正态总体的置信区间

第四节正态总体的置信区间与其他总体相比，正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t分布、X2分布、F分布以及标准正态分布N（0,1）扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间，讨论下列情形：单正态总体均值（方差已知）的置信区间；单正态总体均值（方差未知）的置信区间；单正态总体方差的置信区间；双正态总体均值差（方差已知）的置信区间；双正态总体均值差（方差未知但相等）的置信区间；双正态总体方差比的置信区间.注：由于正态分布具有对称性，利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为1-a的置信区间，其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★引言★单正态总体均值（方差已知）的置信区间TOC\o"1-5"\h\z★例1★例2★单正态总体均值（方差未知）的置信区间★例3★例4★单正态总体方差的置信区间★例5★双正态总体均值差（方差已知）的置信区间★例6★双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★例7★例8★双正态总体方差比的置信区间★例9★内容小结★课堂练习★习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间（1）设总体X〜N（^,b2）,其中Q2已知，而目为未知参数，X,X，…,X是取自总体X的一个样本.对给定的置信水平1-a,由上节例1已经得到|1的置信区间"—b—b）X一u,X+uI,"a/2十〃a/2J〃J二、单正态总体均值的置信区间（2）设总体X〜N（^,b2）,其中目,b2未知，X1，X2，...,X是取自总体X的一个样本.此时可用b2的无偏估计S2代替b2，构造统计量"丁X一HT=,Sl、n从第五章第三节的定理知T=一兰〜t（n-1）.S/5对给定的置信水平1-a,由rx-口”〕P\—t/2（n-D<s/厂<t/2（n-D>=1-a,

TOC\o"1-5"\h\zI-S-Pjx-12(n-1)•了<日<X+12(n-1)-因此，均值目的1-a置信区间为(-S-X-1(n-1),X+1(n-1)•、a/2<n口/2=1—a,三、单正态总体方差的置信区间=1—a,上面给出了总体均值|1的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差a2进行区间估计.设总体X〜NMb2),其中^,a2未知,X1,X2,,Xn是取自总体X的一个样本.求方差a2的置信度为1-a的置信区间.a2的无偏估计为S2,”从第五章第三节的定理知，土1S2〜x2(n-1),a2对给定的置信水平1-a,由pJx2(n-1)<^^1S2<x2(n-1)]=1-a,p1-a/2'a2a/2'pP^1^<a2<(n-1)S21=1-a,[x：/2(n-1)X"(n-1)J于是方差a2的1-a置信区间为[(n-1)S2(n-1)S2]I/2(n-1)'x2(n-1)a/21-a/2而方差a的1-a置信区间'I’(n-1)S2j(n-1)S2'^/注〃-1),]X[a/2(n-1J四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。设X是总体N0,a2)的容量为n的样本均值，y是总体N0,a2)的容量为n的样本111222均值，且两总体相互独立，其中a12,a2已知.因X与y分别是R1与R2的无偏估计，从第五章第三节的定理知(X-y)-(捋-%)〜N(0,1),Ai''a2/n+a2/n对给定的置信水平1-a,由1122<ua/2>=1-a,(X二y)―(四，一四2)"a：/n+a2/n2可导出耳-四2的置信度为1-a的置信区间为TOC\o<ua/2>=1-a,X-y-U.」写+寒,X-y+u.阵+寒a/2、1%七a/2°%七五、_双正态总体均值差的置信区间(2)_设X是总体N(v,a2)的容量为n的样本均值，y是总体N(日,a2)的容量为n的样本1122均值，且两总体相互独立，其中H1,R2及a未知.从第五章第三节的定理知rr(X-Y)一(出一匕)T=]1~t(n1+n2一2).SWV1/ni+1/“2其中S2=ni-1S2+n2-1S2.wn+n-21n+n-22对给定的置信水平1-a，根据t分布的对称性，由尸{ITkt(n+n一2)}=1-a,可导出耳-%的1-a置信区间为(X-Y)-1(n+n-2))-S!—+1a/2、12w}|n,(X-Y)+1(n+n-2))-S!—+—.a/212w七nn六、双正态总体方差比的置信区间设S2是总体N0,a2)的容量为n1的样本方差，其中四］,a：,四2,a2未知.S;与S2分别是111方差，且两总体相互独立,从第五章第三节的定理知S2是总体N(R2,a2)的容量为n2的样本a2与a2的无偏估计,对给定的置信水平1-a,由2a2

ka17S2嘉〜F(匕-1,n2-1),2(n一1,n一1)<F<F(n一1,n一1)}=1-a,1S2P<-1<IF(n-1,n-1)S2

ka/2122可导出方差比a2/a2的1-a置信区间为P{F1-a/2a/2121<F(n-1,n-1)1-a/212S21S22>=1-a,——-老"乌/2(-老"乌/2(n1-1，〃2-1)S；F1-a/2(〃1-1，〃2-1)S27例题选讲单正态总体均值(方差已知)的置信区间例1(E01)某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额，随机访问了100名旅游者，得知平均消费额兄=80元.根据经验，已知旅游者消费服从正态分布，且标准差a=12元，求该地旅游者平均消费额目的置信度为95%的置信区间.解对于给定的置信度1-a=0.95,a=0.05,a/2=0.025,查标准正态分布表〃0025=1.96,将数据n=100,x=80,a=12,〃0025=1.96,代入X±•当计算得R的置信度为95%的置信区间为(77.6,82.4),即在已知a=12情形a/2板n下，可以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在77.6元至82.4元之间.例2设总体X〜N(^,a2),其中R未知，a2=4.X1，,X为其样本.⑴当n=16时，试求置信度分别为0.9及0.95的目的置信危间的长度.n多大方能使目的90%置信区间的长度不超过1?n多大方能使目的95%置信区间的长度不超过1?解(1)记R的置信区间长度为A,则A=(X+u侦/2・b/Jn)-(X-u侦/2・b/\n)=2%/2・oVn,于是当1-a=90%时，A=2x1.65x2/<16=1.65,当1-a=95%时，A=2x1.96x2/.16=1.96.欲使A<1,即2ua/29/如<1,必须n>(2。说叫定,于是，当1-a=90%时,n>(2x2x1.65)2,即n>44,即n至少为44时，R的90%置信区间的长度不超过1.当1-a=95%时，类似可得n>62.注：①由(1)知，当样本容量一定时，置信度越高，则置信区间长度越长，对未知参数的估计精度越低.②在置信区间的长度及估计精度不变的条件下，要提高置信度，就须加大样本的容量n,以获得总体更多的信息.单正态总体均值(方差未知)的置信区间例3(E02)某旅行社随机访问了25名旅游者，得知平均消费额x=80元子样标准差s=12元，已知旅游者消费额服从正态分布，求旅游者平均消费额目的95%置信区间.解对于给定的置信度95%(a=0.05),ta/2(n-1)=10025(24)=2.0639,将X=80,s=12,n=25,t0025(24)=2.0639,代入计算得目的置信度为95%的置信区间为(75.05,84.95),即在。2未知情况下，估计每个旅游者的平均消费额在75.05元至84.95元之间，这个估计的可靠度是95%.注：与例1相比，在标准差。未知时，用样本的标准差S给出的置信区间偏差不太大.例4(E03)有一大批袋装糖果.现从中随机地取16袋，称得重量(以克计)如下：506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，试求总体均值R的置信水平为0.95的置信区间.解1-a=0.95,a/2=0.025,n-1=15,10025(15)=2.1315,由给出的数据算得X=5.03.75,s=6.2022.可得到均值R的一个置信水平为0.95的置信区间为(503.75土2.1315x6.2022/成),即(500.4,507.1).这就是说，估计袋装糖果重量和均值在500.4克与507.1克之间，这个估计的右信程度为95%.若以此区间内任一值作为R的近似值，其误差不大于2x2.1315x6.2022^16=6.61(克)这个误差估计的可信程度为95%.单正态总体方差的置信区间例5(E04)为考察某大学成年男性的胆固醇水平，现抽取了样本容量为25的一样本，并测得样本均值X=186,样本标准差s=12.假定所论胆固醇水平X〜N(R,Q2),r与。2均未知.试分别求出R以及b的90%置信区间.解目的置信度为1-a的置信区间为(X土t(n-1)-sI、n.a/2按题设数据a=0.1,X=186,s=12,n=25,查表得101/2(25-1)=1.7109,于是妇/2(〃-1)-s/编=1.7109x12/J赤=4.106,即(181.89,190.11).TOC\o"1-5"\h\z(r―)b的置信度为1-a置信区间为J(n-1)^I(n-1)5."/2(〃-1)1咆/2(n-1)J查表得%2(25-1)=36.42,%2(25-1)=13.85,于是，置信下限和置信上限分别为0.1/21-0.1/2'(24x122/36.42=9.74,侦24x122/13.85=15.80,所求b的90%置信区间为(9.74,15.80).双正态总体均值差(方差已知)的置信区间例6(E05)2003年在某地区分行业调查职工平均工资情况：已知体育、卫生、社会福利事业职工工资X(单位：元)〜N(r1,2182)；文教、艺术、广播事业职工工资Y(单位:元)〜N(R2,2272),从总体X中调查30人平均工资1272元求这两大类行业职工平均工资之差的99%的置信区间.解由于1-a=0.99,故a=0.01,查表得u0005=2.576,又气=25,n2=30,b2=2182,b2=2272,x=1286,y=1272,于是R1-R2的置信度为99%的置信区间为[-140.96,168.96],即两大类行业职工平均工资相差在-140.96~168.96之间，这个估计的置信度为99%.双正态总体均值差(方差未知)的置信区间例7(E06)A,B两个地区种植同一型号的小麦.现抽取了19块面积相同的麦田，其中9块属于地区A,另外10块属于地区B,测得它们的小麦产量(以kg计)分别如下：地区A:100,105,110,125,110,98,105,116,112;地区B:101,100,105,115,111,107,106,121,102,92.设地区A的小麦产量X〜N(R1,b2),地区B的小麦产量Y〜N(R2,b2),r1,r2,b2均未知.试求这两个地区小麦的平均产量之差R]-%的90%置信区间.21211解由题意知所求置信区间的两个喘点分别为(X-Y)土ta/2(n1+n2-2)-S^|—+—.'"1%由a=0.1,n1=9,n2=10,查表得t01/2(17)=1.7396,按已给数据计算得X=109,y=106,s2=550/8,s2=606/9,

(n—1)s2+(n—1)s2s2=一M一J一J=68,s=8.246,■11,,'-+=-3.59,\910ni*“2于是置信下限为(109-106)-1.7396x8.246x11置信上限为(109-106)+1.7396x8.246x〔，-+—=9.59,910故均值差四］■11,,'-+=-3.59,\910例8为比较I,II两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取I型子弹10发，得到枪口速度的平均值为可=500(m/s),标准差s1=1.10(m/s),随机地取II型子弹20发，得到枪口速度的平均值为i2=496(m/s).标准差s211.20(m/s).假设两总体都可认为近似地服从正态分布.且由生产过程可认为方差相等.求两总体均值差氏-七的一个置信水平为0.95的置信区间.12解按实际情况，可认为分别来自两个总体的样本是相互独立的，且两总体的方差相等,但数值未知，由于1-a=0.95,a/2=0.025,n-10,n=20,n+n-2=28,t(28)=2.0484,12120.025s2=(9x1.102+19x1.202)/28,s^=农=1.1688,故所求的两总体均值差四］-七的一个置信水平为0.95的置信区间是X—X土sxt(28J—+—]=(4土0.93),即(3.07,4.93).12w0.025、\1020注：本题中得到的置信区间的下限大于零，在实际中我们就认为％比％大，即I型子弹的枪口速度大于II型子弹的枪口速度.双正态总体方差比的置信区间例9(E07)某钢铁公司的管理人员为比较新旧两个电炉的温度状况他们抽取了新电炉的31个温度数据及旧电炉的25个温度数