量子力学12课件

11.2薛定谔方程1.2.1

Schrödinger方程的引进

本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程——Schrödinger方程

微观粒子运动方程应满足态叠加原理11.2薛定谔方程1.2.1Schrödinger方程的12开1闭2，衍射花样（兰曲线）开2闭1，衍射花样（紫红曲线）同时开1，2，衍射花样（黑曲线）实验事实显然电子双缝衍射实验12

表明几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅）遵守迭加原则：2开1闭2，衍射花样（兰曲线）开2闭1，衍射花样（紫红曲线）23物理意义

当两个缝都开着时，电子既可能处在态，也可能处在态，也可处在和的线性迭加态。可见，

若和是电子的可能状态，则也是电子的可能状态。

反言之，电子经双缝衍射后处于态，则电子部分地既可处于态，也可部分地处在态。迭加态的概率:

干涉项电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度3物理意义当两个缝都开着时，电子既可能处在34

态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。

1.若是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态态迭加原理

当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态,其概率为干涉项

2.当体系处于态时，发现体系处于态的几率是，并且4态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依45又（2）

（3）（1）

自由粒子波函数将（1）和（2）式代入（3）式，得（4）

5又（2）（3）（1）自由粒子波函数将（1）和（2）式代56能量算符自由粒子满足薛定谔方程6能量算符自由粒子满足薛定谔方程67

1.2.2Schrödinger方程的讨论1．几率守恒定律由Schrödinger方程

（1）

则设是粒子状态的归一化波函数取复共轭代入（1）式后，有

7

1.2.2Schrödinger方程的讨论1．几率守恒78（2）令称为几率流密度几率连续性方程（3）（2）

几率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方程具有相同的形式。（3）式对空间V作体积分8（2）令称为几率流密度几率连续性方程（3）（2）几89当时(4)式表明:粒子单位时间在内出现的几率的增量等于单位时间内流入内的几率(负号表示流入)。(3)式是几率守恒守律的积分形式。(4)式即表明粒子的总几率不变,即几率守恒。表明波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。9当时(4)式表明:粒子单位时间在内出现910——量子力学的电荷密度——量子力学的质量流密度——量子力学的电流密度——量子力学的质量密度电荷守恒定律，粒子数守恒设粒子的电荷为，质量为——量子力学的电荷守恒律——量子力学的物质守恒律10——量子力学的电荷密度——量子力学的质量流密度——量子10111.2.3能量本征方程（1）

（2）

若与无关，则可以分离变量，令(2)代入(1)式，两边同除，得到（3）

等式两边是相互无关的物理量，故应等于与无关的常数（4）111.2.3能量本征方程（1）（2）若与1112（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可见分离变量中引入的常数为粒子的能量，当粒子处在由波函数（6）所描述的状态时，粒子的能量有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的波函数（6）称为定态波函数。定态波函数定态Schrödinger方程

当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间波函数由方程（3），即由 12（5）（6）(5)代入(2)式，得到令deB1213在给定的定解条件下求出，方程（7）称为定态Schrödinger方程。

（7）能量本征值方程13在给定的定解条件下求出，方程（7）称为定态Schrödi1314

当体系处在能量本征波函数所描写的状态(又称本征态)中时，粒子的能量有确定的值。

讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及这些态中的能量

；解能量算符本征方程（12）求定态波函数的问题又归结为解定态Schrödinger方程+定解条件构成的本征值问题:

定解条件本征能量值谱：本征函数系：本征波函数任意状态

14当体系处在能量本征波函数所描写的状态(又称本征态)1415求解定态问题的步骤（1）列出定态Schrodinger方程（2）根据波函数三个标准条件求解能量的本征值问题，得：本征函数本征能量（4）通过归一化确定归一化系数（3）写出定态波函数即得到对应第个本征值

的定态波函数15求解定态问题的步骤（1）列出定态Schrodinger方15简并态与非简并态16简并态与非简并态1616例子：17设粒子处于势场中运动时，粒子的允许能级为对应的唯一本征波函数为。若粒子处于势场中运动，试讨论粒子的最低的三个允许能级与对应的本征波函数的简并情况。例子：17设粒子处于势场中运动时，粒子的允许能级为对应的唯一17

方程

成立二维薛定谔方程为方程成立二维薛定谔方程为1819设代入上式，整理为

所以得

19设代入上式，整理为所以得1920（2）式与（1）式对比可知：

同理（3）式与（1）式对比可知：20（2）式与（1）式对比可知：同理（3）式与（1）式对比2021于是：21于是：21能量最低的能级对应唯一波函数

非简并能量次低的能级对应二个波函数

，

2度简并能量次低的能级

对应唯一波函数

非简并能量最低的能级对应唯一波函数非简并能量次低的能级对应二个2223与无关定态的性质（1）粒子在空间几率密度、几率流密度与时间无关与无关（2）任何力学量的期望值与时间无关（3）任何力学量测值的几率分布与时间无关1.2.4定态与非定态23与无关定态的性质（1）粒子在空间几率密度、几率流密度2324也是方程的解非定态能量期望值特别，对于一维自由粒子即24也是方程的解非定态能量期望值特别，对于一维自由粒子即2425

（1）Schrödinger作为一个基本假设提出来，它的正确性已为非相对论量子力学在各方面的应用而得到证实。注意

（2）Schrödinger方程在非相对论量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相仿,只要给出粒子在初始时刻的波函数，由方程即可求得粒子在以后任一时刻的波函数。1.2.5多粒子体系的Schrödinger方程Schrödinger方程（9）

哈密顿算符

（8）25（1）Schrödinger作为一个基本假设提出来，它25261.3量子态叠加原理1.3.1量子态及其表象1.3.2量子态叠加原理，测量与波函数塌缩量子通信261.3量子态叠加原理1.3.1量子态及其表象26271.2薛定谔方程1.2.1

Schrödinger方程的引进

本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程——Schrödinger方程

微观粒子运动方程应满足态叠加原理11.2薛定谔方程1.2.1Schrödinger方程的2728开1闭2，衍射花样（兰曲线）开2闭1，衍射花样（紫红曲线）同时开1，2，衍射花样（黑曲线）实验事实显然电子双缝衍射实验12

表明几率不遵守迭加原则，而波函数（几率幅）遵守迭加原则：2开1闭2，衍射花样（兰曲线）开2闭1，衍射花样（紫红曲线）2829物理意义

当两个缝都开着时，电子既可能处在态，也可能处在态，也可处在和的线性迭加态。可见，

若和是电子的可能状态，则也是电子的可能状态。

反言之，电子经双缝衍射后处于态，则电子部分地既可处于态，也可部分地处在态。迭加态的概率:

干涉项电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度3物理意义当两个缝都开着时，电子既可能处在2930

态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。

1.若是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态态迭加原理

当两个缝的几何参数或电子束相对位置不完全对称时，迭加态,其概率为干涉项

2.当体系处于态时，发现体系处于态的几率是，并且4态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依3031又（2）

（3）（1）

自由粒子波函数将（1）和（2）式代入（3）式，得（4）

5又（2）（3）（1）自由粒子波函数将（1）和（2）式代3132能量算符自由粒子满足薛定谔方程6能量算符自由粒子满足薛定谔方程3233

1.2.2Schrödinger方程的讨论1．几率守恒定律由Schrödinger方程

（1）

则设是粒子状态的归一化波函数取复共轭代入（1）式后，有

7

1.2.2Schrödinger方程的讨论1．几率守恒3334（2）令称为几率流密度几率连续性方程（3）（2）

几率连续性方程与经典电动力学中的电荷守恒方程具有相同的形式。（3）式对空间V作体积分8（2）令称为几率流密度几率连续性方程（3）（2）几3435当时(4)式表明:粒子单位时间在内出现的几率的增量等于单位时间内流入内的几率(负号表示流入)。(3)式是几率守恒守律的积分形式。(4)式即表明粒子的总几率不变,即几率守恒。表明波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。9当时(4)式表明:粒子单位时间在内出现3536——量子力学的电荷密度——量子力学的质量流密度——量子力学的电流密度——量子力学的质量密度电荷守恒定律，粒子数守恒设粒子的电荷为，质量为——量子力学的电荷守恒律——量子力学的物质守恒律10——量子力学的电荷密度——量子力学的质量流密度——量子36371.2.3能量本征方程（1）

（2）

若与无关，则可以分离变量，令(2)代入(1)式，两边同除，得到（3）

等式两边是相互无关的物理量，故应等于与无关的常数（4）111.2.3能量本征方程（1）（2）若与3738（5）

（6）

(5)代入(2)式，得到令deBroglie能量式

可见分离变量中引入的常数为粒子的能量，当粒子处在由波函数（6）所描述的状态时，粒子的能量有确定的值，这种状态称为定态；描述定态的波函数（6）称为定态波函数。定态波函数定态Schrödinger方程

当粒子处在定态中时，具有确定的能量，其空间波函数由方程（3），即由 12（5）（6）(5)代入(2)式，得到令deB3839在给定的定解条件下求出，方程（7）称为定态Schrödinger方程。

（7）能量本征值方程13在给定的定解条件下求出，方程（7）称为定态Schrödi3940

当体系处在能量本征波函数所描写的状态(又称本征态)中时，粒子的能量有确定的值。

讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数及这些态中的能量

；解能量算符本征方程（12）求定态波函数的问题又归结为解定态Schrödinger方程+定解条件构成的本征值问题:

定解条件本征能量值谱：本征函数系：本征波函数任意状态

14当体系处在能量本征波函数所描写的状态(又称本征态)4041求解定态问题的步骤（1）列出定态Schrodinger方程（2）根据波函数三个标准条件求解能量的本征值问题，得：本征函数本征能量（4）通过归一化确定归一化系数（3）写出定态波函数即得到对应第个本征值

的定态波函数15求解定态问题的步骤（1）列出定态Schrodinger方41简并态与非简并态42简并态与非简并态1642例子：43设粒子处于势场中运动时，粒子的允许能级为对应的唯一本征波函数为。若粒子处于势场中运动，试讨论粒子的最低的三个允许能级与对应的本征波函数的简并情况。例子：17设粒子处于势场中运动时，粒子的允许能级为对应的唯一43

方程

成立二维薛定谔方程为方程成立二维薛定谔方程为4445设代入上式，整理为

所以得

19设代入上式，整理为所以得4546（2）式与（1）式对比可知：

同理（3）式与（1）式对比可知：20（2）式与（1）式对比可知：同理（3）式与（1）式对比4