高等数学教案函数

高等数学精选教学设计函数高等数学精选教学设计函数高等数学精选教学设计函数高等数学授课设计—函数课时授课计划第一课时授课过程及授课内容授课过程函数及其性质一.函数的看法函数的定义定义1设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,若是关于每个数xD,变量y依照必然法规总有独一确定的数值与其对应,则称y是x的函数,记作yf(x).数集D称为该函数的定义域,x称为自变量,y称为因变量.当自变量x取数值x0时，因变量y依照法规f所取定的数值称为函数f(x)在点x0处的函数值，记作f(x0).当自变量x遍取定义域D的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W=yyf(x),xD称为函数的值域..函数的两要素函数yf(x)的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y又是由对应规f来确定的，因此函数实质上是由其定义域D和对应规则f所确定的，因此平时称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示没关，如yx与zv2，就是相同的函数.（1）对应规律例1.f(x）2x23x21就是一个特定的函数，f确定的对应规则为f( )()34()210例2.设f(x)1sin1,求f(2).f(2)xx解sin222例3.设f(x1)x23x,求f(x).解：令x+1=t,则x=t-1,因此f()(t1)23(t1)t254tt因此f(x)x25x4（2）定义域：自变量的取值范围称为函数的定义域例4.求函数yx2x6arcsin2x1的定义域7解：x2x60既（x3)(x2)0,x3或x22x11既72x1773x4则函数的定义域为3,23,4函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的所有函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：在式子中分母不能够为零；在偶次根式内非负；在对数中真数大于零；(IV)反三角函数arcsinx,arccosx，要满足x1；两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分；(VI)分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层渐渐求.例5.以下函数可否相同，为什么（1）ylnx2与y2lnx（2）wu与yx3．函数的记号Y是x的函数，能够记作y=f(x)也能够记作y(x)或F(x)等，但同一函数在谈论中应取定记法，同一问题中涉及多个函数时，则应取不相同的记号分别表示它们个自的对应规律，有时也用记号yy(x),u(x),vv(x)等表示函数.这种函数的记号称为函数的解析表达式.4．函数的三种表示方法,图像法用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观性强并可观察函数的变化趋势,但依照函数图形所求出的函数值正确度不高且不便于作理论研究.表格法将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表示方法,简称表格法.这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.公式法用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法.这种方法的优点是形式简短，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况：①分段函数在自变量的不相同取值范围内，用不相同的公式表示的函数，称为分段函数.如x1,x0,f(x)x2,0x2,lnx,2x5,就是一个定义在区间(,5]上的分段函数.②用参数方程确定的函数用参数方程x(t)（tΙ）y(t)表示的变量x与y之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.比方函数y1x2(x[1,1])能够用参数方程ycost(0t)表示.sint③隐函数若是在方程F(x,y)0中，当x在某区间I内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的独一的y值存在，则称方程F(x,y)0在区间I内确定了一个隐函数.比方方程exxy10就确定了变量y是变量x之间的函数关系.注意能表示成yf(x)(其中f(x)仅为x的解析式)的形式的函数,称为显函数.把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.比方exxy10能够化成显函数y1ex.但有些隐函数确不能能化成显函数,比方exxyey0.x定义2设D与B是两个非空实数集，若是存在一个对应规则f，使得对D中任何一个实数x，在B中都有独一确定的实数y与x对应，则对应规则f称为在D上的函数，记为f:xy或f:DB,y称为x对应的函数值，记为yf(x),xD,其中，x称为自变量，y称为因变量.二．函数的四种特点设函数yf(x)的定义域为区间D，函数的四种特点以下表所示.函数的四种特点表函数的定义图像特点特性设函数yf(x)的定义域关于原点对称，若对任意xD满足f(x)f(x),则称

偶函数的图形关于y轴对称;奇函数的图形关于原点对称奇偶

f(x)是D上的偶函数；若对任性意xD满足f(x)f(x),则称f(x)是D上的奇函数，既不是奇函数也不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数若对任意x1,x2(a,b)，当x1x2时，有f(x1)f(x2),则称函数yf(x)是区间(a,b)上的单调增加函数；当x1x2

单调增加的函数的图像表现为自左至右是单调上升的曲线;单调减少的函数的图像表现为自左至右是单调下降的曲线单调时，有f(x1)f(x2),则称函数性yf(x)是区间(a,b)上的单调减少函数，单调增加函数和单调减少函数统称单调函数，若函数yf(x)是区间(a,b)上的单调函数，则称区间(a,b)为单调区间若是存在M0，使关于任有意xD满足f(x)M则称函界图像在直线yM与yM之间性数yf(x)是有界的若是存在常数T，使关于在每一个周期内的图像是相同的任意xD，xTD，有周f(xT)f(x)则称函数期yf(x)是周期函数，平时所说的周期函数的周期是指它的最小周期三.课堂练习P4~5思虑题思虑题答案1．①对应规则;②定义域．

习作题2．提示：考虑函数的四种特点在函数图像上反响的特点．3．①是;

②在同一坐标系中

y

f(x)与x

(y)的图像相同，与

y

f

1

(x)的图像关于直线

y

x对称．习作题答案1．①是;

②是;

③不是;

④不是

（提示：考虑每个

x值可否有y值与之对应，且y值可否独一）．2．提示：可取横轴为时间，纵轴为行程来描述四.小结1.函数的看法2.函数的性质五.部署作业9习题一1.2.4.5.6.7.8.第二课时授课过程一．基本初等函数六种基本初等函数见下表六种基本初等函数表函数解析表达式常函数yC（C为常数）幂函数yxa（a为常数）指数函数yax（a0且a1,a为常数）x对数函数yloga（a0且a1,a为常数）三角函数ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx反三角函数yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx,yarcsecx,yarccscx这六种函数统称为基本初等函数。二.反函数、复合函数和初等函数反函数、复合函数和初等函数的定义见下表几种函数的定义表函数种类定义设函数yf(x)为定义在数集D上的函数，其值域为W．若是关于数集W中的每个数y，在数集D中都有独一确定的数x使反函数yf(x)建立，则获取一个定义在数集W上的以y为自变量，x为因变量的函数，称其为函数yf(x)的反函数，记为xf1(y)，其定义域为W，值域为D若函数yf(u)的定义域为D1，函数u(x)在D2上有定义，其值域为W2{uu(x),xD2}且W2D1，则关于任一xD2，经过函数u(x)有确定的uW2与之对应，经过函数yf(u)有确定的y值与复合函数之对应．这样关于任一xD2，经过函数u有确定的y值与之对应，从而获取一个以x为自变量，y为因变量的函数，称其为由函数f(u)和u(x)复合而成的复合函数，记为yf[(x)]，其定义域为D2，u称为中间变量

举例函数ysinxππ(x)2的反函数为arcsiny(1y1)由函数yu2和cosx复合而成的复合函数为y(cosx)2．由函数y1u和u2ex不能够复合成复合函数由基本初等函数经过有限次四则运算和f(x)2x215(lnx)4初等函数有限次复合运算而获取的，且用一个式子表示的函数，称为初等函数三.主要解题方法例1.函数y1x2是由yu,u1x2复合成的，其定义域为1,1，它是由u1x2的一部分；yarcsinu,u2x2是不能够复合成一个函数的2.解析以下复合函数的结构：y=cotx；2sinx21.(2)y=e例3.设f(x)x2,g(x)2x求f[g(x)],g[f(x)].将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法例4将以下复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1)ysin21，（2）yln(tanex22sinx).x21解(1)最外层是二次方，即yu2，次外层是正弦，即usinv，从外1向里第三层是幂函数，即vw2，最里层是多项式，即wx21,1因此，分解得yu2，usinv，vw2，wx21.(2)最外层是对数，即ylnu,次外层是正切，即utanv,从外向里第三层是指数函数，即vew，最里层是简单函数，即wx2+2sinx,因此，分解得ylnu，utanv，vew，wx2+2sinx.小结（I）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采用由外到内层层分解的方法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.II）基本初等函数经有限次四则运算所获取的函数称为简单函数.4.建立本责问题的函数模型的方法5.某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超600台时，高出部分只能打8折销售，这样可销售200台，若是再多生产，则今年就销售不出去了，试写出今年的收益函数模型.解设某产品年产量为x台，收益函数为.y(x).因为产量高出600台时，售价要打8折，而高出800台时，节余部分今年销售不出去，从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.依照题意，有300x,0x600,y(x)300600300(x600),600x800,300600300200,x800,即收益函数模型为300x,0x600,y(x)180000240(x600),600x800,228000,x800.4.一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A，A是一常量。这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s，底宽为x，试建立s与x的函数模型.解设矩形高为h，依照等量关系写关系式sx2h1πx①2显见，在关系式①中有两个变量x及h，其他我们应把s表成x的一元函数.为此，需把变量h也表示成与x有关的量.依照题中所给限制条件——截面积为A,h建立x与h的关系.

x2Axh1π(x)2xA1π22即h2②8将②代入①得π2As(1)x(x0)x此式即为我们所要找的周长与底宽x的函数模型.小结运用数学工具解决本责问题时，平时要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，尔后再进行解析和计算.建立函数模型的详尽步骤可为：解析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.依照所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.详尽写出解析式yf(x)，并指明其定义域.四、学法建议1．本章的重点是函数、复合函数、初等函数等看法以及定义域的求法.2．本章所介绍的内容诚然绝大部分属于基本看法，并且在中学已经学过，但它们是微积分学自己