复杂系统决策模型与层次分析法课件

§3.4复杂系统决策模型

与层次分析法

AnaliticHierachyProcess(AHP)

§3.4复杂系统决策模型

与层次分析法

Anali1

对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。一.问题举例1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。2

二.模型和方法1.层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。

最高层：决策的目的、要解决的问题。

最低层：决策时的备选方案。

中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。二.模型和方法3

例1.选购冰箱选购冰箱品牌功能价格耗电海尔新飞容声雪花例1.选购冰箱选购冰箱品牌功能价格耗电海尔新飞容声雪花4

例2.旅游景点旅游景点居住景色费用饮食交通泰山杭州承德例2.旅游景点旅游景点居住景色费用饮食交通泰山杭州承德5

例3.科研课题科研课题贡献可行性实用价值学术意义人才培养难度周期经费基础应用教育例3.科研课题科研课题贡献可行性实学人难周经基础应用教育6

2.因素判断模型10.判断矩阵：令正数aij为因素xi、xj对目标Z的影响的相对重要性指标。aij=1：xi与xj对目标Z的重要性相当。aij>1：对目标Z来说xi比xj重要,其数值大小表示重要的程度。显然有aji=1/aij。矩阵A=（aij）称为因素（x1,…,xn）成对比较时的判断矩阵。2.因素判断模型7

20.正互反矩阵：n×n矩阵A=(aij)是正互反的,如果满足条件aij>0且aji=1/aij

30.aij的估计:九级标度法xi/xj相当较重要重要很重要绝对重要aij1

357920.正互反矩阵：n×n矩阵A=(aij8

40.例.选择旅游景点Z：目标，选择景点y：因素，决策准则y1

费用,y2

景色,y3

居住,y4

饮食,y5

交通X：对象，备选方案X1

杭州，X2泰山，X3承德，因素对目标的判断矩阵40.例.选择旅游景点9

3.因素排序及其一致性10.权重向量令λ1为A的最大(模)特征根,则λ1>0.令w为与λ

1对应的A的特征向量,则w>0.归一化:wi*=wi/wi,有w*=(w1*,…,wn*)’称w*

为因素y对目标Z相对重要性的权重。

3.因素排序及其一致性10

20.排序的一致性比较的一致性：对于因素关于目标重要性比较的指标aij,若对任意的k,满足aij=aikakj,则称这个比较是一致的。排序的一致性：一致性指标CI(Consensusindex)

CI=(λ1-n)/(n-1)，CI>=0。

CI=0,A有完全的一致性。

CI接近于0,A有满意的一致性。20.排序的一致性11一致性判断矩阵与因素排序

一致性判断矩阵：所有元素满足一致性条件aij=aikakj的判断矩阵。一致性判断矩阵的特征向量就是因素的排序一致性判断矩阵与因素排序一致性判断矩阵：所有元素满足一致性12矩阵的一致性

定理1.(Peron-Frobenious)非负矩阵存在正的最大模特征根,对应着正的特征向量。

定理2.一致的正互反阵的秩等于1，主特征根为n，若特征向量为w=(w1,…,wn)’,则有aij=wi/wj。

定理3.n阶判断矩阵是一致的，当且仅当λ

1=n。矩阵的一致性定理1.(Peron-Frobeni13定理2证明

一致性正互反矩阵中任意两列元素成比例aij=maih，i=1,…,n由一致性：aij=aikakj，

aih=aikakh，则

aij/aih=akj/akh=m,即aij=maih,i=1,…,n由aij=aik/

ajk，令a=(a1ka2k…ank)’,a-1=(1/a1k1/a2k…1/ank)’则有A=a

a-1’,判断矩阵的秩为1.且有Aa=a

a-1’a

=n

a

定理2证明一致性正互反矩阵中任意两列元素成比例14一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量若特征向量为w=(w1,…,wn)’,则有aij=aik/

ajk=wi/wj。表示wi与wj之间的比值,是这两者重要性之间的一个判断.w就是各对象之间的一个排序.即:各列均表示被判断元素之间的排序。一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量若特征向量为w=15定理3证明定理3证明16随机一致性指标固定n,令A的上三角从{1/9,…,1,2,…,9}中随机取值,构成正互反矩阵。计算它的CI。对每个n=1,2,…,9分别随机地抽取n=100~500个样本,得到Ank和CInk(不一致判断矩阵的指标)。取则CI>RI时,判断矩阵明显不具有一致性。取α<0.1,则当CI<α

RI时,A在水准α下有满意的一致性.

随机一致性指标固定n,令A的上三角从{1/17

平均随机一致性指标RIn123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45

CR=CI/RI<0.1时,A有满意的一致性。

复杂系统决策模型与层次分析法课件18AHP的计算1.最大特征根与特征向量的计算—幂法给定A>0,对任x>0则若取则特征根为AHP的计算1.最大特征根与特征向量的计算—幂法19特征根与特征向量的近似算法计算行(几何)平均归一化特征根特征根与特征向量的近似算法计算行(几何)平均20MATLAB算法

%对于形如A=(mij/hij)的正互反阵，求特征值和特征向量。>>B=[m11,…m1n;m21,…,m2n;…;mn1,…,mnn];>>A=B./B’>>[X,D]=eig(A)MATLAB算法%对于形如A=(mij/hij21

例.准则对目标的排序A有特征根λ=5.019

w=(0.48,0.26,0.05,0.10,0.11)’

CI=(λ-5)/(5-1)=0019/4=0.00475

CR=0.00475/1.12=0.004246<0.1

A有满意的一致性。

22

备选对象对决策准则的判别矩阵备选对象对决策准则的判别矩阵23

24

4.总排序及其一致性10.模型及参数模型：参数：y

对目标Z有判断矩阵A排序权重a=(a1,…,a5)

x对准则yj有判断矩阵Bj排序权重bj=(b1j,b2j,b3j)’记B=(b1,b2,…,b5)

CIj(x):x对yj的CI;RIj(x):x对yj的RI.

CIZ(x):x对Z

的CI;RIZ(x):x对Z

的RI.4.总排序及其一致性25

20.对象对目标的排序30.排序的一致性

w

=(0.293,0.311,0.446)’20.对象对目标的排序26

§3.4复杂系统决策模型

与层次分析法

AnaliticHierachyProcess(AHP)

§3.4复杂系统决策模型

与层次分析法

Anali27

对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。一.问题举例1.在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。2.在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。3.在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。28

二.模型和方法1.层次结构模型将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。

最高层：决策的目的、要解决的问题。

最低层：决策时的备选方案。

中间层：考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。二.模型和方法29

例1.选购冰箱选购冰箱品牌功能价格耗电海尔新飞容声雪花例1.选购冰箱选购冰箱品牌功能价格耗电海尔新飞容声雪花30

例2.旅游景点旅游景点居住景色费用饮食交通泰山杭州承德例2.旅游景点旅游景点居住景色费用饮食交通泰山杭州承德31

例3.科研课题科研课题贡献可行性实用价值学术意义人才培养难度周期经费基础应用教育例3.科研课题科研课题贡献可行性实学人难周经基础应用教育32

2.因素判断模型10.判断矩阵：令正数aij为因素xi、xj对目标Z的影响的相对重要性指标。aij=1：xi与xj对目标Z的重要性相当。aij>1：对目标Z来说xi比xj重要,其数值大小表示重要的程度。显然有aji=1/aij。矩阵A=（aij）称为因素（x1,…,xn）成对比较时的判断矩阵。2.因素判断模型33

20.正互反矩阵：n×n矩阵A=(aij)是正互反的,如果满足条件aij>0且aji=1/aij

30.aij的估计:九级标度法xi/xj相当较重要重要很重要绝对重要aij1

357920.正互反矩阵：n×n矩阵A=(aij34

40.例.选择旅游景点Z：目标，选择景点y：因素，决策准则y1

费用,y2

景色,y3

居住,y4

饮食,y5

交通X：对象，备选方案X1

杭州，X2泰山，X3承德，因素对目标的判断矩阵40.例.选择旅游景点35

3.因素排序及其一致性10.权重向量令λ1为A的最大(模)特征根,则λ1>0.令w为与λ

1对应的A的特征向量,则w>0.归一化:wi*=wi/wi,有w*=(w1*,…,wn*)’称w*

为因素y对目标Z相对重要性的权重。

3.因素排序及其一致性36

20.排序的一致性比较的一致性：对于因素关于目标重要性比较的指标aij,若对任意的k,满足aij=aikakj,则称这个比较是一致的。排序的一致性：一致性指标CI(Consensusindex)

CI=(λ1-n)/(n-1)，CI>=0。

CI=0,A有完全的一致性。

CI接近于0,A有满意的一致性。20.排序的一致性37一致性判断矩阵与因素排序

一致性判断矩阵：所有元素满足一致性条件aij=aikakj的判断矩阵。一致性判断矩阵的特征向量就是因素的排序一致性判断矩阵与因素排序一致性判断矩阵：所有元素满足一致性38矩阵的一致性

定理1.(Peron-Frobenious)非负矩阵存在正的最大模特征根,对应着正的特征向量。

定理2.一致的正互反阵的秩等于1，主特征根为n，若特征向量为w=(w1,…,wn)’,则有aij=wi/wj。

定理3.n阶判断矩阵是一致的，当且仅当λ

1=n。矩阵的一致性定理1.(Peron-Frobeni39定理2证明

一致性正互反矩阵中任意两列元素成比例aij=maih，i=1,…,n由一致性：aij=aikakj，

aih=aikakh，则

aij/aih=akj/akh=m,即aij=maih,i=1,…,n由aij=aik/

ajk，令a=(a1ka2k…ank)’,a-1=(1/a1k1/a2k…1/ank)’则有A=a

a-1’,判断矩阵的秩为1.且有Aa=a

a-1’a

=n

a

定理2证明一致性正互反矩阵中任意两列元素成比例40一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量若特征向量为w=(w1,…,wn)’,则有aij=aik/

ajk=wi/wj。表示wi与wj之间的比值,是这两者重要性之间的一个判断.w就是各对象之间的一个排序.即:各列均表示被判断元素之间的排序。一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量若特征向量为w=41定理3证明定理3证明42随机一致性指标固定n,令A的上三角从{1/9,…,1,2,…,9}中随机取值,构成正互反矩阵。计算它的CI。对每个n=1,2,…,9分别随机地抽取n=100~500个样本,得到Ank和CInk(不一致判断矩阵的指标)。取则CI>RI时,判断矩阵明显不具有一致性。取α<0.1,则当CI<α

RI时,A在水准α下有满意的一致性.

随机一致性指标固定n,令A的上三角从{1/43

平均随机一致性指标RIn123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45

CR=CI/RI<0.1时,A有满意的一致性。

复杂系统决策模型与层次分析法课件44AHP的计算1.最大特征根与特征向量的计算—幂法给定A>0,对任x>0则若取则特征根为AHP的计算1.最大特征根与特征向量的计算—幂法45特征根与特征向量的近似算法计算行(几何