定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增41例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目42例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.机动目录上页下页返回结束例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运43二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续