初三奥数知识点小结

初三奥数总结第一章一元二次方程概述——形如ax2+bx+c二0（a丰0）的方程称为一元二次方程，使等式成立的实数称为此方程的实数根。1、含字母系数的一元二次方程：解决含字母系数的一元二次方程的问题，经常需要对该方程的根进行分析、处理。常用方法有：（1）利用解的定义，整体代入法，从而达到将高次方程降次的目的或其他；（2）从两个方程的公共实根出发，先确定该公共实根的值，再求各系数；（3）解决整数根常用方法有：①利用韦达定理，再拆分，然后验根；②含字母系数的一元二次方程，常可利用因式分解法求根，再双重检验（验△，验整数根条件）③利用△缩小字母系数的范围，再验根进行取舍。（4）利用不等式的性质（如x+y>2历）；（5）求出方程解，再消去未知系数，求不定方程的解，再带回求参数的方法；（6）利用韦达定理，再消参数法；（7）参数交换法（即把字母系数与未知数的地位互换时，所得方程与原方程完全一样，从而将一个较弱的条件得以加强，从而使问题的本质浮出水面）等。2、根的判别式与韦达定理：概述——一元二次方程ax2+bx+c二0（a丰0）有实数解的条件是A=b2-4ac>0，设x,x为此方程的两个根，则根与系数之间存在如下关系：12bx+x=——12acxx=12a3、可化为一元二次方程的方程（组）概述——我们总是将方程的求解问题利用代数式变形转化为一次方程或一元二次方程来处理，这是化规思想在方程理论中的基本运用。实现这一转化的方法是多种多样的，换元法是其中最常用的方法。具体到各个问题时，应根据方程的特点灵活处理。常见题型的常用处理办法：（1）一般代数三次方程尽管有求根公式，但中学阶段不会出现需用到求根公式才能处理的三次方程，给出的三次方程，往往容易看出其中的一个根，再由因式定理转化为求解一个一元二次方程。（2）利用换元法达到降次的目的；（3）拆、添项因式分解求解；（4）处理系数对称的高次方程，常用下题的解法（如解方程2x4+3x3-16x2+3x+2=0。变形得到：2（x2+丄）+3（x+-）-16=0,进而得到：x2x"1]12（x+—）2-2+3（x+—）-16=0，然后再换元求解即可）（5）参数交换法；（6）利用一_x」x元二次方程根的判别式，构造一元二次方程解题（如：已知x、y为有理数，且X5+y5二2x2y2。证明1—xy时一个有理数的平方。证明：若x、y中有一个为0则1—xy=l时一个有理数的平方。若xyMO,两边除以x2y2，得：x(-)2+y(—)2=2。令t=(-)2,yxy由x、y为有理数，可知关于t的一元二次方程：xt2-2t+y二0有有理根。而上述方程的系数均为有理数，故△=4—4xy=4(1—xy)是一个有理数的平方。所以，1一xy是一个有理数的平方。)4、整系数一元二次方程：一般地，若整系数一元二次方程有整数根，则该方程的根的判别式是一个完全平方数。这一性质在处理一元二次方程的整数根问题时经常被用到。常用方法有：(1)利用韦达定理拆分，再利用数论方法与技巧；(2)利用整数理论来处理整系数一元二次方程的整数根(如a，b模m同余等)问题是不易考虑到的想法，解题中往往能出奇制胜；(3)利用判别式处理(即如利用△=(2k+1)2-40二m2【为完全平方数】，再利用平方差展开和整系数进而求解。)(4)利用函数图像方法。5、勾股数与完全平方数：称满足不定方程x2+y2二z2的正整数数组(x,y,z)为勾股数组(国际上，一般称为毕达哥拉斯数组)。勾股数组有许多有趣的性质，例如，若(x，y，z)为勾股数组，则x、y、z中有一个数为3的倍数；有一个数为4的倍数；也有一个数为5的倍数。完全平方数是一类重要的自然数，竞赛中许多问题要用到完全平方数的性质。说明：(1)如果两个互质的自然数之积是一个完全平方数，则这两个自然数都是完全平方数。如果正整数x可表示为两个正整数的平方和，则2x也可表示为两个正整数的平方和。(如x=u2+v2，2x二2u2+2v2二(u+v)2+(u一v)2。于是2x可表示为两个整数u+v和u—v的平方和。相邻两个完全平方数之间的自然数都不是完全平方数。在勾股三角形中，周长为面积的整数倍的三角形，可以用勾股数组来试探，这一过程是发现勾股数性质的一般尝试方法。第二章函数1、函数及其图像：某个变化过程中有两个变量，如果对于x在某个范围D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么y就叫做x的函数，记作y=f(x),xeD(为方便，这里沿用集合的记号，xeD,读作x属于D,表示x在范围D内变换，或x是集合D的元素)。X的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相应的y值叫做函数值，函数值的全体构成的集合叫做函数的值域。

要求会用函数解方程组问题，判断图像题，求方程的解的题。2、一元二次不等式的解与一元二次方程实数根的分布：我们把形如ax2+bx+c〉0,ax2+bx+c〈0(aMO)的不等式叫做一元二次不等式。要会二次函数的图像来解一元二次不等式。对于ax2+bx+c=0(a>0)的两根为x、x(x<x，记f(x)=ax2+bx+c，则1212不等式ax2+bx+c〉0(或ax2+bx+c〈0)的解就是y=f(x)的图像在x轴上方(或x轴下方)所对应的x的全体；若a>0,^>0,则ax2+bx+c〉0的解集为x〈x或x〉x12ax2+bx+c〈0的解集为x〈x〈x。12b若a>0,^=0,则ax2+bx+c〉0的解集为x丰一的全体实数；2aax2+bx+c〈0的解集为空集；若a>0,^<0,则ax2+bx+c〉0的解集为全体实数；ax2+bx+c〈0的解集为空集；此类题要求会用二次函数图像的方法解题。3、函数的最大值与最小值：设函数y=f(x)在x处的函数值是f(x)，如果不等式f(x)<f(x)对于定义域内任意000x都成立，那么f(x°)叫做函数y=f(x)的最大值。类似地，如果不等式f(x)>f(x°)对于定义域内任意x都成立，那么f(x)叫做函数的最小值。0如果f(x)=c是一个常数函数，那么c既是f(x)的最大值，又是f(x)的最小值。如果自变量x的取值范围为p<x<q，那么一次函数f(x)=kx+m既有最大值又有最小值。当k>0时，f(x)随着x的增大而增加，故f(q)是它的最大值，f(p)是它的最小值；当k<0时，f(x)随着x的增大而减小，故f(p)是它的最大值，f(q)是它的最小值；对于二次函数f(x)=ax2+bx+c而言，经过配方，得：f(f(x)=a(x+4ac-b24ab4ac-b2当a>0时，当x=-时，f(x)取最小值，而f(x)无最大值;2a4ab4ac一b2当aVO时，当x=-时，f(x)取最大值，而f(x)无最小值；TOC\o"1-5"\h\z2a4a对于二次函数f(x)=ax2+bx+c,如果自变量得取值范围限制在p<x<q,那么函数f(x)=ax2+bx+c(aMO)既有最大值，又有最小值。b当a>0时，在满足p<x<q的x中,设使x+亍最小的x为x，则f(x)即为最小2aoo值；b设使x+丁最大的x为x,则f(x)为最大值。2a11从图像上看，f(x)=ax2+bx+c(p<x<q)的图像是一段抛物线弧，f(x)的最大值bb或最小值只能在抛物线弧的顶点(若抛物线弧顶点横坐标-亍满足P<-<q)或两端2a2a点取到。初中数学中的函数最大值与最小值问题，基本上都能转化为求前面叙述的这些函数的最大值与最小值。对于绝对值函数可以把函数转化成分段函数。推广到一般情况，即对n个实数a<a<L<a，求f(x)=|x—a|+|x—a|+L|x—a|的最小值。12n12n由于a,a,L,a中有些允许相等，因此，我们应该会求函数12nf(x)=kf(x)=kx—a+kx—a+Lkx—aii22nn的最小值，这里ki,k2，L，kn都是自然数。第三章解三角形1、三角函数：三角函数是建立在相似三角形的基础上的。如图，在AABC中，ZC=90°，则abab正弦函数sinA=一；余弦函数cosA=一；正切函数tanA；余切函数cotA=-ccba利用锐角三角函数定义以及比例的性质、勾股定理、不等关系可以得到以下结论：rSinar同角三角函数的三个关系式：tana-cota=1；tana=；sin2a+cos2a=1；coSal〈sina+cosa<€2(在斜边给定的直角三角形中，等腰直角三角形的面积最大)互余角三角函数的关系式：sin(90°—A)=cosA；cos(90°—A)=sinA；tan(90°—A)=cotA；cot(90°—A)=tanA。若0°〈a〈B〈90°，则0〈sina〈sinB〈1，1〉cosa〉cos卩〉0,0(tana〈tanP。对于钝角A,通过进一步学习可以得到：sinA=sin(180°—A)；cosA=—cos(180°—A)；tanA=—tan(180°—A)；cotA=—cot(180°—A)。还可以证明同角三角函数的三个关系式对于钝角依然成立。特别地，当A=0。时，sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0，cot0°不存在。当A=90。时，sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在，cot90°=0。当A=180°时，sin180°=0，cos180°=—1，tan180°=0，cot180°不存在。要求会求15°角的倍角的三角函数值和18°角的三角函数值(构造黄金三角形)。角度15°30°45°60°75°sinaV6-忑12迈羽76+近4224cosa>/6+忑近1276-近4224tana2-7312+羽cota2+羽132-亦当遇到三角函数与一元二次方程的综合时，基本解法是用韦达定理和sin2a+cos2a=1列方程求解。要注意最后检验方程有无实数根。2、三角形中的边角关系：对于直角三角形(如图，AABC中，ZC=90°)边角关系主要有:角角关系：两锐角互余(A+B=90°);边边关系：勾股定理(a2+b2=c2)o边角关系：a=c-sinA=c-cosB=b-tanA=b-cotB；b=c-sinB=c-cosA=a-tanB=a-cotA.

射影定理：ZC=90°,ZA=ZBCD,ZB=ZACD,BC2二BD-AB,AC2二AD•AB,CD2二AD-BD.对于斜三角形，通过转化成直角三角形可以得到一般三角形边角关系的几个重要公式。如图，AABC中，CD是AB边的高。A为锐角，则CD=b-sinA；A为直角，则CD=b=b-sin90°=b-sinA；A为钝角，则CD=b-sin(180°—A)=b-sinA；所以高CD=b-sinA，S=—CD-AB=1bcsinAaabc22同理可得：S=—casinB=—absinCaABC22这是一般三角形用两边及夹角求面积的公式。1111从这二个公式可得===，同时乘abc,得:2SbcsinAcasinBabsinCaabcaaabcaabsinAsinB猛=2R（R为山眈外接圆的半径）。此等式称为正弦定理。同样，在上述厶ABC中，a2=CD2+BD2.

⑴A为锐角，BD=|AB-AD\=|c-bcosA|。A为直角，BD=c=(c-bcos90°)=|c-bcosA|；A为钝角，BD=AB+AD=c+bcos(180°—A)=c-bcosA=|c-bcosA|o所以BD=|c-bcosA|.a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。这三个等式称为余弦定理。3、面积问题：三角形面积关系有S=1ahAABC23、面积问题：三角形面积关系有S=1ahAABC2a=1absinC2由正弦定理abcAsinAbsinBcsinC=2R知b=asinB

sinAasinBa2sinBsinC所以SAABC=一asin所以SAABCsinB2sinAS=Jp（p—a）（p—b）（p—c）（其中p="*f*c）此公式称为海伦公式。AABC"2在选面积公式时，要适当。如在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,D、E是厶ABC边上的点，且直线DE平分厶ABC的面积，求线段DE的最短长度。（DE=2,AD=AE=辺0）等周三角形中，以正三角形的面积最大，此为三角形的“等周定理”。4、与三角形有关的整数问题：定理：满足方程x2+y2=z2的一切基本勾股数组x,y，z（y为偶数），都可表示成:x=p2—q2,y=2pq,z=p2+q2,其中p,q是满足pq〉0,p,q一奇一偶且（p,q）=1的任意整数。整数x,y,z是某个斜三角形的三边长，且这个三角形的面积也是整数，那么数组x,y,z称为三斜数组，也称为海伦数组。如（边长13,14,15的三角形的面积为84）。第四章圆1、圆的有关性质：利用相似三角形，四点共圆等证明或求解。2、四点共圆问题：四点共圆是平面几何证题中一个十分有力的工具。四点共圆这类问题一般有两种形式一是要证明某四点共圆(或以四点共圆为基础证明若干点共圆)；二是通过某四点共圆来得到一些重要的结果，进而解决问题，下面是与四点共圆有关的一些基本知识。若干个点与某定点的距离相等，则这些点在同一圆周上。在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆。若四点连成的四边形对角互补或有一个外角等于它的内对角，则这四点共圆。若点C、D在线段AB的同侧，且ZACB=ZADB,则A、B、C、D四点共圆。若两线段AB、CD相交于点E,且AE*EB=CE*ED，贝A、B、C、D四点共圆。若相交直线PA、PB上各有一点C、D,且PA*PC=PB*PD,则A、B、C、D四点共圆。蝴蝶定理：设O为圆的弦MN的中点，过O作弦AB、CD,连AD、BC分别交MN于F、E,如图，贝9：EO=FO。DB3、直线与圆、圆与圆位置关系：直线与圆的位置关系依据直线与圆的公共点个数,分为三类：直线与圆相交。直线与圆有两个公共点,此时直线称为圆的割线,圆心到直线的距离小于圆的半径,反之亦然。直线与圆相切。直线与圆只有一个公共点,此时直线称为圆的切线,圆心到直线的距离等于圆的半径,反之亦然。直线与圆相离。直线与圆没有公共点。圆心到直线的距离大于圆半径,反之亦然。两圆的位置关系可以依据两圆的半径及圆心距来分类,也可以依据公切线的条数来分类。设两圆的半径分别为R,r,圆心距为do两圆外离od〉R+r；两圆外切od二R+r；两圆相交oR-r〈d〈R+r。(R>r)两圆内切od二R-ro(R〉r)两圆内含od〈R-ro(R〉r)4、三角形中重要的点和线：

（1）重心：三角形的三条中线的交点，叫做三角形的重心；三角形的重心到一边中点的距离等于这边上的中线长的三分之一。（2）外心：三角形三边的中垂线的交点，叫做三角形的外心，也就是三角形的外接圆圆心；锐角三角形的外心，在三角形内；直角三角形的外心，是斜边的中点；钝角三角形的外心，在三角形外。（3）垂心：三角形的三条高线的交点，叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心，就是直角顶点；钝角三角形的垂心，在三角形外。（4）内心：三角形的三条（内）角平分线的交点，叫做三角形的内心，也就是三角形的内切圆的圆心。如图，设△ABC的内心为I,则有：AE=AF=p－a,BD=BF=p－b，CD=CE=p－c。其中P=2（a+b+c）是半圆长。另我们常常用垂心来证明两条直线互相垂直。在证明多点（大于4个点）共圆时，我们常常先作其中三个点的一个外接圆，然后证明其余的点在这个圆上。西姆松定理：自三角形的外接圆上的一点，引各边的垂线，则三个垂足共线。如图：直线EF称为西姆松线。只要证明ZBDE=ZCDF。欧拉线：三角形的外心O,重心G,垂心H三点共线。欧拉定理：已知△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心为O,内心为I,贝9：OI=\；'R2-2Rr.第五章专题选讲1、四种命题及其关系：用来判断某一件事情的语句称为命题。命题可分为真命题和假命题。正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题。一般来说,一个命题包含“前提”和“结论”两部分。若把原命题的前提与结论互换就构成它的逆命题；若把原命题的前提与结论分别换成它们的否定,就构成它的否命题；逆命题的否命题，或者是否命题的逆命题。就是逆否命题，原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题及其关系如图所示：原命题原命题1L互否ir否命题原命题和它的逆否命题都是真命题；逆命题同否命题都是假命题。互为逆否的两个命题必同真或同假。利用这亦规律我们可以用来解题。例如，有时证明某一命题是真或假都不太容易，我们可以只证明它的逆否命题是真或假即可。又如，反证法，其思想其实也是利用了原命题与它的逆否命题等价规律。2、待定系数法：待定系数法是数学中的一种重要的解题方法。在求解某些数学命题时，能根据已知条件，确定所求解的基本表达式，从而设出若干各参数，并根据题意转化为求解方程或方程组问题。这种思想方法一般称为待定系数法。在中学阶段中，待定系数法主要应用在：分解因式、求函数的