初等代数研究课后习题答案完整版 余元希

湛江师范学院数学院09（7）余（1）对任何a,bN，当且仅当ab时，ba.（2））对任何a,bN，在ab，ab，ab中有且只有一个成立.（1）“”ab，则B,B,使A~B,，BB,~A,ba“”ba，则B,B,使B,~A，A~B,B,ab综上对任何a,bN，abba（2）由（1）abbaab与ab不可能同时成立，假设ab与ab同时成立，则B,B,使A~B,且A~B，B~B,与B为有限集矛盾，ab与ab不可能同时成立，综上，对任何a,bN，在ab，ab，ab中有且只有一个成立..证明：对任何a,bN设M为使等式abba成立的所有b组成的集合先证a11a，设满足此式的a组成集合k，显然有1+1=1+1成立1k，设ak，a11a，则a1(a)(a1)(1a)1aak，kN，取定a，则1M，设bM,abba，则ab(ab)(ba)ba bM,MN对任何a,bN，abba证明：唯一性：取定a，反证：假设至少有两个对应关系f,g，对bN，有f(b),g(b)N，设M是由使f(b)g(b)成立的所有的b组成的集合，f(b)g(b)a11M 设bN则f(b)g(b)f(b)ag(b)af(b)g(b)，bM，MN即bN，f(b)g(b) 当a1时，bN，111,1bbb11b1 1k，设aK，bN，有a,b与它对应，且1aa，ababa，对bN，令ababba1a11a1aababbabab1(abb)(a1)abaaK KN 12345678ABab，BAbaabABab 3134 3231(31)453332(32)563433(33)672）3412313 3231313633323239343333312p24—12、证明：1）(mn)mn(mn)mn1(m1)nmn2）(mn)nmm(mn)mn1mn(m1)nmm f(1,n)n1 f(m1,1)f(m,2)f(m1,n1)f(m,f(m1,n))求证：1）f(2,n)n22）f(3,n)2n23）f(4,n)2n12证明：1)当n1时，f(2,1)f(11,1)f(1,2)2112结论成立，假设nk时，结论成立，即f(2,k)k2，f(2,k1)f(11,k1)f(1,f(2,k))f(1,k2)(k2)1(k1)22）当n1时，f(3,n)f(21,n)f(2,2)22212结论成立假设nk时，结论成立，即f(3,k)2k2f(3,k1)f(21,k1)f(2,f(3,k))f(2,2k2)2k222(k1)23）当n1时，f(4,1)f(31,1)f(3,2)2222112结论成立假设nk时，结论成立，即f(4,k)2k1

2f(4,k1)f(3,f(4,k))f(3,2k12)2(2k12)22k22[a,b],[c,d],[e,f]Z，证明：“”已知[a,b][c,d]则adbc“”已知[a,b][c,d][1,1]则[ad,bc][1,1]，adbcp62—4、已知a,bN，求证([a,b])[a,b]证明：[a,b][b,a] ([a,b])[b,a][a,b]p62—7、已知a,b,cN，求证当且仅当adbc时[a,b][c,d]证明：“”已知adbc，[a,b][c,d][ad,bc]因为adbc “”已知[a,b][c,d]则[a,b][c,d][ad,bc]因为[ad,bc]是负数，adbc((k1,2,...,n)，必存在一个bj(j1,2,...,n)使得ap62—9、已知,Z，求证：1）证明：设[a,b],[c,d]

，2）1）[ac,bd](ac)(bd)而ab,cd(ac)(bd)(ab)(cd)abcd2）[acbd,adbc] acbd(adbc)而ab,cdacbd(adbc)a(cd)b(dc)(ab)(cd)abcdp63—12、n名棋手每两个比赛一次，没有平局，若第k名胜负的次数各为a

,bk1,2,........,n，求证：a2a21

...a2

b2b21 证明：对于a b a2

b2

(k,j1,2,...,n)

a2

a2

...a2

b2

b2证明：由已知：s,tZ使10abps，10cdptb10aps,d10cptadbc10acapt(10accps)p(csat)padbcp63—17、设2不整除a，求证8a21证明：因为2不整除a，所以存在唯一一对q,rZ，使a2qr，其中0r2r1，a24q24q1a214q(q1) 8a21证明：因为：证明：因为： （a1,a2,......a（a1,a2,......ap63—20、设aZ，求证a(a1)(a2)(a3)1是奇数的平方a(a1)(a2)(a3)1[(a1)1](a1)[(a2)(a2)1]1[(a1)2(a1)][(a2)2(a2)]1(a1)2(a2)22(a1)(a2)1[(a1)(a2)1]2a1,a2肯定一奇一偶(a1)(a2)肯定为偶数(a1)(a2)1肯定为奇数2

(1n)n2而（1+n）-n=1个位数码不能为247也不可能成立，若个位数码为9

,）=（a

,a

,......a

n,）是a1,a2,......an的公因数中的最大数

,）=（a

,a

,......a

证明：因为(a,b)1 “”由定理4 x,yZ使axby(a,b)1“”设(a,b)d则da,db，daxby d1d(a,b)1证明：若a,b都为0，则(0,0)m(0,0)显然成立000

(a,b)max'mby'(ma,mb)而max'mby'm(ax'by')因为x,yZ，ax

axbyax

ax'by'm(ax

by0)max'mby'm(a,b)max'mby'm(a,b)(ma,mb)而(ma,mb)amx

(ma,mb)m(a,b)推论：设d是a,b的公因数，则(a/d,b/d)1的充要条件是d(a,b)证明：“”d是a,b的公因数dN dd(a/d,b/d)(a,b)“”因为d(a,b) x,yZ，使axbyd x,yZ，使(a/d)x(b/d)y1(a/d,b/d)1定理七：若(a,c)1，bZ，b,c中至少有一个不为0，则(ab,c)(b,c) x,yZ使abxcy(ab,c)因为(a,c)1 (ab,c)b,(ab,c)c 因为(b,c)(ab,c)(ab,c)(b,c)推论：若(a,c)1，(b,c)1，则(ab,c)1证明：因为(b,c)1，b,c不为零(ab,c)(b,c)1p64—33、已知n是奇数，nab,nab，求证n(a,b)证明：因为nab,nab n(ab)(ab),n(ab)(ab)n2a,n2bn2(a,b)，因为n是奇数，n(a,b)p64—36、已知(a,b)d,(a',b')d'，求证(aa',ab',a'b,bb')dd证明：(aa',ab')a(a',b')ad',(a'b,bb')bd'(aa',ab',a'b,bb')(ad',bd')dd'

p64—40、已知aN，求证a,2a,......na中n的倍数的个数等于(n,a)dada1,2da1,......nda1因为d1所以其中一定包括na1,2na1,......(d1)na1,dnap64p64—44、已知整数a,n都大于1，a1是素数，求证a2且n是素数p66p66—69、已知p是奇素数，求证1）123...(p1)0(modp)证明：当(n,a)1时，nna结论成立，当(n,a)d时，d1，令ada1，(n,a1)1，则a,2a,......na可改写为1都是n的倍数，共有d个p64—42、已知p是异于3的奇素数，求证24p21证明：p是异于3的奇素数，p21为偶数，p3p219p21(p1)(p1)其中p1,p1都为合数，且都大于3p1,p1都可被2、3中的一个整除，若2p1，则由p1(p1)22p1，因为p13,p13 24p21证明：反证n不是素数当a2时an1不是素数与已知矛盾，所以n是素数1

(a,c)(b,c)

ab(a,b)

,c)([a,b],c)p p 2）12p13p1...(p1)p11(modp)证明：1）因为(1,p)1,(2,p)1,...,(p1,p)11p1(modp)，2p2(modp)，3p3(modp)…(p1)pp1(modp)12p3p...(p1)p(123...(p1))(modp)

p(p1)

p(p1)证明：设证明：设a的标准分解式为ap12p3p...(p1)p0(modp)2）1p11(modp)，2p11(modp)，3p11(modp)…(p1)p11(modp)12p13p1...(p1)p11(modp)证明：pq10(modp)，qp11(modp)，pq1qp11(modp)同理pq1qp11(modq)pq1qp11(mod[p,q])即pq1qp11(modpq)p66—72、已知p是素数，N，求证(1)(p)(p2)...(p)p证明：因为p是素数，所以(pk)pkpk1,kN(p)p1,(p2)p2p,....,(p)pp1因为(1)1 (1)(p)(p