【创新设计】2011届高三数学 一轮复习 第8知识块第4讲 直线、圆的位置关系随堂训练 文 新人教A版

第4讲直线、圆的位置关系一、选择题1．(2009·皖南八校第二次联考)圆x2＋y2＝1与直线ax＋by＋c＝0(a，b，c∈R，c≠0)相切的充要条件是()A．a2＋b2＝c2 B．a2＝b2＋c2C．a－c＝0或b－c＝0D．a＋c＝0或b＋c＝0解析：直线与圆相切，d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1⇔a2＋b2＝c2.答案:A2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是()A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0解析：由题意知kOM＝eq\f(2－0,1－0)＝2，∴kPQ＝－eq\f(1,2)，∴直线PQ的方程为：y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即：x＋2y－5＝0.答案:B3．(2010·山东烟台调研)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2＋2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0解析：由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)，所以过点C(－2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋8＝0.答案：C4．若直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则 ()A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1C.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≤1 D.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1解析：直线eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，因此圆心(0,0)到直线bx＋ay－ab＝0的距离应小于等于1.∴eq\f(|－ab|,\r(a2＋b2))≤1，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1.答案：D二、填空题5．(2009·全国Ⅱ卷)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，eq\f(5,2)，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为eq\f(25,4).答案：eq\f(25,4)6．(2009·四川)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：依题意得∴△OO1A是直角三角形，|OO1|＝eq\r(5＋20)＝5，S△OO1A＝eq\f(1,2)·eq\f(|AB|,2)·|OO1|＝eq\f(1,2)·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝eq\f(2·|OA|·|AO1|,|OO1|)＝eq\f(2×\r(5)×2\r(5),5)＝4.答案：47．(2010·辽宁阜新调研)过点(1，eq\r(2))的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.解析：∵(1－2)2＋(eq\r(2))2＝3＜4，∴点(1，eq\r(2))在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2,0)与点(1，eq\r(2))的连线垂直于直线l.∵eq\f(\r(2)－0,1－2)＝－eq\r(2)，∴所求直线l的斜率为eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)三、解答题8．求过点P(4，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0切于点M(1,2)的圆的方程．解：解法一：设所求圆的圆心为A(m，n)，半径为r，则A，M，C三点共线，且有|MA|＝|AP|＝r，因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0的圆心为C(－1,3)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m－1)＝\f(2－3,1＋1),\r((m－1)2＋(n－2)2)＝\r((m－4)2＋(n＋1)2)＝r))，解得m＝3，n＝1，r＝eq\r(5)，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝5.解法二：因为圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0过点M(1,2)的切线方程为2x－y＝0，所以设所求圆A的方程为x2＋y2＋2x－6y＋5＋λ(2x－y)＝0，因为点P(4，－1)在圆上，所以代入圆A的方程，解得λ＝－4，所以所求圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋5＝0.9．已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为eq\f(1,2)的两段圆弧？为什么？解：(1)直线l的方程可化为y＝eq\f(m,m2＋1)x－eq\f(4m,m2＋1)，直线l的斜率k＝eq\f(m,m2＋1)，因为|m|≤eq\f(1,2)(m2＋1)，所以|k|＝eq\f(|m|,m2＋1)≤eq\f(1,2)，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以，斜率k的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤eq\f(1,2).圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆点C到直线l的距离d＝eq\f(2,\r(1＋k2)).由|k|≤eq\f(1,2)，得d≥eq\f(4,\r(5))>1，即d>eq\f(r,2).从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于eq\f(2π,3).所以l不能将圆C分割成弧长的比值为eq\f(1,2)的两段圆弧．10．(2009·苏、锡、常、镇四市调研)已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m.(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；(2)若直线l是圆心C下方的切线，当a在(0,4]上变化时，求m的取值范围．解：(1)∵x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0，∴(x＋a)2＋(y－a)2＝4a，∴圆心为C(－a，a)，半径为r＝2eq\r(a)，设直线l被圆C所截得的弦长为2t，圆心C到直线l的距离为d，m＝4时，直线l：x－y＋4＝0，圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|－a－a＋4|,\r(2))＝eq\r(2)|a－2|，t2＝(2eq\r(a))2－2(a－2)2＝－2a2＋12a－8＝－2(a－3)2＋10，又0<a≤4，∴当a＝3时，直线l被圆C所截得弦长的值最大，其最大值为2eq\r(10).(2)圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|－a－a＋m|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)|2a－m|，∵直线l是圆C的切线，∴d＝r，即eq\f(|m－2a|,\r(2))＝2eq\r(a)，∴m＝2a±2eq\r(2)a，∵直线l在圆心C的下方，∴m＝2a－2eq\r(2)a＝(eq\r(2a)－1)2－1，∵a∈(0,4]，∴m∈[－1,8－4eq\r(2)]．1．(★★★★)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：因为圆心到直线的距离为eq\f(|9＋12－11|,5)＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．答案：C2．(2010·创新题)在圆x2＋y2＝5x内，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(3,2)))有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,3)))，那么n的取值集合为________．解析：由题意得a1＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(5,2)))2＋\b\lc