大四下设计核心综述素材

卢迪.计算机图形学原理及应用[M].国防工业出版社，20091963年美国波音（Boeing）公司的佛格森（Ferguson）将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，并用三次参数曲线构造组合曲线，用四个角点的位置矢量及其两个方向的切矢量定义三次曲面。1964年美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）用封闭曲线的四条边界定义一块曲面。同年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。1971年法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。同期，法国的雪铁龙（Citroen）汽车公司的德卡斯特里奥（deCasteljau）也独立的研究出了与Bezier类似的方法。1972年，德布尔（deBoor）给出了B样条的标准计算方法。1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gordon）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线、曲面。1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）在其博士论文中提出了有理B样条发展成非均匀有理B样条（NURBS）方法，并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术，用NURBS可统一表示初等解析曲线、曲面以及有理与非有理B样条曲线、曲面。Bezier曲线：1962年法国雷诺汽车公司的Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线，以这种方法为主，完成了一种曲线和曲面的设计系统UNISURF,并于1972年在该公司应用。Bezier方法将函数逼近与几何表示结合起来，使得设计师在计算机上运用起来就像使用常规作图工具设计一样得心应手。B样条曲线：以Bernstein基函数构造的Bezier曲线有许多的优点，如直观、计算简单等，但也有一些不足之处：一是缺少局部性，修改某一个控制顶点将影响整个曲线；二是控制多边形与曲线的逼近程度较差（次数越高，逼近程度越差）；三是当表示复杂形状时，无论采用高次曲线还是多段拼接起来的低次曲线，都相当复杂。为了克服这些问题，Gordon、Riesenfeld等人拓广了Bezier曲线，提出了B样条方法，用n次B样条基函数替代了Bernstein基函数，在保留Bezier方法的全部优点的基础上，克服了Bezier的弱点，具有表示和设计自由曲线、曲面的强大功能。另外，B样条方法是目前已成为关于工业产品几何定义国际标准的有理B样条方法的基础。由此，B样条方法是形状数学描述的主流方法之一。非均匀有理B样条曲线：B样条方法在表示与设计自由型曲线曲面形状时显示了强大的威力，然而在表示与设计初等曲线曲面时却遇到了麻烦。因为B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能精确表示出抛物线外的二次曲线，B样条曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能给出近视表示。提出非均匀有理B样条（NURBS）方法，主要是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。NURBS的优缺点：1991年国际标准化组织（ISO）正式颁布了工业产品几何定义的STEP际准，作为产品数据交换的国际标准，在该标准中，NURBS被确定为自由型曲线及曲面的唯一表示方法。这是因为NURBS具有以下优点：（1）既为标准解析形状即初等的曲线曲面，也为自由曲线曲面的精确表示与设计提供了一个统一的数学形式。因此，一个统一的图形数据库就能存储这两类曲线曲面几何形状信息。（2）由操纵控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性。（3）计算稳定，速度快（4）NURBS有明显的几何解释，对有良好的几何知识尤其是画法几何知识的设计人员来说，特别适用。（5）具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术（包括节点插入、细分、升阶等），这些技术能用于设计、分析与处理等各环节。（6）NURBS在比例、旋转、平移、错切以及平行和透视变换下是不变的。（7）NURBS是B样条及有理Bezier曲线的合适推广。不过，同时，NURBS存在以下缺点：（1）比传统的曲线曲面定义方法需要更多的存储空间，如传统方法定义空间圆需7个参数（圆心、半径、法向量等），而NURBS定义空间圆需38个参数。（2）权因子选择不当会引起畸变（3）某些技术用传统形式比用NURBS工作的更好，如曲面求交等。（4）反求曲线曲面上点的参数值的算法，存在数值不稳定问题。陆枫.何云峰.计算机图形学基础(第2版).电子工业出版社[M].20081963年，美国波音（Boeing）飞机公司的弗格森（Ferguson）首先提出了将曲线/曲面表示为参数的矢函数方法。他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双三次曲面片。在这以前，曲线的描述一直是采用显示的标量函数y=f(x)或隐方程F(x,y)=0的形式，曲面相应采用z=z(x,y)或F（x,y,z）=0的形式。弗格森所采用的曲线/曲面的参数形式从此成为自由曲线/曲面数学描述的标准形式。1964年，麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）发表了一个具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的4条边界就可以定义一块曲面片。目前在CAGD中得到广泛应用的是它的特殊形式——孔斯双三次曲面片。它与弗格森三次曲面片一样，都存在形状控制与连接的问题。由舍恩伯格（Schoenberg）1964年提出的样条函数提供了解决连接问题的一种技术。用于自由曲线/曲面描述的样条方法是它的参数形式，即参数样条曲线/曲面。样条方法用于解决插值问题，在构造整体达到某种参数连续阶（指可微性）的插值曲线/曲面时是很方便的，但不存在局部形状调整的自由度，样条曲线和曲面的形状难以预测。法国雷诺（Renault）汽车公司的贝齐尔（Bezier）以逼近为基础研究了曲线/曲面的构造，于1971年提出了一种由控制多边形定义曲线的方法，设计者只要移动控制顶点就可以方便地修改曲线的形状，而且形状的变化完全在预料之中。Bezier方法简单易用，又漂亮地解决了整体形状控制问题，至今一些著名软件，如UGII，UNISURF，DUCT等仍保留着Bezier曲线/曲面，但它也还存在连接问题和局部修改问题。德布尔（deBoor）1972年给出了关于B样条的一套标准算法。美国通用汽车公司的Gordon和Riesenfeld于1974年将B样条理论应用于自由曲线/曲面描述，提出了B样条曲线/曲面。B样条克服了Bezier方法的不足之处，比较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续基础上解决了连接问题。具有局部修改方便、形态控制灵活、直观等特点，成为构造曲线/曲面的主要工具。另外，尽管上述各种方法尤其是B样条方法较成功地解决了自由型曲线/曲面的数学描述问题，但将它应用于圆锥截线及初等解析曲面却不成功，都只能给出近似表示（通常，这类初等解析曲面主要由代数几何的隐方程形式来表达）。在参数表示范围里，Forrest于1968年首先给出了表达为有理Bezier形式的圆锥截线。Ball在他的CONSURF系统中提出的有理方法在英国飞机公司得到普遍的使用。然而，要在几何设计系统中引入这些与前述自由型曲线/曲面描述不相容的方法，将会使系统变得十分庞杂。我国的唐荣锡教授在1990年提到，工业界感到最不满意的是系统中需要并存两种模型，这违背了产品几何定义唯一性原则，容易造成生产管理混乱。正因为如此，直到20世纪80年代中期，有理曲线/曲面仍没有像非有理形式那样得到广泛应用。人们希望找到一种统一的数学方法。1975年，美国Syracuse大学的Versprille在他的博士论文中首先提出了有理B样条方法。以后，主要由于Piegl和Tiller等人的贡献，至20世纪80年代后期，非均匀有理B样条（NURBS）方法成为用于曲线/曲面描述的流行最广的技术。1991年颁布的关于工业产品数据交换的STEP国际标准中，把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。目前，国外几乎所有商品化CAD软件都号称使用了NURBS，而且数据交换标准IGES，PDDI等也都已经收入了NURBS曲线/曲面，目前NURBS技术仍在发展中。曲线/曲面的表示要求：要在计算机内表示曲线和曲面，其形状的数学描述应保留产品形状的尽可能多的性质，通常满足下列要求：1，唯一性。它对所采用的数学方法的要求是，由已给定的有限信息决定的形状应是唯一的。而传统上采用的描述自由曲线/曲面的模线样板法是按模拟量传递的，不能保证形状定义的唯一性。2，几何不变性。当用有限的信息决定一个曲线或曲面，例如用三点决定一条抛物线，4点决定一条三次曲线时，如果这些点的相对位置确定，我们要求所决定的形状也就固定下来，它不应随所取的坐标系而改变。如果采用的数学方法不具有几何不变性，那么用同样的数学方法去拟合在不同测量坐标系下测量得到的同一组数据点（不考虑测量误差）就会得到不同形状的拟合曲线，通常，标量函数不具有几何不变性，而参数曲线/曲面表示在某些情况下具有几何不变性。3，易于定界。工程上，曲线/曲面的形状总是有界的，形状的数学描述应易于定界。参数方程表示易于定界。4，统一性。能统一表示各种形状并处理各种情况，包括各种特殊情况。例如，曲线描述要求用一种统一的形式既能表示平面曲线，也能表示空间曲线。统一性的高要求是希望能找到统一的数学形式既能表示自由型曲线/曲面，也能表示初等解析曲线/曲面，从而能建立统一的数据库，以便于进行形状信息传递及产品数据交换。5，易于实现光滑连接。通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段相继连接在一起成为组合曲线，或将一些曲面片相继拼接起来成为组合曲面，才能描述复杂的形状。当表示或设计一条光滑曲线或一张光滑曲面时，必须确定曲线段间、曲面片间的连接是光滑的。6,几何直观。几何直观即几何意义明显。从几何直观上处理问题往往比变成代数问题更易为工程应用人员所接受，从而更具生命力，这是解决几何问题本身发展的要求。曲线/曲面方程表示为参数形式的优点：1，点动成线。如果把参数t视为时间，P(t)可看做是一质点随时间变化的运动轨迹，其关于参数t的一阶导数和二阶导数就分别是质点的速度矢量与加速度矢量。这可看做矢量形式的参数曲线方程的物理解释。2，通常总是能够选取那些具有几何不变性的参数曲线/曲面表示形式，且能通过某种变换使某些不具有几何不变性的表示形式具有几何不变性，从而满足几何不变性的要求。3，任何曲线在坐标系中都会在某一位置上出现垂直的切线，因而导致无穷大斜率。而在参数方程中，可以用对参数求导来代替，从而解决了这一问题。这一关系式还说明，斜率与切线矢量的长度无关。4，规格化的参数变量，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。5，对非参数方程表示的曲线/曲面进行仿射和投影变换，必须对曲线/曲面上的每个型值点进行变换；而对参数表示的曲线/曲面可直接对其参数方程进行仿射和投影变换，从而节省计算工作量。6，参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。B样条曲线/曲面以Bernstein基函数构造的Bezier曲线虽然有很多优点，但是也有不足：一是控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的阶数，即n+1个顶点的控制多边形必然会产生n次Bezier曲线，而且当n较大时，控制多边形对曲线的控制将会减弱。通常，这一缺点可以通过多段低阶Bezier曲线逼近的方法解决。二是Bezier曲线不能进行局部修改，任何一个控制点位置的变化对整条曲线都有影响。B样条方法保留了Bezier方法的优点，克服了其由于整体表示带来的不具备局部性质的缺点，具有表示与设计自由型曲线/曲面的强大功能，被广泛应用于CAD系统和许多图形软件包中。B样条的理论早在1946年由Schoenberg提出，但论文直到1967年才发表。1972年，deBoor与Cox分别独立地给出了关于样条计算的标准算法。但作为一个在CAGD中实现形状数学描述的基本方法，它是由Gordon和Riesenfeld于1974年在研究Bezier方法的基础上引入的，他们拓广了Bezier曲线，用B样条基代替Bernstein基，克服了Bezier曲线的弱点。有理样条曲线/曲面B样条方法在表示和设计自由型曲线/曲面时显示了强大的威力，然而在表示和设计由二次曲面或平面构成的初等曲面时却遇到了麻烦。这是因为B样条曲线（面），包括其特例的Bezier曲线（面），不能精确表示除抛物线（面）以外的二次曲线（面），而只能给出其近似表示。近似表示将带来处理上的麻烦，使本来简单的问题复杂化，还带来原本不存在的设计误差问题。例如，若要用Bezier曲线较精确地表示一个半圆，则需用到五次Bezier曲线，还必须专门计算其控制顶点。这样，为了精确表示二次曲线与曲面，就不得不采取另外一套数学描述方法，譬如用隐式方程表示。这样不仅又重新带来隐式方程表示所存在的问题，而且将导致一个几何系统采用两种不同的数学方法，这是计算机处理系统最忌讳的。解决这个问题的途径就是改造现有的B样条方法，在保留它描述自由型曲线/曲面强大能力的同时，扩充其统一表示二次曲线与曲面的能力。这个方法就是有理B样条方法。由于在形状描述实践中，它经常以非均匀类型出现，而均匀、准均匀、分段Bezier三种类型又可看成是非均匀类型的特例，所以人们习惯地称之为非均匀有理B样条（NonuniformRationalB-Spline，NURBS）方法。有理函数是两个多项式之比，因此有理样条（RotionalSpline）是两个样条参数多项式之比。综上所述，NURBS方法是既能描述自由型曲线/曲面又能精确表示二次曲线与曲面的有理参数多项式方法。有理参数多项式有两个重要的优点：一是有理参数多项式具有几何和透视投影变换不变性。例如要产生一条经过透视投影变换的空间曲线，对于用无理多项式表示的曲线，第一步需生成曲线的离散点，第二步对这些离散点作透视投影变换，得到要求的曲线。对于用有理多项式表示的曲线，第一步对定义曲线的控制点作透视投影变换，第二步是用变换后的控制点生成要求的曲线。显然后者比前者的工作量小许多。二是用有理参数多项式可精确地表示圆锥曲线、二次曲面，进而可统一几何造型算法。NURBS的优缺点：NURBS曲线/曲面具有以下优点：（1）既为自由型曲线/曲面也为初等曲线/曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式，一个统一的数据库就能够存储这两类形状信息。（2）为了修改曲线/曲面的形状，既可以借助调整控制顶点，又可以利用权因子，因而具有较大的灵活性。（3）计算稳定且速度快（4）NURBS有明显的几何解释，使它对有良好的几何知识