课件4第四章-数字信号处理

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状态检测与故障诊断华中科技大学水电与数字化工程学院电力设备

状态检测与故障诊断华中科技大学第四章数字信号处理

随着计算机技术的发展，数字信号处理技术已成为现代科学技术必不可少的工具。例如在发电机组的状态监测与故障诊断中，将机组的振动、噪声、位移、温度等物理量，通过传感器转换为电信号，输入计算机，对采集的数字信号处理后，得到一系列机组的工作状态的特征参数，在此基础上对设备的故障进行诊断。

数字信号处理技术的主要内容包括频谱分析与数字滤波，前者又包含有相关分析与统计分析，其数学运算的核心是离散傅里叶变换；后者又包含了无限冲激响应滤波与有限冲激响应滤波。本章将重点介绍基于傅里叶变换的频谱分析技术。第四章数字信号处理随着计算机技术的发展，数字信号处4.1信号采样及其频谱分析

采样过程是通过采样脉冲序列p(t)与被采集的连续时间信号x(t)相乘来完成的。其采样脉冲（采样周期为）序列为一、时域采样采样信号为连续时间信号采样脉冲序列采样信号4.1信号采样及其频谱分析采样过程是通过采样脉冲序如果，则根据频域卷积定理，有采样信号的频谱

另外，由于采样脉冲序列是一个周期函数，可以证明序列p(t)的傅里叶变换为式中，为p(t)的傅里叶系数，即当p(t)为脉冲序列时，由上式得p(t)的傅里叶系数为由此可得采样信号的频谱为；卷积定理如果，则根据频域卷积定理，有采样信号的频谱另

上式表明，一个连续信号经过理想采样后，它的频谱将沿着频率轴每隔一个采样频率重复一次，即频谱产生了周期延拓，其幅值被所加权，因为，所以频谱形状不变。上式表明，一个连续信号经过理想采样后，它的频谱将沿着二、频域采样

已知连续频谱函数，其对应的时间函数为，若在频域中被间隔为的脉冲序列所采样，其频谱函数为，且所对应的时间函数为，以下分析采样信号与原信号

之间的关系。二、频域采样已知连续频谱函数，其对应的时间

已知，若采样过程满足条件：其中，脉冲序列为频率为的周期函数根据周期函数的傅里叶变换，有则的傅里叶逆变换为

又根据时域卷积定理，有即这样便可以得到被采样以后所对应的时间函数已知，若采样过程满足条件：

上式表明，若的频谱被间隔为的脉冲序列在频域中采样，则在时域中等效于以为周期而重复，即周期信号的频谱是离散的。

由上述分析可知，傅里叶变换的另一个重要性质，即信号的时域与频域呈采样（离散）与重复（周期）关系。上式表明，若的频谱被间隔为的脉冲三、混频现象

混频现象又称为频谱混叠效应，它是由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象，如图所示：

的傅氏变换为，其带宽范围为。当采样周期较小时，周期谱图互相分离。当采样周期较大时，周期谱图相互折叠。采样信号的傅氏变换是一个周期谱图，其采样周期为，故。三、混频现象混频现象又称为频谱混叠效应，它是由于采样四、时域采样定理

上述两种情况表明，如果，则不发生混频现象，因此对采样脉冲序列的间隔须加以限制，即采样频率必须大于或等于信号中的最高频率的两倍或

采样定理可作如下解释：一个频谱受限的信号，如果频谱只占据范围，则信号可以用等间隔采样值来唯一地表示，而采样间隔必须不大于，或者说最低采样频率为。四、时域采样定理上述两种情况表明，如果五、信号复原

为了从采样信号频谱中无失真地选出，还须采用频率矩形窗函数与相乘，即。

为实现这一过程，需将采样信号通过理想低通滤波器，这样在滤波器的输出端就可以得到频谱为的连续信号。五、信号复原为了从采样信号频谱中无失真地选

已知理想滤波器的传输函数根据傅里叶变换的时域、频域对称性，有又根据时域卷积定理，复原信号可表示为所以有其中，为理想滤波器的截止频率；式中，为辛克函数。已知理想滤波器的传输函数根据傅里叶变换的时域、频域对

若取，而且，则

上式表明，连续信号可以展开成正交采样函数（辛克函数）的无穷级数，级数的系数等于采样值。也就是说，若在采样信号的每个采样值上画一个峰值为的波形，则合成的波形就是。而波形就是理想滤波器的脉冲响应。

所以，若通过理想滤波器时，每个采样值产生一个脉冲响应，这些响应进行叠加就得到，即是对原始信号的逼近，由此达到由采样信号恢复原始信号的目的。若取，而且，则上六、频域采样定理

根据时域与频域的对称性，可由时域采样定理推论出频域采样定理。

如果信号是时域有限信号，并集中在的时间范围内，若在频域中以不大于的频率间隔对频谱进行采样，则采样后的频谱可以唯一地表示原信号。类似于时域采样（即根据时域与频域的对称性），有六、频域采样定理根据时域与频域的对称性，可由时域采样

上式表明，在频域中对进行采样，等效于在时域中重复，只要采样间隔不大于，则在时域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号就可以无失真地恢复原信号，即应满足关系式，此称为频域采样定理。

需要指出，频域采样以后，只能获得采样点的频率成分，其余的频率成分一概被舍去，这就如透过栅栏观赏光景，只能看到一部分，就可能使一部分有用的频率成分被漏掉，而丢掉了那部分有用信息，此种现象称为栅栏效应。上式表明，在频域中对进行采样，等效于

数字信号处理的重要数学工具是傅里叶变换。应注意到傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现检测信号处理时，不可能对无限长的信号进行运算，而是取其有限的时间间隔进行分析，这就需要对信号在时间域内进行截断。截断方法就是将无限长的信号乘以窗函数。这里“窗”的含义是指透过窗口能够观测到整个信号外景的一部分，而其余被遮蔽（视为零），如图所示：七、信号的截断与能量泄漏效应数字信号处理的重要数学工具是傅里叶变换。应注意到傅里

余弦信号在时域分布为无限长，当用矩形窗函数与其相乘时，得到截断信号。根据傅里叶变换关系，余弦信号的频谱是位于处的函数，而矩形窗函数的频谱为辛克函数，按照频域卷积定理，则截断信号的频谱应为余弦信号在时域分布为无限长

将截断信号的谱与原始信号的谱相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为泄漏。能量泄漏将截断信号的谱与原始信号的谱相比

信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的：

因为窗函数是一个频带无限的函数，所以即使原信号是限带信号，而截断以后也必然成为无限带宽的函数（时域有限信号为频域无限信号），即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知：

无论采样频率有多高，只要信号一经被截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是在信号分析中不容忽视的问题。信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的：又从

泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果使旁瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。旁瓣主瓣泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果使旁瓣八、常用的窗函数

实际应用的窗函数有以下几种类型：

幂窗：采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间的高次幂；

三角函数窗：应用三角函数，即由正弦或余弦函数等组合成的复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；

指数窗：采用指数时间函数，如形式，例如高斯窗等。八、常用的窗函数实际应用的窗函数有以下几种类型：幂4.2离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）一词并非泛指对任意离散信号取傅里叶积分，而是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词，所以有时称

DFT是适用于数字计算机计算的

FT。这时因为，对信号x(t)进行傅里叶变换运算时，无论在时域或是在频域都需要进行包括区间的积分运算。在计算机上实现这一运算的过程如图所示：离散信号的加窗截取实现傅里叶变换运算连续信号的离散化4.2离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换（Di

如前所述，对连续信号进行采样，采样间隔为，则采样信号根据频域卷积定理，采样信号的傅里叶变换一、信号的时域与频域采样由此可知，采样信号的频谱是一个周期性的连续函数，频谱周期间隔为，谱的幅值是连续信号频谱的倍。

对连续信号进行傅里叶变换，一般可概括为下列步骤：（1）时域采样如前所述，对连续信号进行采样，采样间隔为，

时域采样的过程：时域采样的过程：

用矩形函数截断采样信号，使其仅有有限个样本点（例如N点），则截断后得到的时间函数为（2）时域截断

截断后采样信号的傅里叶变换为

由于矩形截断函数有突变阶跃点，在时域截断后，反映在频域将会产生皱波，即发生能量泄漏效应。减少泄漏现象的途径是加长矩形函数的宽度，以及选取旁瓣较弱的窗函数。式中用矩形函数截断采样信号，使其仅有有限

时域截断的过程：

采样信号经截断处理后，虽然在时域为有限长的离散样本，但频域内仍为连续函数，若实现逆变换，还必须改造频域函数为有限离散值。产生皱波突变阶跃点时域截断的过程：采样信号经截断处理后，虽然在

令频域采样脉冲序列为，根据频域采样定理（），选取采样间隔（时域截断信号分布区间为，它相当于）。又根据傅里叶变换的对称性，则对应的时域为（3）频域采样令频域采样脉冲序列为，根据频域采样定理（

被采样后的频域采样信号其逆傅里叶变换为上式表明，是周期为的离散函数，每个周期内有个离散点。采样信号频谱加窗函数频谱频域采样脉冲离散频谱周期函数被采样后的频域采样信号其逆傅里叶变换为上式

由于是周期函数，所以其傅里叶变换也是等间隔脉冲序列傅里叶系数将代入，有因积分是在一个周期内进行，即，并应用函数的筛选特性，因此由于是周期函数，所以其傅里叶变换也是等间隔脉冲又由于，则由此得到整理得

上式表明，与是一傅里叶变换偶对，是原信号经过有限化、离散化以后而变换成的时域、频域关系，它们都是以为周期的脉冲序列，在时域、频域内分布区间为。又由于，则由此得到整理得上式表明，

进一步考察上式中与的脉冲强度序列之间的关系，即研究其时域、频域采样序列样本之间的关系，如图所示：二、离散傅里叶级数

对于的脉冲强度序列（用表示），就是的傅里叶级数的系数，即脉冲强度序列脉冲强度序列进一步考察上式中与的脉冲强度序列之

对于的脉冲强度序列（用表示），是由每个脉冲强度构成的序列。实际上，它是原信号的个采样值乘以因子延拓而成的序列。

与是的傅里叶级数的系数相对应，是周期脉冲序列的傅里叶级数的系数。由傅里叶级数的系数公式的正、逆对称性，可得对于的脉冲强度序列（用表示），是

于是，得到构成了信号的时域、频域采样样本值序列的变换对

因为上述变换对是互为傅里叶级数关系，通常称为离散傅里叶级数（DFTS）变换对。显然它们也是以N为周期的序列，在时、频域的分布区间为。于是，得到构成了信号的时域、频域采样样本值序

对于离散傅里叶级数（DFTS）变换对，将的取值范围定义为序列的“主值区间”，而将主值区间的N点序列定义为“主值序列”，则有三、离散傅里叶变换频域采样的主值序列时域采样的主值序列对于离散傅里叶级数（DFTS）变换对，将

上式即构成了离散傅里叶变换对，亦可表示为如果令则上式可表示为

以上分析结果表明，通过对连续傅里叶变换的改造，将个时域采样点与个频域采样点联系起来，建立起时、频域关系，提供了利用数字计算机作离散傅里叶变换运算的一种方法。上式即构成了离散傅里叶变换对，亦可表示为如果令则上式4.3快速傅里叶变换（FFT）

快速傅里叶变换（FastFourierTransform，FFT）是一种减少DFT计算时间的算法。在FFT出现之前，虽然DFT为离散信号的分析从理论上提供了变换工具，但是由于DFT的计算很长，使之难以实现。

例如，对采样点N=1000，DFT算法运算量约需200万次，而FFT算法则仅需1.5万次，可见FFT方法大大地提高了运算效率。

因此，FFT方法于1965年由美国库利-图基（J.W.Cooley-J.W.Tukey）首先提出时，曾被认为是信号分析技术的一个划时代进步。4.3快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换（Fa一、FFT的基本原理

为了说明FFT算法的原理，首先研究DFT变换计算所需的工作量。

由离散傅里叶变换分析已知，DFT计算式为

将以上两式写成矩阵形式式中：一、FFT的基本原理为了说明FFT算法的原理，首先

由此可知，上述两个方阵和都是对称矩阵；

将上述两式简写为

由式可以看出，将与两两相乘再取和即可得到。每计算一个值，需要进行次复数相乘和次复数相加。当计算共个值时，则需要次复数相乘，次复数相加。由此可知，上述两个方阵和

随着N值加大，运算工作量将迅速增大。例如，当N=10时，需要100次复数相乘；而当N=1024(210)时，就需要一百多万次(1048576)复数乘法运算。即，DFT方法的计算量与采样点数N2成正比，按照这种规律，如果在N较大时，要求对信号进行实时处理，所需的运算时间就难以实现。

由此可见，在与相乘的过程中存在着不必要的重复运算。避免这些重复则是简化运算的关键，即为FFT算法的基本思想。

为了便于讨论，设N=4，则矩阵表达式为随着N值加大，运算工作量将迅速增大。例如，当N=10

进一步分析矩阵式，可以发现如下特性：（1）；；（2）的周期性，即

把以上特性运用于N=4的矩阵，则可将该矩阵简化为

由此可见，在简化后矩阵中的若干数量的元素相同，这样就使运算过程得到极大的简化。这就是库利-图基FFT算法的基本思想。（原计算式）（周期性简化）（对称性简化）（3）的对称性，即周期性简化：对称性简化：

；

。进一步分析矩阵式，可

FFT算法的类型有多种，但每种算法的建立，多是考虑了被分析数据的特性，或者利用计算机特性、或者利用专用计算机FFT硬件特性等。

FFT算法的典型形式是库利-图基算法，一般是时域抽取基2算法，即对时间序列进行分解，选取采样点数N为2的幂，即N=2M,M是正整数。例如，一般FFT算法的采样点数N为256（28），512（29）和1024（210）等。二、FFT算法FFT算法的类型有多种，但每种算法的建立，多是考虑了

基2算法的出发点即把时间序列按n为偶数和n为奇数分解为两部分，分组算出两个N/2点的DFT（如下图），又组合为N点的DFT。组合相加

右图是

N=8点时的分组运算框图。由图可以看出，首先对时间序列按偶、奇分为4组点的DFT，再组合为两个N/2点的DFT，最后组合为N=8点的DFT。基2算法的出发点即把时间序列按n为偶数和n为

由第三章可知，一个随机信号的功率谱密度正是其自相关函数的傅里叶变换三、功率谱密度计算

而对于一个随机信号x(t)来讲，它本身的傅里叶变换是不存在的，只能用功率谱密度来表征它的统计平均频谱。因此，功率谱密度是随机信号的一种最重要的表征形式，如果要求在统计意义下了解一个随机信号，就要知道它的功率谱密度。由第三章可知，一个随机信号的功率谱密度正是其自其估计值为

可以证明一个随机信号序列的功率谱密度为其中，如果观测到随机信号序列x(t)的N个值，即x(0)，x(1)，…，x(N-1)就可以通过FFT直接求得X(k)，再按上式求得，其计算过程如图。FFT平方平方加法除法其估计值为可以证明一个随机信号序列的功率谱密4.4其它频谱分析技术简介一、倒频谱分析

倒频谱（Cepstrum）分析是近代信号处理科学中的一项新技术，是检测复杂谱图中周期分量的有用工具。在系统识别、语言分析、机械振动中故障监测和诊断等方面均得到广泛的应用。

倒频谱的表达式为（1）倒频谱的定义与物理意义式中:为信号x(t)的自功率谱密度函数；q为倒频率。4.4其它频谱分析技术简介一、倒频谱分析倒频谱（C

由于自功率谱本身是一个偶函数，自功率谱的对数也是一个实偶函数，故其傅里叶正变换和逆变换相等，并且也是一个实偶函数。即

由此可见，倒频谱

是对原信号的功率谱取对数后，再进行一次傅里叶变换，并取其平方而获得（即为“对数功率谱的功率谱”）。而工程上常用的是取上式的开方，即

称为幅值倒频谱，有时简称倒频谱；自变量q称为倒频率，它具有与自相关函数

中的自变量

有相同的时间量纲，一般以毫秒（ms）计。q值大者称为高倒频率,表示谱图上的高频（快速波动）；q值小者称为低倒频率,表示谱图上的低频（缓慢波动）。由于自功率谱本身是一个偶函数，自功率谱的对数也是一个

取对数可提升

的较小值，使的周期性得到更清晰地反映。由于

是偶函数，上式可写成可以扩大频谱分析的动态范围，以提高再变换的精度；因此，倒频谱比自相关函数有更高的识别信号的能力。

可以看出这种表达式与自相关函数更接近。不同的是倒频谱取信号的功率谱的对数加权，其目的是：取对数可提升的较小值，使的周期性得到更

综上所述，频域函数经过傅里叶变换为倒频域的倒频谱,这与时域函数经过傅里叶变换为频域函数的频谱概念一样。如果后者称为时→频域转换的话，那么前者就称为频→时（倒谱）域转换。时→频域转换频→时（倒谱）域转换倒频谱功率谱自相关函数特征信号综上所述，频域函数经过傅里叶变换为倒频域的倒频谱,这与

从以上分析可知，对功率谱作倒频谱变换，其根本原因是在倒频谱上可以较容易地识别信号的组成分量，便于提取其中有用信号成分。（2）倒频谱的应用

例如，工程上实测的振动、噪声信号往往不是振源信号本身，而是振源或音源信号

经过传递系统到测点的输出信号

。

对于线性系统

三者的关系可用卷积公式表示，即传递系统振源信号输出信号从以上分析可知，对功率谱作倒频谱变换，其根本原因是在

在时域上信号经过卷积一般给出的是一个比较复杂的波形，难以区分源信号（振动信号或噪声信号）与系统的响应。为此，需要对上式继续作傅里叶变换，在频域上进行频谱分析，其表达式为

或式中，分别为

的傅里叶变换；为

的傅里叶变换；

分别为

的单边自谱；在时域上信号经过卷积一般给出的是一个比较复杂的波形，难

此式示于下图中，其中是源信号，具有明显的周期特性，经过系统响应的修正（图中的中线），合成为输出信号。

然而，有时即使在频域上得出谱图，但也难区分源信号与系统的响应。故需对上式两边取对数，则有此式示于下图中，其中是源信号，具有明显

上式在倒频域上表示如下图所示。它由两部分组成：一部分是高倒频率

，在倒频谱图上形成波峰；另一部分是低倒频率

，在倒频谱图左侧，靠近零倒频率。前者表示源信号

特征，而后者表示系统传递特征

，各自在倒频谱上占有不同的倒频率范围。倒频谱图提供了清晰的分析结果。

若对上式再进一步作傅里叶变换，可得幅值倒频谱源信号传递特征上式在倒频域上表示如下图所示。它由两部分组成：一部分

在工程信号分析中，常会遇到频率很密集的频谱图，对其频谱图上的频率间隔很细，但频带分布又较宽。用普通的频谱分析方法很难识别其频率成分。二、细化谱分析

例如，在10kHz频率范围内作N=1024点的FFT谱分析，其谱线为500条，频率分辨率只有25Hz，即相邻两条谱线的间距为25Hz。若有相距5Hz的谐波成分就辨别不出来了。

因此，就必须要求信号分析系统既要有高的频率分辨率（即要求时域采样窗口足够宽），又要求有较宽的频率范围（即要求时域采样频率足够高）。但这两者之间是有矛盾的。在工程信号分析中，常会遇到频率很密集的频谱图，对其频有效频率范围

从FFT分析方法中已知，被分析信号的时域、频域关系如图所示。谱线间隔

决定了频率分辨能力，即当f0越小，谱图的分辨率越高；当f0较大时，将由于栅栏效应而丢掉有用信息。

如果要提高M倍分辨率，就要求采样频率增加M倍后的信号来作频谱分析。但这样却使数据处理量增加了M2倍。由于受到信号分析系统处理能力的限制，使其难以实现。所以在某些情况下不能简单地以增加FFT分析的数据点数N来提高频率的分辨率。有效频率范围从FFT分析方法中已知，被分析信号的时域

频率细化（ZOOM）是20世纪70年代发展起来的信号分析技术。其中最常用的是复调制细化法（ZFFT）。其原理框图及各部分的谱图如图所示。相乘（）低通数字滤波重采样FFT抗混频滤波截止频率A/D采样（）欲细化频段的中心频移将细化频段以外的高频滤去采样周期为fsD，D为细化倍数，在频域则按fs/D作周期化频率细化（ZOOM）是20世纪70年代发展起来的信号

在MEM方法中建立了自相关函数的时序模型，并在每一步外推自相关函数中，使估计的相关函数包含过程的信息最多，即要求在过程的熵达到最大的条件下，确定未知的自相关函数值，借以达到谱估计的逼真和稳定程度最好的目的。

最大熵谱分析方法（MaximumEntropyMethod，MEM）把信息熵的概念引入信号处理中。已经证明，最大熵谱与自回归模型（AR）谱是等价的。因此，MEM是一种利用时序模型（AR模型）把自相关函数外推的方法。因此，有时又称MEM为现代时序谱分析方法。三、最大熵谱分析

时序模型的谱是时序模型经过频域变换得到的一种功率谱密度函数。因此，时序模型谱反映了一个时间序列在频域中的组合情况。在MEM方法中建立了自相关函数的时序模型，并在每一步传统的傅里叶谱：传统的傅里叶功率谱自相关函数特征信号加窗截取谱线泄露FFT变换AR模型的功率谱：时序模型的功率谱时序模型AR特征信号FFT变换无加窗

虽然传统的傅里叶谱在工程中得到广泛的应用，但其存在的加窗截取、谱线泄露、弱信号被淹没等缺陷，使谱分析产生误差。

而AR模型是一个动态模型，且能将观测数据外延（适合短数据）。其功率谱不是直接从观测数据计算得到，而是从模型参数计算而来，它无加窗的影响。传统的傅里叶谱：传统的傅里叶功率谱自相关函数特征信号加窗截取

时序谱如果能正确地建模（即AR模型的定阶和参数辨识准确），则比传统的傅里叶谱有明显的优点：

由三个正弦波（三个离散的谱线）和有限噪声（即有限带宽噪声）所组成时间过程的真实功率谱。

由64个采样点经FFT变换求得的功率谱，可以看到三个正弦分量很难辨认。

由64个采样点用最小二乘法建立AR(16)模型得到的自回归谱，可见三个正弦分量清晰可辨，且高频段的谱线接近于真实功率谱。真实功率谱传统功率谱MEM谱时序谱如果能正确地建模（即AR模型的定阶和参数辨识准3、信号是否为周期信号？若是周期信号，求其周期，并用公式求其平均值和均方值。一、思考题第四章作业1、周期信号频谱有那些特征？2、简述周期信号频谱和非周期信号频谱的区别。4、什么是泄漏？为什么会产生泄漏？5、什么是栅栏效应？如何减少栅栏效应的影响？6、傅里叶变换的一个重要性质是信号的时域与频域呈

关系。7、信号的倒频谱是什么？对信号进行倒频谱分析的目的又是什么？8、简述采用计算机技术实现信号

傅里叶变换运算的过程。3、信号是否为周期信号？若是周期信号，若已知设备在正常运行时的传递函数为

，试问可采用什么方法对该设备进行故障诊断？并对诊断方法进行说明。二、已知有限长序列求该序列的

，并绘出频谱图。三、某设备状态监测系统的构成如图所示。在该设备运行时，对其输入

信号与输出信号

进行采样，可得到数据序列

。采样电路状态监测设备输入输出若已知设备在正常运行时的传递函数为

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状态检测与故障诊断华中科技大学第四章数字信号处理

随着计算机技术的发展，数字信号处理技术已成为现代科学技术必不可少的工具。例如在发电机组的状态监测与故障诊断中，将机组的振动、噪声、位移、温度等物理量，通过传感器转换为电信号，输入计算机，对采集的数字信号处理后，得到一系列机组的工作状态的特征参数，在此基础上对设备的故障进行诊断。

数字信号处理技术的主要内容包括频谱分析与数字滤波，前者又包含有相关分析与统计分析，其数学运算的核心是离散傅里叶变换；后者又包含了无限冲激响应滤波与有限冲激响应滤波。本章将重点介绍基于傅里叶变换的频谱分析技术。第四章数字信号处理随着计算机技术的发展，数字信号处4.1信号采样及其频谱分析

采样过程是通过采样脉冲序列p(t)与被采集的连续时间信号x(t)相乘来完成的。其采样脉冲（采样周期为）序列为一、时域采样采样信号为连续时间信号采样脉冲序列采样信号4.1信号采样及其频谱分析采样过程是通过采样脉冲序如果，则根据频域卷积定理，有采样信号的频谱

另外，由于采样脉冲序列是一个周期函数，可以证明序列p(t)的傅里叶变换为式中，为p(t)的傅里叶系数，即当p(t)为脉冲序列时，由上式得p(t)的傅里叶系数为由此可得采样信号的频谱为；卷积定理如果，则根据频域卷积定理，有采样信号的频谱另

上式表明，一个连续信号经过理想采样后，它的频谱将沿着频率轴每隔一个采样频率重复一次，即频谱产生了周期延拓，其幅值被所加权，因为，所以频谱形状不变。上式表明，一个连续信号经过理想采样后，它的频谱将沿着二、频域采样

已知连续频谱函数，其对应的时间函数为，若在频域中被间隔为的脉冲序列所采样，其频谱函数为，且所对应的时间函数为，以下分析采样信号与原信号

之间的关系。二、频域采样已知连续频谱函数，其对应的时间

已知，若采样过程满足条件：其中，脉冲序列为频率为的周期函数根据周期函数的傅里叶变换，有则的傅里叶逆变换为

又根据时域卷积定理，有即这样便可以得到被采样以后所对应的时间函数已知，若采样过程满足条件：

上式表明，若的频谱被间隔为的脉冲序列在频域中采样，则在时域中等效于以为周期而重复，即周期信号的频谱是离散的。

由上述分析可知，傅里叶变换的另一个重要性质，即信号的时域与频域呈采样（离散）与重复（周期）关系。上式表明，若的频谱被间隔为的脉冲三、混频现象

混频现象又称为频谱混叠效应，它是由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象，如图所示：

的傅氏变换为，其带宽范围为。当采样周期较小时，周期谱图互相分离。当采样周期较大时，周期谱图相互折叠。采样信号的傅氏变换是一个周期谱图，其采样周期为，故。三、混频现象混频现象又称为频谱混叠效应，它是由于采样四、时域采样定理

上述两种情况表明，如果，则不发生混频现象，因此对采样脉冲序列的间隔须加以限制，即采样频率必须大于或等于信号中的最高频率的两倍或

采样定理可作如下解释：一个频谱受限的信号，如果频谱只占据范围，则信号可以用等间隔采样值来唯一地表示，而采样间隔必须不大于，或者说最低采样频率为。四、时域采样定理上述两种情况表明，如果五、信号复原

为了从采样信号频谱中无失真地选出，还须采用频率矩形窗函数与相乘，即。

为实现这一过程，需将采样信号通过理想低通滤波器，这样在滤波器的输出端就可以得到频谱为的连续信号。五、信号复原为了从采样信号频谱中无失真地选

已知理想滤波器的传输函数根据傅里叶变换的时域、频域对称性，有又根据时域卷积定理，复原信号可表示为所以有其中，为理想滤波器的截止频率；式中，为辛克函数。已知理想滤波器的传输函数根据傅里叶变换的时域、频域对

若取，而且，则

上式表明，连续信号可以展开成正交采样函数（辛克函数）的无穷级数，级数的系数等于采样值。也就是说，若在采样信号的每个采样值上画一个峰值为的波形，则合成的波形就是。而波形就是理想滤波器的脉冲响应。

所以，若通过理想滤波器时，每个采样值产生一个脉冲响应，这些响应进行叠加就得到，即是对原始信号的逼近，由此达到由采样信号恢复原始信号的目的。若取，而且，则上六、频域采样定理

根据时域与频域的对称性，可由时域采样定理推论出频域采样定理。

如果信号是时域有限信号，并集中在的时间范围内，若在频域中以不大于的频率间隔对频谱进行采样，则采样后的频谱可以唯一地表示原信号。类似于时域采样（即根据时域与频域的对称性），有六、频域采样定理根据时域与频域的对称性，可由时域采样

上式表明，在频域中对进行采样，等效于在时域中重复，只要采样间隔不大于，则在时域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号就可以无失真地恢复原信号，即应满足关系式，此称为频域采样定理。

需要指出，频域采样以后，只能获得采样点的频率成分，其余的频率成分一概被舍去，这就如透过栅栏观赏光景，只能看到一部分，就可能使一部分有用的频率成分被漏掉，而丢掉了那部分有用信息，此种现象称为栅栏效应。上式表明，在频域中对进行采样，等效于

数字信号处理的重要数学工具是傅里叶变换。应注意到傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现检测信号处理时，不可能对无限长的信号进行运算，而是取其有限的时间间隔进行分析，这就需要对信号在时间域内进行截断。截断方法就是将无限长的信号乘以窗函数。这里“窗”的含义是指透过窗口能够观测到整个信号外景的一部分，而其余被遮蔽（视为零），如图所示：七、信号的截断与能量泄漏效应数字信号处理的重要数学工具是傅里叶变换。应注意到傅里

余弦信号在时域分布为无限长，当用矩形窗函数与其相乘时，得到截断信号。根据傅里叶变换关系，余弦信号的频谱是位于处的函数，而矩形窗函数的频谱为辛克函数，按照频域卷积定理，则截断信号的频谱应为余弦信号在时域分布为无限长

将截断信号的谱与原始信号的谱相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为泄漏。能量泄漏将截断信号的谱与原始信号的谱相比

信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的：

因为窗函数是一个频带无限的函数，所以即使原信号是限带信号，而截断以后也必然成为无限带宽的函数（时域有限信号为频域无限信号），即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知：

无论采样频率有多高，只要信号一经被截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是在信号分析中不容忽视的问题。信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的：又从

泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果使旁瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。旁瓣主瓣泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果使旁瓣八、常用的窗函数

实际应用的窗函数有以下几种类型：

幂窗：采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间的高次幂；

三角函数窗：应用三角函数，即由正弦或余弦函数等组合成的复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；

指数窗：采用指数时间函数，如形式，例如高斯窗等。八、常用的窗函数实际应用的窗函数有以下几种类型：幂4.2离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）一词并非泛指对任意离散信号取傅里叶积分，而是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词，所以有时称

DFT是适用于数字计算机计算的

FT。这时因为，对信号x(t)进行傅里叶变换运算时，无论在时域或是在频域都需要进行包括区间的积分运算。在计算机上实现这一运算的过程如图所示：离散信号的加窗截取实现傅里叶变换运算连续信号的离散化4.2离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换（Di

如前所述，对连续信号进行采样，采样间隔为，则采样信号根据频域卷积定理，采样信号的傅里叶变换一、信号的时域与频域采样由此可知，采样信号的频谱是一个周期性的连续函数，频谱周期间隔为，谱的幅值是连续信号频谱的倍。

对连续信号进行傅里叶变换，一般可概括为下列步骤：（1）时域采样如前所述，对连续信号进行采样，采样间隔为，

时域采样的过程：时域采样的过程：

用矩形函数截断采样信号，使其仅有有限个样本点（例如N点），则截断后得到的时间函数为（2）时域截断

截断后采样信号的傅里叶变换为

由于矩形截断函数有突变阶跃点，在时域截断后，反映在频域将会产生皱波，即发生能量泄漏效应。减少泄漏现象的途径是加长矩形函数的宽度，以及选取旁瓣较弱的窗函数。式中用矩形函数截断采样信号，使其仅有有限

时域截断的过程：

采样信号经截断处理后，虽然在时域为有限长的离散样本，但频域内仍为连续函数，若实现逆变换，还必须改造频域函数为有限离散值。产生皱波突变阶跃点时域截断的过程：采样信号经截断处理后，虽然在

令频域采样脉冲序列为，根据频域采样定理（），选取采样间隔（时域截断信号分布区间为，它相当于）。又根据傅里叶变换的对称性，则对应的时域为（3）频域采样令频域采样脉冲序列为，根据频域采样定理（

被采样后的频域采样信号其逆傅里叶变换为上式表明，是周期为的离散函数，每个周期内有个离散点。采样信号频谱加窗函数频谱频域采样脉冲离散频谱周期函数被采样后的频域采样信号其逆傅里叶变换为上式

由于是周期函数，所以其傅里叶变换也是等间隔脉冲序列傅里叶系数将代入，有因积分是在一个周期内进行，即，并应用函数的筛选特性，因此由于是周期函数，所以其傅里叶变换也是等间隔脉冲又由于，则由此得到整理得

上式表明，与是一傅里叶变换偶对，是原信号经过有限化、离散化以后而变换成的时域、频域关系，它们都是以为周期的脉冲序列，在时域、频域内分布区间为。又由于，则由此得到整理得上式表明，

进一步考察上式中与的脉冲强度序列之间的关系，即研究其时域、频域采样序列样本之间的关系，如图所示：二、离散傅里叶级数

对于的脉冲强度序列（用表示），就是的傅里叶级数的系数，即脉冲强度序列脉冲强度序列进一步考察上式中与的脉冲强度序列之

对于的脉冲强度序列（用表示），是由每个脉冲强度构成的序列。实际上，它是原信号的个采样值乘以因子延拓而成的序列。

与是的傅里叶级数的系数相对应，是周期脉冲序列的傅里叶级数的系数。由傅里叶级数的系数公式的正、逆对称性，可得对于的脉冲强度序列（用表示），是

于是，得到构成了信号的时域、频域采样样本值序列的变换对

因为上述变换对是互为傅里叶级数关系，通常称为离散傅里叶级数（DFTS）变换对。显然它们也是以N为周期的序列，在时、频域的分布区间为。于是，得到构成了信号的时域、频域采样样本值序

对于离散傅里叶级数（DFTS）变换对，将的取值范围定义为序列的“主值区间”，而将主值区间的N点序列定义为“主值序列”，则有三、离散傅里叶变换频域采样的主值序列时域采样的主值序列对于离散傅里叶级数（DFTS）变换对，将

上式即构成了离散傅里叶变换对，亦可表示为如果令则上式可表示为

以上分析结果表明，通过对连续傅里叶变换的改造，将个时域采样点与个频域采样点联系起来，建立起时、频域关系，提供了利用数字计算机作离散傅里叶变换运算的一种方法。上式即构成了离散傅里叶变换对，亦可表示为如果令则上式4.3快速傅里叶变换（FFT）

快速傅里叶变换（FastFourierTransform，FFT）是一种减少DFT计算时间的算法。在FFT出现之前，虽然DFT为离散信号的分析从理论上提供了变换工具，但是由于DFT的计算很长，使之难以实现。

例如，对采样点N=1000，DFT算法运算量约需200万次，而FFT算法则仅需1.5万次，可见FFT方法大大地提高了运算效率。

因此，FFT方法于1965年由美国库利-图基（J.W.Cooley-J.W.Tukey）首先提出时，曾被认为是信号分析技术的一个划时代进步。4.3快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换（Fa一、FFT的基本原理

为了说明FFT算法的原理，首先研究DFT变换计算所需的工作量。

由离散傅里叶变换分析已知，DFT计算式为

将以上两式写成矩阵形式式中：一、FFT的基本原理为了说明FFT算法的原理，首先

由此可知，上述两个方阵和都是对称矩阵；

将上述两式简写为

由式可以看出，将与两两相乘再取和即可得到。每计算一个值，需要进行次复数相乘和次复数相加。当计算共个值时，则需要次复数相乘，次复数相加。由此可知，上述两个方阵和

随着N值加大，运算工作量将迅速增大。例如，当N=10时，需要100次复数相乘；而当N=1024(210)时，就需要一百多万次(1048576)复数乘法运算。即，DFT方法的计算量与采样点数N2成正比，按照这种规律，如果在N较大时，要求对信号进行实时处理，所需的运算时间就难以实现。

由此可见，在与相乘的过程中存在着不必要的重复运算。避免这些重复则是简化运算的关键，即为FFT算法的基本思想。

为了便于讨论，设N=4，则矩阵表达式为随着N值加大，运算工作量将迅速增大。例如，当N=10

进一步分析矩阵式，可以发现如下特性：（1）；；（2）的周期性，即

把以上特性运用于N=4的矩阵，则可将该矩阵简化为

由此可见，在简化后矩阵中的若干数量的元素相同，这样就使运算过程得到极大的简化。这就是库利-图基FFT算法的基本思想。（原计算式）（周期性简化）（对称性简化）（3）的对称性，即周期性简化：对称性简化：

；

。进一步分析矩阵式，可

FFT算法的类型有多种，但每种算法的建立，多是考虑了被分析数据的特性，或者利用计算机特性、或者利用专用计算机FFT硬件特性等。

FFT算法的典型形式是库利-图基算法，一般是时域抽取基2算法，即对时间序列进行分解，选取采样点数N为2的幂，即N=2M,M是正整数。例如，一般FFT算法的采样点数N为256（28），512（29）和1024（210）等。二、FFT算法FFT算法的类型有多种，但每种算法的建立，多是考虑了

基2算法的出发点即把时间序列按n为偶数和n为奇数分解为两部分，分组算出两个N/2点的DFT（如下图），又组合为N点的DFT。组合相加

右图是

N=8点时的分组运算框图。由图可以看出，首先对时间序列按偶、奇分为4组点的DFT，再组合为两个N/2点的DFT，最后组合为N=8点的DFT。基2算法的出发点即把时间序列按n为偶数和n为

由第三章可知，一个随机信号的功率谱密度正是其自相关函数的傅里叶变换三、功率谱密度计算

而对于一个随机信号x(t)来讲，它本身的傅里叶变换是不存在的，只能用功率谱密度来表征它的统计平均频谱。因此，功率谱密度是随机信号的一种最重要的表征形式，如果要求在统计意义下了解一个随机信号，就要知道它的功率谱密度。由第三章可知，一个随机信号的功率谱密度正是其自其估计值为

可以证明一个随机信号序列的功率谱密度为其中，如果观测到随机信号序列x(t)的N个值，即x(0)，x(1)，…，x(N-1)就可以通过FFT直接求得X(k)，再按上式求得，其计算过程如图。FFT平方平方加法除法其估计值为可以证明一个随机信号序列的功率谱密4.4其它频谱分析技术简介一、倒频谱分析

倒频谱（Cepstrum）分析是近代信号处理科学中的一项新技术，是检测复杂谱图中周期分量的有用工具。在系统识别、语言分析、机械振动中故障监测和诊断等方面均得到广泛的应用。

倒频谱的表达式为（1）倒频谱的定义与物理意义式中:为信号x(t)的自功率谱密度函数；q为倒频率。4.4其它频谱分析技术简介一、倒频谱分析倒频谱（C

由于自功率谱本身是一个偶函数，自功率谱的对数也是一个实偶函数，故其傅里叶正变换和逆变换相等，并且也是一个实偶函数。即

由此可见，倒频谱

是对原信号的功率谱取对数后，再进行一次傅里叶变换，并取其平方而获得（即为“对数功率谱的功率谱”）。而工程上常用的是取上式的开方，即

称为幅值倒频谱，有时简称倒频谱；自变量q称为倒频率，它具有与自相关函数

中的自变量

有相同的时间量纲，一般以毫秒（ms）计。q值大者称为高倒频率,表示谱图上的高频（快速波动）；q值小者称为低倒频率,表示谱图上的低频（缓慢波动）。由于自功率谱本身是一个偶函数，自功率谱的对数也是一个

取对数可提升

的较小值，使的周期性得到更清晰地反映。由于

是偶函数，上式可写成可以扩大频谱分析的动态范围，以提高再变换的精度；因此，倒频谱比自相关函数有更高的识别信号的能力。

可以看出这种表达式与自相关函数更接近。不同的是倒频谱取信号的功率谱的对数加权，其目的是：取对数可提升的较小值，使的周期性得到更

综上所述，频域函数经过傅里叶变换为倒频域的倒频谱,这与时域函数经过傅里叶变换为频域函数的频谱概念一样。如果后者称为时→频域转换的话，那么前者就称为频→时（倒谱）域转换。时→频域转换频→时（倒谱）域转换倒频谱功率谱自相关函数特征信号综上所述，频域函数经过傅里叶变换为倒频域的倒频谱,这与

从以上分析可知，对功率谱作倒频谱变换，其根本原因是在倒频谱上可以较容易地识别信号的组成分量，便于提取其中有用信号成分。（2）倒频谱的应用

例如，工程上实测的振动、噪声信号往往不是振源信号本身，而是振源或音源信号

经过传递系统到测点的输出信号

。

对于线性系统

三者的关系可用卷积公式表示，即传递系统振源信号输出信号从以上分析可知，对功率谱作倒频谱变换，其根本原因是在

在时域上信号经过卷积一般给出的是一个比较复杂的波形，难以区分源信号（振动信号或噪声信号）与系统的响应。为此，需要对上式继续作傅里叶变换，在频域上进行频谱分析，其表达式为

或式中，分别为

的傅里叶变换；为

的傅里叶变换；

分别为

的单边自谱；在时域上信号经过卷积一般给出的是一个比较复杂的波形，难

此式示于下图中，其中是源信号，具有明显的周期特性，经过系统响应的修正（图中的中线），合成为输出信号。

然而，有时即使在频域上得出谱图，但也难区分源信号与系统的响应。故需对上式两边取对数，则有此式示于下图中，其中