学案空间向量的坐标与空间直角坐标系

5/5空间向量的坐标与空间直角坐标系【学习目标】1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养．2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．3．理解空间直角坐标系的定义、建系方法，以及空间的点的坐标确定方法并能简单运用．【学习重难点】1．掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．（重点）2．掌握空间向量的坐标运算．（重点）3．掌握空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直的关系．（重点、难点）【学习过程】一、新知初探1．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组（x，y，z）为向量p的坐标，记作p＝（x，y，z）．其中x，y，z都称为p的坐标分量．2．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a，b满足a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则有以下结论：（1）a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）；（2）若u，v是两个实数，ua＋vb＝（ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2）；（3）a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；（4）|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；（5）当a≠0且b≠0时，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直（1）当a≠0时，a∥b⇔b＝λa⇔（x2，y2，z2）＝λ（x1，y1，z1）⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝λx1,y2＝λy1,z2＝λz1))，当a的每一个坐标分量都不为零时，有a∥b⇔eq\f(x2,x1)＝eq\f(y2,y1)＝eq\f(z2,z1)．（2）a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．4．空间直角坐标系（1）在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴．这样建立的空间直角坐标系记作Oxyz．（2）在空间直角坐标系Oxyz中，x轴、y轴、z轴是两两垂直的，它们都称为坐标轴，通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面．（3）z轴正方向的确定：在z轴的正半轴看xOy平面，x轴的正半轴绕O点沿逆时针方向旋转90°能与y轴的正半轴重合．（4）空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°（或45°），z轴与y轴（或x轴）垂直．（5）空间中一点的坐标：空间一点M的坐标可用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，其中x叫做点M的横坐标（或x坐标），y叫做点M的纵坐标（或y坐标），z叫做点M的竖坐标（或z坐标）．（6）三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，按逆时针方向，在坐标平面xOy的上方，分别是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分别是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根据点的坐标的特征，第Ⅰ卦限的点集用集合可表示为{（x，y，z）|x＞0，y＞0，z＞0}．5．空间向量坐标的应用（1）点P（x，y，z）到坐标原点O（0,0,0）的距离OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．（2）任意两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）间的距离P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）以原点为始点的向量eq\o(OP,\s\up7(→))的坐标和点P的坐标相同．（）（2）若a·b＝0，则a⊥b．（）（3）在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点一定是（0，b，c）．（）（4）在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标为（a,0，c）．（）2．（教材P19例2改编）已知向量a＝（3，－2,1），b＝（－2,4,0），则4a＋2b等于（A．（16,0,4） B．（8，－16,4）C．（8,16,4） D．（8,0,4）3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则p＝－e1＋2e2＋3e3的坐标为________．4．在空间直角坐标系中，点P（3,4,5）与Q（3，－4，－5）两点的位置关系是________．三、合作探究类型1空间向量的坐标运算【例1】（1）如图，在棱长为1的正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA′,\s\up7(→))}为基底，求下列向量的坐标．①eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))；②eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(EG,\s\up7(→))，eq\o(DG,\s\up7(→))．（2）已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是（－1,2,1），（1,3,4），（0，－1,4），（2，－1，－2）．若p＝eq\o(AB,\s\up7(→))，q＝eq\o(CD,\s\up7(→))．求①p＋2q；②3p－q；③（p－q）·（p＋q）．类型2空间中点的坐标确定及应用【例2】在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．并求GH的长度．类型3空间向量的平行与垂直【例3】已知空间三点A（－2,0,2），B（－1,1,2），C（－3,0,4），设a＝eq\o(AB,\s\up7(→))，b＝eq\o(AC,\s\up7(→))．（1）若|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up7(→))．求c；（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k．类型4利用坐标运算解决夹角、距离问题【例4】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H为C1G的中点．（1）求证：EF⊥B1C（2）求EF与C1G（3）求FH的长．【学习小结】1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直，可以求向量的模以及两个向量的夹角．2．几何中的平行和垂直可以用向量进行判断，距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决．【精炼反馈】1．已知向量a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2），则3a＋b为（A．（－2，－3，－2） B．（2,3,2）C．（－2,3,2） D．（4,3,2）2．在空间直角坐标系中，点P（1,3，－5）关于平面xOy对称的点的坐标是（）A．（－1,3，－5） B．（1,3,5）C．（1，－3,5） D．（－1，－3,5）3．点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))到原点O的距离是（）A．eq\f(\r(30),6) B．1C．eq\f(\r(33