2020高中数学 第2章 数列 2.1 数列讲义 5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精2.1数列学习目标核心素养1。了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式)．（难点）2．理解数列的通项公式及简单应用．（重点)3．数列与集合、函数等概念的区别与联系．(易混点)1。通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养．2．借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an,…，简记为｛an｝，其中a1称为数列｛an}的第1项(或称为首项）,a2称为第2项，…，an称为第n项．思考1：数列1，2，3与数列3,2,1是同一个数列吗？[提示]不是，顺序不一样．思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？[提示］数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．3．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N＊(或它的有限子集{1,2，…,k})为定义域的函数an＝f(n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．4．数列的通项公式如果数列｛an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．思考3：数列的通项公式an＝f（n）与函数解析式y＝f(x）有什么异同？［提示]如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集｛1，2，…,n}）为定义域的函数an＝f(n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数,函数的定义域可以是任意非空数集．1．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为()A．an＝n B．an＝n＋1C．an＝n＋2 D．an＝2nC［经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2。］2．600是数列1×2，2×3,3×4，4×5，…的第________项．24［an＝n（n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24。]3．数列｛an}满足an＝log2（n2＋3）－2,则log23是这个数列的第________项．3［令an＝log2（n2＋3)－2＝log23,解得n＝3。]4．数列1，2,eq\r（7），eq\r（10），eq\r(13),…中的第26项为________．2eq\r(19)［因为a1＝1＝eq\r（1）,a2＝2＝eq\r（4)，a3＝eq\r（7)，a4＝eq\r（10），a5＝eq\r（13)，所以an＝eq\r(3n－2）,所以a26＝eq\r(3×26－2)＝eq\r(76）＝2eq\r（19）.］根据数列的前n项写出通项公式【例1】写出下列数列的一个通项公式．(1）eq\f（1,2)，2,eq\f（9，2)，8，eq\f(25，2），…；(2)9，99,999，9999，…；(3）eq\f（22－1,1)，eq\f（32－2,3)，eq\f(42－3,5），eq\f（52－4,7），…；（4）－eq\f(1,1×2），eq\f（1,2×3)，－eq\f(1，3×4)，eq\f（1,4×5），…。思路探究：eq\x（观察）→eq\x（归纳an与n的关系)→eq\x(验证结论）→eq\x(得出答案）[解](1）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察:eq\f(1，2)，eq\f(4,2)，eq\f(9，2)，eq\f(16，2)，eq\f(25,2)，…，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2)（n∈N＊）．(2）各项加1后，变为10，100,1000,10000,…。此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an＝10n－1（n∈N*)．(3）数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用（n＋1）2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为an＝eq\f（n＋12－n,2n－1）(n∈N＊)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an＝（－1）neq\f(1，nn＋1）(n∈N＊)．用观察法求数列的通项公式的一般规律(1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值,再用(－1)k处理符号问题．（3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数,如三角函数等．1．写出下列数列的一个通项公式．（1)3,5，9，17,33,…；(2）eq\f（1，2），eq\f（3,4），eq\f（7,8)，eq\f（15，16)，eq\f（31,32),…；（3)eq\f(2，3),－1,eq\f(10，7)，－eq\f（17,9）,eq\f（26,11）,－eq\f（37,13),….［解]（1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1，17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以an＝2n＋1。（2）每一项的分子比分母少1,而分母组成数列为21，22,23，24，…，所以an＝eq\f（2n－1，2n）.(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9，11，13组成,而分子则是32＋1，42＋1，52＋1，62＋1，按照这样的规律第1，2两项可分别改写为eq\f(12＋1,2＋1），－eq\f（22＋1,2×2＋1）,所以an＝(－1)n＋1eq\f（n2＋1，2n＋1).通项公式的简单应用【例2】已知数列｛an}的通项公式是an＝2n2－n。（1)写出数列的前3项;(2)判断45是否为｛an｝中的项？3是否为｛an｝中的项？思路探究:(1)令n＝1,2,3求解即可；(2)令an＝45或an＝3解n便可．[解］（1）在通项公式中依次取n＝1,2，3，可得{an}的前3项分别为：1,6,15.（2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－eq\f（9,2）(舍去)，故45是数列｛an}中的第5项．令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝eq\f（3,2)，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下：（1)将所给的数代入通项公式中;(2）解关于n的方程;（3）若n为正整数,说明所给的数是该数列的项；若n不是正整数,则不是该数列的项．提醒:数列项的取值为正的自然数，是离散的，解题时要关注n的取值特点．2．已知数列{an｝的通项公式为an＝eq\f（n2－21n,2）（n∈N*)．（1)0和1是不是数列{an｝中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{an｝中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？[解］（1）令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an｝中的第21项．令an＝1，得eq\f（n2－21n，2）＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{an｝中的项．（2)假设存在连续且相等的两项为an，an＋1，则有an＝an＋1,即eq\f（n2－21n，2)＝eq\f（n＋12－21n＋1，2），解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．数列的性质[探究问题］1．数列是特殊的函数,能否利用函数求最值的方法求数列的最大（小)项？[提示］可以借助函数的性质求数列的最大（小)项,但要注意函数与数列的差异,数列｛an}中，n∈N＊.2．如何定义数列｛an｝的单调性？［提示］对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an,则数列为递增数列,若an＋1<an，则数列为递减数列．【例3】设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn（n∈N＊)．数列｛an｝是单调递增的，求实数k的取值范围．思路探究：利用二次函数的单调性，求得k的取值范围．[解］∵an＝n2＋kn，其图象的对称轴为n＝－eq\f(k,2），∴当－eq\f(k，2）≤1，即k≥－2时,{an}是单调递增数列．另外，当1<－eq\f（k,2)〈2且eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(k,2))）－1〈2－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(k，2)）)，即－3<k<－2时,{an}也是单调递增数列(如图所示）．∴k的取值范围是（－3，＋∞)．1．(变结论)求本例中k＝－13时数列｛an｝的最小项．[解］由题意知n2－13n＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(13,2）））2－eq\f（169,4），由于函数f（x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x－\f(13，2）))eq\s\up20（2）－eq\f（169，4）在eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(0,\f（13,2)）)上是减函数,在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(13，2)，＋∞））上是增函数，故当n＝6或7时，f(n)＝n2－13n取得最小值－42.所以数列｛an｝的最小项为a6＝a7＝－42.2．（变条件）本例中“单调递增”改为“单调递减"，那么这样的实数k是否存在?如果存在,求实数k的范围，若不存在说明理由．［解]要使｛an｝是单调递减数列,必须an>an＋1恒成立，即n2＋kn〉（n＋1）2＋k(n＋1）对任意n∈N*恒成立．整理得k<－2n－1对任意n∈N＊恒成立，因为f(n)＝－2n－1（n∈N*）没有最小值,故不存在实数k使an＝n2＋kn单调递减．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大（小）项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，，an＋1≤an，))则an为最大项;若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an＋1≥an，）)则an为最小项．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质（1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2）可重复性:数列中的数可以重复．（3）有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3。1,3。14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征;③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．1．判断正误(1)数列1，1，1，…是无穷数列．(）（2)数列1，2，3,4和数列1,2，4，3是同一个数列．()(3)有些数列没有通项公式．（）[答案]（1)√（2）×（3）√[提示]（1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．（2）错误．虽然都是由1,2,3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3）正确．某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则,不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．2．在数列1，1,2，3,5,8，x,21，34，55中，x等于(）A．11 B．12C．13 D．14C［观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x＝5＋8＝13.]3．已知数列2，eq\r(10）,4，…，eq\r（23n－1），…,则8是该数列的第________项．11［令eq\r(23n－1)＝8,得n＝11。］4．已知数列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f（9n2－9n＋2,9n2－1))）.(1）求这个数列的第10项；（2）eq\f（98，101）是不是该数列中的项，为什么?（3)求证：数列中的各项都在区间（0,1)内．［解］设f（n）＝eq\f(9n2－9n＋