信号与系统-线性系统的稳定性

--------线性系统的稳定性一、系统的因果性因果系统（连续的或离散的）指的是，系统的零状态响应y

不zsf之前的系统。也就是说，对于t0（或k0）接入的任意激励f，即对于任意的（8.7-1）

f0

， t （ 或 k ） 0如果系统的零状态响应都有（8.7-2）

y 0zs

， t （ 或 k ） 0就称该系统为因果系统，否则称为非因果系统。连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应ht0,t0（8.7-3a）或者，系统函数Hs的收敛域为s(8.7-3b)s

Re

0即其收敛域为收敛坐标

以右的半平面，换言之，Hs的极点都在收0s敛轴Res

0

的左边。离散因果系统的充分必要条件是：单位序列响应为hk0,k0（8.7-4a）或者，系统函数Hz的收敛域为（8.7-4b）

z0即其收敛域为半径等于 的圆外区域换言之的极点都在收敛0z内部。0现在证明连续因果系统的充要条件。ft0f0为0,t0（8.7-3a）是必要的。但式（8.7-3a）的条件能否保证对所有满足式（8.4-1）的激励ft，都能满足式，即其充分性还有待证明。对任意激励ft系统的零状态响应yzs虑到t0f0，有

等于f的卷积，考y t fzs 如果ht满足式,h0t0，上式为0，当t0时，上式为y tfzs 0即t0时，yzs

0。因而式（8.4-3a）的条件也是充分的。根据拉普拉斯变换的定义，如果ht满足式（8.4-3a）,则H

即式。

L ht s0离散因果系统的充要条件的证明也上类似，这里从略。二、系统的稳定性在研究和设计各类系统中，系统的稳定性十分重要。譬如，某连续时间系统的系统函数为Hs

1 0.001s1 s2当输入为单位阶跃函数t时，系统零状态响应的象函数为Y s Hzs

s110.0005 1 0.0005s s s1 s2考虑到0.00051，取上式的拉普拉斯变换，得 y t 1et0.0005e2ttzst上式的前两项是t和衰减函数ett较小时，这个正指数项可以忽略不计，可是，当t很大时，这个正指数项超过其他项并随着t的增长而不断增大。实际的系统不会是完全线t确定系统一个系统（连续的或离散的）如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出（BIBO）统。也就是说，设M

、M 为正实常数，如果系统对于所有的激励f yfMf（8.7-5）其零状态响应为y Mzs y（8.7-6）则称该系统是稳定的。连续系统是稳定系统的充分必要条件是（8.7-7）

htdtM-式中M定的。离散系统是稳定系统的充分必要条件是（8.7-8）

k

M式中M的是稳定的。tff现在证明稳定连续系统的充要条件。tff对于任意的有界输入

Mtft

系统的零状态响应的绝对值为y zs

hft

hftdMf

h如果ht是绝对可积的，即式（8.7-7）成立，则y M Mzs f即对任意有界输入ft，系统的零状态响应均有界。因此，条件式（8.7-7）是充分的。但必要性尚待证明。现在证明，如果htdt无界，则至少有某个有界输入ft将产生-无界输出y 。选择如下的输入函数zs

当0ft 当0当0于是有ft。由于令t0，有

yzs

hftdy0zs

hfd

hd上式表明，如果

0无界。因此式（8.7-7）zs也是必要的。稳定离散系统的充要条件的证明与上式类似，从略。连续因果系统（8.7-9）离散因果系统

htdtM0（8.7-10）

k

M对于既是稳定的又是因果的连续系统，其系统函数H的极点都在s平面的左半开平面。其逆也成立，即若H面，则该系统必是稳定的因果系统。对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数Hz极点都在z平面的单位圆内。其逆也成立，即若Hz的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。顺便指出，按以上结论，在s平面jw轴上的一阶极点也将使系统不稳定。但在研究电网络时发现，无源的LC网络，其网络函数（系统函数）在jw 轴上有一阶极点，而把无源网络看作是稳定系统较为方便。因此，有时也把在jw轴上有一阶极点的网络归入稳定网络类这类系统可称为边界稳定系统。顺便特别指出,用系统函数H或H得零、极点判断系统的稳定进一步讨论。图8.7-1所示符合系统由两个子系统Ha系统的系统函数为

s、Hb

s级联组成，复合Hs Ha

sH s b

1 s2 1s2 s s如果08.7-1统接入有界的输入ft，则子系统Ha

s的输出ya

t将含有e2t的项，因y将随t的增长而无限增长，这将使该系统不能正常工作。这里a的问题是仅从复合系统的输出yzs

e2t。这样的系统成为不可观测的。就是说，一个系统，如果在其输出端能观成为不可观测的。可观测性也称可观性。图8.7-2的复合系统中，子系统Ha

s是不可观测的，Hb

和Hc

s

s是不受输入ft控制的，因而不能用输入cfyc常工作，甚至产生损坏、烧毁等恶果。一个系统，如果能通过输入的控制作用从初始状态转移到所要求的状态，就称该系统是可控（制）的或能控制的。第八章中将通过系统变量分析讨论这类问题。例8.7-1 如图8.7-3所示反馈因果系统，子系统的系统函数为Gs

12当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？解 如图8.7-3所示，加法器输出端的信号为XsKYF输出信号为

YsGsXsKGsYsGsFs可解得反馈系统的系统函数为 YGs 1Hs的极点为

Hs F1KGs s23s2KP1,2

233222K为使极点均在左半开平面，必须满足322

2K

322 可解得K2，即当K2时系统是稳定的。例8.7-2 如图8.7-4所示的离散系统当K满足什么条件时统是稳定的？X解 设图8.7-4系统左端加法器的输出为Xz，可列出方程为XX

z1Kz

F

由上式可解得系统函数为

Y

X12z13zX

z Y 12z13z2 z22z3其极点

HzF

1zKz2

z2zK11 14K1,2 2当14K0，即K时满足不等式

1时为实极点，为使极点在单位圆内，必须同41