2010-2019考研数学二真题

2019年全国硕士研究生招生考试试题一、选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)TOC\o"1-5"\h\z(1)当工一►0时，若/-tanH与小是同阶无穷小，则左二( )(A)L (B)2. (C)3. (D)4.(2)曲线y=xsinx+2cos% <x<21r)的拐点坐标为( )(A)(0,2). (B)E-2). (C) ， (D)件，-竽).(3)下列反常积分发散的是( )(A)广廿也(B)「川(D)f(4)已知微分方程+"二的通解为y=(g+C2x)e^+e\则a/、c依次为( )(A)l,0,L (B)l,0,2. (C)2,1,3, (D)2,1,4..(5)已知平面区域Q={(x，y)II+|yIy],l}='J工2+尸dkdy,l2=D,sinJ£+『dxdy?/3=((]一coss/%2+)dxdy,贝！]( )h b(A)/.<I2</P (B)/2</,<4(C)/,</2< (D)/2<l3</P(6)已知/(动，g(X)2阶可导且2阶导函数在“二。处连续，则lim区;上黑L=0是曲线*-*a(x-a)y=/(%)和y=g(x)在上=a时应的点处相切且曲率相等的( )(A)充分非必要条件. (B)充分必要条件.(C)必要非充分条件, (D)既非充分乂非必要条件.(7)设A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵,若线性方程组4H二0的基础解系中只有2个向量，则「⑷)二()(A)0. (B)l, (C)2. (D)3.⑻设A是3阶实时称矩阵，E是3阶单位矩阵,若1+4=2E,且|4|二4,则二次型，4r的规范形为( )(A)淄+y1+丹 (B)y：+日—《(C)斓一£— (D)—y；—上一yt二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.)(9)lim(x+2J)-= 3G—+0(10)曲线广,一sin3在£=竽对应点处的切线在y轴上的截距为 .ly=1-cos/ 上(11)设函数/(n)可导，£二4(金)，贝二 \x/dxdy(12)曲线y=hicos鹫(0WwW/)的弧长为.JT11 .2 1(13)已知函数/(*)=工［s、"J山,贝!.(1 (1 -1 0_7 1 _(14)已知矩阵4= _3 -2 2I0 0 31,4表示|4|中(i,j)元的代数余子式，贝以“-4日=-14>三,解答题(本题共9小题，共94分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)已知函数人工)二产’”>°，求/(/)，并求/(工)的极值.xex+1,4W0.(16)(本题满分10分)求不定积分J(一.;;:1+1)热(17)(本题满分10分)1 /设函数y(羯)是微分方程=——eT满足条件y(1)=&的特解.2而(I)求O；(n)设平面区域I)=I(肛了)|1W步W2,0WyW共鬻)1,求D绕步轴旋转所得旋转体的体积.(18)(本题满分10分)|x|W八(/+步尸W|x|W八(/+步尸W/],计算二重积分(19)(本题满分10分)设日为正整数，记丛为曲线y二巳一、近以0W，W西)与北轴所围图形的面积，求曾，并求lim5铲iH=y(20)(本题满分11分)已知函数以％y)满足2吟-2吟+3普+3普=0,求外方的值,使得在变换口(”)=dxdy3*oy如下，上述等式可化为u(%,y)不含一阶偏导数的等式.(21)(本题满分11分)已知函数/(北)在［0,1］上具有2阶导数，且/(0)=0,/(1)也=1,证明;(1)存在」e(0」),使得，工)=0；(口)存在”(0/),使得了"⑸)<-2.<1)(1、(0、2与『民=1,鱼-2,<a2+3)+3><1-a)与n等价，求。的取值，并将民用%,%,%线性表示.1)已知向量组1：与n等价，求。的取值，并将民用%,%,%线性表示.1)已知向量组1：%=1,%<4;<11乐二3.若向量组I\a2+3)(23)(本题满分11分)「20<01 0、-「20<01 0、-10相似.0yJ已知矩阵4= 2 % -2与B<0 0 -2；(I)求明y;(n)求可逆矩阵p,使得p"AP=r(B)a=-；,b=-1-(D)q=-二L(B)/(x(B)a=-；,b=-1-(D)q=-二L(B)/(x)=|x|sin5/|x|.(D)/(%)=cosy|x|.受W-1,-1<X<0,若/(*)+或耳)在R上连续,常妾0.(B)a=3,6=2.(D)a--3yb-2,。，则()(A)当(⑷<0时"(；)<0.(C)当/⑷>0时/(；)<0.(B)当尸⑷V0时/(；)<0,

(D)当尸⑷>0时,/(；)<0.1T⑸设*Q0也…了1+叱I drE X■te(A)M>N>K.(C)R>M>N.2-jc2(1-xy)dy+2LK=［(1+Jc=%)%,则( )J-T(B)M>K>N.(D)K>N>M.-X(A)|(2(1-xy)dy=( )(B)q(7)F列矩阵中，与矩阵0lo5T0、i相似的为(J2018年全国硕士研究生招生考试试题.选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若lim(/十也，+/)口二1,则( )K>0(A)a=),6=-1.(C)。二=1.(2)下列函数中，在式=0处不可导的是( )(A)f(x)=xsinx.(C)/(%)=cos|x.(2-ax(3)设函数/(%)=I1"*<°，g(x)=L11,比注0, 1X—D,贝式)(A)a=3,6=L(C)a=-3,6=I.(4)设函数八鬻)在［0,1］上：阶可导，旦<1(B<1(B)0(A)01<00<1<10-(D)01 0100 1)(C)o1 0lo01)(8)设为凡阶矩阵，记;"(X)为矩阵X的秩,(X,y)表示分块矩阵，则( )(A)r(A,AB)=r(A). =r(A),(C)r(A,B)=max{r(A)Tr(E}}. (D)r(A=r(4，B『).二■填空题(本题共6小题.每小题4分।共24分.把答案填在题中横线上J(9)limit2［arctan(x+1)-arctanx~\=.4r+8(10)曲线y=£+21口寓在其拐点处的切线方程是.F F dxx-4式+3TOC\o"1-5"\h\z(12)曲线。二二。："在，=?对应点处的曲率为 .【y=sint 4(13)设函数w=z(“)由方程hi』+=*y确定，则学 =所(吟)(14)设A为3阶矩阵，叫，叫，弓为线性无关的向量组.若As1=2%+%+%,4铀=%+2%,A%=-%+%,则4的实特征值为.三,解答题(本题共9小题.共94分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤，)(15)(本题满分10分)求不定积分Je21arctane-Idx.(16)(本题满分10分)已知连续函数人式)满足(/(£)&+［双胃-。出=(I)求3(U)若穴北)在区间［0,1］上的平均值为1,求。的值.(17)(本题满分10分)设平面区域D由曲线［”=~sin£,(0石［2tt)与咒轴围成，计算二重积分(y=1-cost(x+2y)AxAy.D(18)(本题满分10分)已知常数人》In2-L证明：(笈-1)(%-ln2x+2kln%-1)20.(19)(本题满分10分)将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值.(20)(本题满分11分)已知曲线乙：丁=4■炉(%注0),点。(0,0),点4(0,1),设P是L上的动点,5是直线。4与直线/IP及曲线L所围图形的面积.若尸运动到点(3,4)时沿4轴正向的速度是4,求此时S关于时间Z的变化率.(21)(本题满分11分)设数列(xn1满足：%)>0,xne*B+1=e*B-1(n=1,2,…).证明｛xn|收敛，并求limxn.n—►»（22）（本题满分11分）设实二次型/（肛,%2声3）=（常［-常2+X3）2+（42+叼）2+（航+吟）"，其中a是参数.（I）求以孙，％2户3）=。的解；（n）求了（与/2,m）的规范形.0可经初等列变换化为矩阵5= 0a2、0可经初等列变换化为矩阵5= 0a2、1111J2已知Q是常数，且矩阵A=13<27（I）求&;（n）求满足ap=b的可逆矩阵p.2017年全国硕士研究生招生考试试题一,选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内,)1-COS(1)若函数=*ax

*>°，在#=0处连续，则(“W0(A)ab=(B)=-(=0+(D)ab=2+=/=/(-1)(2)设二阶可导函数/(工)满足了(1)(A)/j(常)曲>

==-1且/"(*)>0,则( )(B)J/(文)也<0.(D)£/(x)dr<jf/(x)(3)设数列配」收敛，则( )(A)当litn写也%=0Jimxn=0.用T：» JI—(B)当lim(4+ |x,[|)=0时」加册=0.n―►r n―E(C)当lim(/+#：)=0时，lim/=0.NTS JFlTSG(D)lim(xn+sinxn)=0时，lim%=0.n—*«(4)微分方程/-4/+8y=e2i(l+cos2x)的特解可设为y*二( )(A)4产+e2%(Seos2x+Csin2x). (BJAxe2*+ (Bcos2x+Csin2x).(+jce2t(2x+C$in2%). (D) 2%+C&in2%).(5)设/(%y)具有一阶偏导数，且对任意的(北力)，都有吟2>0,^f<0,则( )ax ay

(D)/(0,l)<欠1,0).(6)甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)处，图中，实线表示甲的速度曲线v=%($)(单位:m/区),虚线表示乙的速度曲线》二叫(工),三块阴影部分面积的数值依次为10,203计时开始后乙追上甲的时刻记为名(单位:S),则( )(A)%=10.(B)15<f0<20.(C)tQ=25.(D)t0>25.1000〕(7)设A为3阶矩阵，尸二(%,%,%)为可逆矩阵，使得PNP=01。，则1002)A(%+%+%)=( )(A)%+%.(2(8)(A)%+%.(2(8)已知矩阵A=0lo(B)%+2%.00、2101><2〃二0lo0、01>(A)A与。相似,8与。相似.(C)A与C不相似用与C相似.(G)a2+% (D)%+2a2.<100、c=o20，则( )lo02)(B)A与C相似,B与C不相似.(D)4与C不相似］与C不相似.二.填空题(本题共6小题,每小题4分，共24分,把答案填在题中横线上.)(9)曲线y="1+arcsin)的斜渐近线方程为.(10)设函数y=y(常)由参数方程二二'确定，则(10)设函数y=y(常)由参数方程二二'确定，则y=sint(IDf+-anln(1+x)

(1+戈Tdx(12)设函数/(工,y)具有一阶连续偏导数，且d/(x,y)=ye'd*+%(1+y)eTdy,/(0,0)=o,则-(13)-(13)(dyjtan =<41(14)设矩阵A=12I?1-2>」的一个特征向量为—1,7，则三.解答题(本即共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分))，噌)，噌(16)(本题满分10分)设函数/(⑪")具有2阶连续偏导数，了=f(ex,cosx(17)(本题满分10分)求lim2与1n(1+lock=1 \(18)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程%3+/-3累+3y-2=0确定，求y(x)的极值.(19)(本题满分10分)设函数/(2在区间［0,1］上具有2阶导数，且八1)>0,注号<。.证明：(I)方程/(幻=0在区间(0,1)内至少存在一个实根；(D)方程/(口/"(#)+［/'5)「=0在区间(0/)内至少存在两个不同实根.(20)(本题满分11分)已知平面区域O={(%y) W2R,计算二重积分。(工+1),拉dy.D（21）（本题满分11分）设O是区间（0怖）内的可导函数，且y⑴=0.点P是曲线/：y=y（%）上的任意一点,/在点P处的切线与〉轴相交于点（0,%）,法线与％轴相交于点（X~0）,若Xp=。，求/上点的坐标（*y）满足的方程.（22）（本题满分11分）设3阶矩阵A二（%,%,%）有3个不同的特征值，且%=%+2%.（I）证明r（A）二2；（H）若g=%+%+/，求方程组Ar=0的通解.（23）（本题满分11分）设二次型/（x1,%24台）=2欠；-x1+ax1+2/盯-8*/3+2x2x3在正交变换工=Qy下的标准形为入京+%£，求。的值及一个正交矩阵02016年全国硕士研究生招生考试试题一,选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内,)(1)设%二工(cos -1)9a2-&ln(1+次)，a3-八十1-1.当常—O.时，以匕3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )(A)%，%(A)%，%,%，(B)%,%,%.(D)%,%,%,(2)已知函数/(动=『("-1)，'<1，则汽力)的,个原函数是( )Unx,4三1,(A)F(x)=(C)F(x)二(%(A)F(x)=(C)F(x)二(%—1)2,式(In苏一1),工(1n4+1)+%<1,与三L%<1T1,先三1.(B)F⑴(D)F(x)-1)、 X<],x(Inx+1)-1t*\1.

(x-1)2, x<1,x(Inx-1)+1?4mL⑶反常积分①上②广 的敛散性为((A)①收敛，②收敛. (B)⑶反常积分①上②广 的敛散性为((A)①收敛，②收敛. (B)①收敛，②发散(C)①发散，②收敛. ⑴)①发散，②发散(4)设函数/(#)在(-8,+8)内连续，其导函数的图形如图所示,则()(A)函数人幻有2个极值点，曲线y=汽式)有2个拐点.(B)函数次2有2个极值点，曲线y二/(4)有3个拐点.(C)函数/(工)有3个极值点，曲线y二以崂有1个拐点.(0)函数/仙)有3个极值点，曲线y=/(x)有2个拐点.(5)设函数工建)。二1,2)具有二阶连续导数，kL£"(厢)<0(，二1,2).若两条曲线了二工⑴(i-1,2)在点(与，外)处具有公切线y二g(速)，且在该点处曲线了二工(胃)的曲率大于曲线y二f式式)的曲率，则在出的某个邻域内，有( )(A)/1⑷"⑴Wg⑴.(C)f(疗)Wg(力)W/⑷,(6)已知函数/(H，y)=—一，则()x-y(B)£(*) Ug㈤.(D)^(%)Wg(3)W"⑷.(Of-(Of-(7)设4班是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是( )(A)T与(A)T与万丁相似.(B)A1与相似(C)A+4丁与6+万丁相似. (D)4+与B+B1相似.(8)设二次型/(孙，如，工多)二@(力：+岩+君)+2孙孙+2x2x3+2#］与的正、负惯性指数分别为1,2,则() 13(A)a>\. (B)a<-2, (C)-2<a<L(D)g二1或q二一2.二.填空题(本题共6小题,每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上J(9)曲线y二+arctan(l+ 的斜渐近线方程为.(10)极限lim—7(sin—+2sin—+…+ftsin—)= .lbn\n n r/(11)以y=d-e*和y二，为特解的一阶非齐次线性微分方程为.(12)已知函数/(.)在(-8,+8)上连续，目/(比)=(%+1>+2。0)山，则当R三2时JM(O)(13)已知动点P在曲线y二炉上运动，记坐标原点与点尸间的距离为L若点尸的横坐标对时间的变化率为常数%，则当点尸运动到点(1,1)时,2对时间的变化率是.<«-1(14)设矩阵一1<«-1(14)设矩阵一1 «V-1 —1-1与矩阵01 0>-11等价，则以01J三,解答题(本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限lim(com2x+2*号in%)巴(16)(本题满分10分)设函数/(比)二f|产|也(*>0),求/(%),并求/(工)的最小伯;(17)(本题满分10分)已知函数n=y)由方程(第2+y2)z+Inz+2(%+y+1)=。确定，求工=z(x,y)的极值.(18)(本题满分10分)设。是由直线y二1,)•二叫y二-"围成的有界区域,计算二重积分J<急了珍孙(19)(本题满分10分)已知以(工)=eA,y2(X)=u(x)ex是二阶微分方程(2宣-1)-(2%+1)+2y=。的两个解,若m(-1)=e,w(0)=-1,求,并写出该微分方程的通解.(20)(本题满分11分)设n是由曲线y二〃^(0£4W1)与］=c°「'(oW「W5)围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.(21)(本题满分11分)已知函数/卜)在［。，上连续，在(0, 内是函数并二的一个原函数，且/(0)=0.(I)求/(工)在区间［。，竽］上的平均值；(口)证明/(")在区间(0,予)内存在唯一零点.(22)(本题满分11分)1010)1010)1 ，且方程组Ax=0无解.a-2)设矩阵A= 1Iq+1(I)求。的值；(n)求方程组a「ax二avp的通解.(23)(本题满分11分)(0-11、已知矩阵A=2-30.lo0oJ(I)求留;(D)设3阶矩阵方=(%,%,%)满足*=54,记/°°二(生危,鱼)，将⑶，鱼,鱼分别表示为%,%，&3的线性组合.2015年全国硕士研究生招生考试试题一,选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)TOC\o"1-5"\h\z(1)下列反常积分中收敛的是( )(A)厂—dx.(B)厂—(C)fWd%. (D)厂—A%.与及 J2x xlnx J2/(2)函数/(戈)=limfl+82」丫在(一8,+8)内()(A)连续. (B)有可去间断点. (C)有跳跃间断点. (D)有无穷间断点.cos— >0>0,/3>0).若/(步)在X二0处连续，则( )0, 4W0(A)a-p>L(B)0(d—0WL(C)cx-0>2, (D)0<a- 2.(4)设函数在(-g,+g)内连续，其2阶导函数/十戈)的图形如右图所示，则曲线了…)的拐点个数为( ) \ / /(A)0. (B)l. 一(C)2. (D)3. I(5)设函数f(明喷满足f&+y,^)=x2-y2，则务,,需…依次是( )||sI 「三1(A)yf0. (B)o,J. (C)J,o.(D)o,(6)设。是第一象限中由曲线2xy-1,4xy=1与白线y二%,y=式围成的平面区域，函数%y)在。上连续，则以(步，y)dxdy=(口IT 1rsin8)rdr.TTTIF J(B)，dajIT 1rsin8)rdr.TTTIF J(B)，daj英，J,rsin0)rdr.4 VlsinlSE IdOj।/(rcosOyrsin0)dn(D)7/(rcos仇rsin60d匚(7)设矩阵4q1li「1、d.若集合〃二11,2匕则线性方程组血r二方有无穷多解的充分必要条件为《(A)a壬Q,d京fl.(C)ae/7,d至Q.a2/)(B)a星Z2,defl.(]))口£0，d它(8)设二次型/(町，的，巧)在正交变换x=Py下的标准形为2y；+y；-其中P=3，的，/).若白，叼)，则凡修,叼，巧)在正交变换国=⑪下的标准形为( )(A)24—点+% (B)2y；+yi-yt (C)2姆-6-赤(D)2y；+y?+yt二、填空题(本题共6小题,每小题4分，共24分,把答案填在题中横线上J(9)设则4 = ly=3t+/,a/=1(10)函数/(%)=d2"在#=0处的对阶导数/⑺(0)=.(11)设函数/(工)连续,3(#)二［4(。山.若伊(1)=1,，(1)=5,则/(1)二 一Jo(12)设函数y=y(x)是微分方程y"+yf-2y=0的解，且在x=0处y(*)取得极值3,则/(工)(13)若函数z-z(x,y)由方程+xyz=1确定，则dz=.«J.o)(14)设3阶矩阵4的特征值为2,-2/，B=1-4+瓦其中芯为3阶单位矩阵则行列式|e|二三、解答题(本题共9小题，共94分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」(15)(本题满分10分)设函数/(常)=x+aln(l+x)+Axsinx=fcc)若/(立)与g(北)在方卜0时是等价无穷小，求明6,k的值.(16)(本题满分10分)设』＞0是由曲线段y=zlsin%(0W*W1)及直线y=0t%=《所围成的平面区域,1 2， 2VlfV2分别表示。绕式轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积.若匕二匕，求月的值.(17)(本题满分11分)已知函数/(%y)满足=㈠+1)¥,f(0,了)二「十2力求f{x,y)的极值.(18)(本题满分10分)计算：重积分及(工十y)d4dy,其中D=1(%y)|小十4W2,y"/D(19)(本题满分11分)已知函数了(工)=fvTTF山十求/(#)零点的个数.Jr J1(20)(本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为1202的物体在20t的恒温介质中冷却,30min后该物体温度降至30工，若要将该物体的温度继续降至21霓，还需冷却多长时间？(21)(本题满分10分)已知函数/(2在区间［%+8)匕具有2阶导数J(&)=0,尸(北)>0,0>0.设力曲线了二f⑺在点(心以冷)处的切线与式轴的交点是(小，0),证明。<与<6.(22)(本题满分11分)1 0、设矩阵A=1值一1,且A*=。,\01a/(1)求值的值；(II)若矩阵X满足X-XA2-AXAXA1=E,其中E为3阶单位矩阵，求X.(23)(本题满分(23)(本题满分11分),<0 2设矩阵4=-1 311 -2(I)求巴6的值；-3] n-3相似于矩阵5=0a) \0-20、b031J(D)求可逆矩阵P,使P」AP为对角矩阵.2014年全国硕士研究生招生考试试题一,选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内,)TOC\o"1-5"\h\z(1)当比一0.时，若hip+2*),(1-3工产均是比年高阶的无穷小量，则仪的取值范围是( )⑴⑵+”). (B)(h2). (G(g,1). (D)(0,y).(2)下列曲线中有渐近线的是( )(A)y=#+sinx. (B)y=x2+sin冗*(C)y=4+sin—. (D)y=%2+sin—+(3)设函数/(看)具有2阶导数，g(x)=/(0)(l-x)+汽1)%则在区间［0,1：l.,( )(A)当/(*)NO时，/d)Ng(#). (B)当丁(父)，。时，/G)W或,).(C)当尸小)斗0时，/小)三爪药). (D)当尸(篱)，。时，/(工)Wg(#),(4)曲线厂"*7'上对应于A二1的点处的曲率半径是( )W二/+4。+1(A)等 建)需 (c)ioyio.(D)5yro.(5)设函数/(第)二arctan如若汽用)二力尸(§),则lim与二( )u%(A)L ⑻率 (C)；. (D)J J(6)设函数m(%y)在有界闭区域以上连续，在。的内部具有2阶连续偏导数，且满足鲁#。及dxdy鲁+亶二0,则()dxdy(A)4%y)的最大值和最小值都在D的边界上取得.(B)以*y)的最大值和最小值都在。的内部取得.(C)以*y)的最大值在。的内部取得，最小值在D的边界上取得.(D)u(%y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得0a60⑺行列式^°°60cd0c00d(A)(ad-be)2. (B)-(ad-be)2. (C)d/-b2c2, (D)b2c2-a2d\(8)设% ,%均为3维向量，则对任意常数A：",向量组%+k%,%+la3线性无关是向量组％,线性无关的( )(A)必要非充分条件, (B)充分非必要条件. “(C)充分必要条件. (D)既非充分也非必要条件.二,填空题(本题共6小题,每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上J(10)设人力)是周期为4的可导奇函数，且((式)=2(*-1)/w[0,2],则f(7)=.(11)设了=了(孙y)是由方程巳加+h+/+w=/确定的函数，则Az i]=.(/・/)(12)曲线上的极坐标方程是『二明则上在点行，0)二(自胃)处的切线的直角坐标方程是.(13)一根长度为1的细棒位于尤轴的区间[0,1]上，若其线密度p(2=--+2工+1,则该细棒的质心坐标足=.(14)设二次型f(%1,x2rx3)="j-4；+2axrx3+4出七的负惯性指数为1,则。的取值范围是1三.解答题(本题共9小题，共94分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分1。分)求极限lima?—求极限lima?—>+0£][/(京—1)—叶力ln(l+—1(16)(本题满分10分)已知函数y=了(#)满足微分方程y+y2yf=1-/,且y(2)=。，求的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域。二|(明了)|1W/+/W4,戈.0,y20|.计算1r群由(:―：+产)山曲.n ” ，(18)(本题满分10分)设函数/(")具有2阶连续导数/=/(/cosy)满足+—4=(4z+e*cosdxay若f(0)=0,/'(0)=0,求/(口)的表达式.(19)(本题满分10分)设函数/(无)，g⑸在区间[。，6]上连续，且/(工)单调增加,0Wg(%)W1.证明:(I)0w[g(t)dtW…”;(b产+荐3山 小(n)J/(动网《Jj(%)gQ)d%.(20)(本题满分11分)设函数/(%)=4，%E[0,1],定义函数列：1+无K(%)=/(x),A(x)=/(，(%)),…，/⑺=/(A-i(^)),…。记5〃是由曲线y=;；(%),直线*=1及北轴所围平面图形的面积.求极限lim/15n.n-*8(21)(本题满分H分)已知函数小，y)满足孚=2(y+1),且/(九父)=0+1)2-(2-y)ln九求曲线dyy)=0所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积.(22)(本题满分11分)-4、1,£为3阶单位矩阵.—-4、1,£为3阶单位矩阵.—3J设矩阵A=0 1 -1k12 0(I)求方程组Ax=0的一个基础解系;(D)求满足AB=E的所有矩阵B.(23)(本题满分11分)(11…1><0 …0 1>证明几阶矩阵11…1*«♦»««与。… 0 2♦ ■> »« » «相似.(11…1)♦* <10 … 0 孔,2013年全国硕士研究生招生考试试题一.选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)TOC\o"1-5"\h\z(1)设cosx-1=xsina(x)，其中|值(九)|<则当宣一0时，。⑺是( )(A)比比高阶的无穷小量. (B)比犷低阶的无穷小量.(C)与卡同阶但不等价的无穷小量. (D)与％等价的无穷小量.(2)设函数y=于(m)由方程cos(xy)+Iny-x=1确定，贝Ijlimn/(—)-1=( )111Tsex/],./ -(A)2. (B)L (C)-1, (D)-2.(3)设函数fg)二产“/°乏2二「/⑷山，则()12,可W式W2。 曲(A)x=叮是函数/(文)的跳跃间断点. (B)*=叮是函数的可去间断点.(C)F(x)在此=f处连续但不可导. (D)F(比)在式=仃处可导.r1 1 --p, 1<x< +(4)设函数人工)=卜-1) 若反常积分])(2五收敛，则( )a+l， *Ze.7lnx(A)a<-2. (B)ct>2. (C)-2<a<0. (D)0<a<2.(5)设2=9⑺，其中函数/可微，则:『怖=( )2(A)2y/\xy). (B)-2yf(±y). (C)T(町), (D) /(比¥),X 4(6)设凡是圆域£>={(孙y)|/+/这1|在第加象限的部分*记4=J(y-%)dxdy(A=1,2,%3,4),则()(D)/4>0.(A)7t>0. (B)/2>0.(D)/4>0.(7)设A],C均为隈阶矩阵.若AB=C,且E可逆，则( )(A)矩阵C的行向量组与矩阵4的行向量组等价.(B)矩阵。的列向量组与矩阵4的列向量组等价.(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.(D)矩阵C的列向量组与矩阵笈的列向量组等价.(I(8)矩阵(I(8)矩阵Q110 nob (I与0a17\000、b0相似的充分必要条件为(00;(A)q=0,6=2.(A)q=0,6=2.(C)q=2,b=0.(B)a=0,6为任意常数.(D)a=2/为任意常数.二,填空题(本题共6小题,每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上J1(9)iim[2-in(i+^r=.(10)设函数f(x)=Y-0TOC\o"1-5"\h\z「C一£’山,则y=/(%)的反函数#=f~l(y)在y=0处的导数半

-i dy(10)设函数f(x)=Y-0(11)设封闭曲线L的极坐标方程为『=冲3加-JWeW ，则L所围平面图形的面积是 .\ 6 6f｛九二arctani" _二上对应于£二1的点处的法线方程为 .y-inyr+r(13)已知力二e"-xe，兀=e*-ae，％二-力力是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件yI |基=0=1的解为y-.(14)设A=(%)是3阶非零矩阵，|4|为4的行列式,&为%的代数余子式.若％ =0(ij=1,2,3),则|A|=.三,解答题(本题共9小题，共94分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)当斤一＞0时,1-cosx,cos2x*cos3x与axn为等价无穷小量，求r与值的直(16)(本题满分10分)设。是由曲线y二＞,直线与=武&＞0)及北轴所围成的平面图形，匕，匕分别是D绕步轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积.若%=10匕，求a的值.(17)(本题满分10分)设平面区域。由直线x=3y,y=3累及％+y=8围成，计算，，d*dy.(18)(本题满分10分)设奇函数«北)在［-1,1］上具有2阶导数，目以1)二1.证明:(I)存在5e(0,1),使得f(£)=1；(II)存在甲e(-1,1),使得尸(#+尸⑸=L(19)(本题满分10分)求曲线1-胡+/=1(x^0,y>0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.(20)(本题满分11分)设函数/(*)-Inx+—,%(1)求式产)的最小值；(II)设数列1与卜满足In"+」一<1,证明Ihn猫存在，并求此极限Xr+1 …(21)(本题满分11分)设曲线L的方程为y- -y-lnx(lW式W后)，(I)求上的弧长；(II)设。是由曲线L,直线比==e及*轴所围平面图形，求。的形心的横坐标.(22)(本题满分11分)设A=Pa\s=f01)当q,B为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=8,并求所有矩V10)Mb)阵C(23)(本题满分1J分)设二次型f{xyrx2r%j)=2(a1%1+a2x2+a3x3)2+(6lx1+b2x2+ ,记b23J(I)证明二次型/对应的矩阵为2皿t+即%(n)若也户正交且均为单位向量，证明,在正交变换下的标准形为2/+左2012年全国硕士研究生招生考试试题一,选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内,)2(1)曲线y二殍2的渐近线的条数为( )X-1(A)0,(B儿(C)2.(D)3.e"-e"-凡)，其中值为正整数，贝(1/(0)=(收敛的( )(2)设函数/(#)=(e*-1)(/(A)(-1尸(…)!.(C)(-1广％!.(3)设4>0(n=1,2,…)tSn(A)充分必要条件.(C)必要非充分条件.(B)(--1)!,(D)(-1)、!.则数列⑻有界是数列{%}।(B)充分非必要条件.(D)既非充分也非必要条件.(4)设人=[e"sinxAx{k=1,2,3)，贝情( )(C"a(C"a<13<11，(D)/j<Z1<(5)设函数y)可微，且对任意的#,了都有手>0,叱;6<0,则使不等式/(%15ox ay以出，九)成立的一个充分条件是( )(A)4]%21y}《力,(A)4]%21y}《力,

(C)近C出,打<y2.(6)设区域D由曲线y-sin-+(A)m(B)2.(B)H]>式之，>y^-(D)肛<4,力>%=1围成，则。(町5-1)山曲=(

口(C)-2.(D)_1T.⑺设为「0、0q为任意常数，则下列向量组线性相关的为((A)%，%(D)%,%，P⑺设为「0、0q为任意常数，则下列向量组线性相关的为((A)%，%(D)%,%，P(S)设4为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且=00、02J.若产二(%,%,%)Q= +%,%,%),则QPQ=(1002<000、01;a0So'02><2001<000、02)(20I。0200、01;二■填空题(本题共6小题,每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上JTOC\o"1-5"\h\z(9)设了二爪胃)是由方程--y+1=/所确定的隐函数，则2 =.axi=olimn(--―万+ —飞+…+丁^-二.…H+#22+«2Y+/J (11)设/=/(1口一与，其中函数/⑺可微，则召+y呼= ,\ y/ dxdy(12)微分方程”k+(x-3y2)dy-0满足条件yL—二1的解为y--(13)曲线y=x2+%(z<0)上曲率为q的点的坐标是.(14)设4为3阶矩阵，|4|二3,4•为A的伴随矩阵,若交换A的第1行与第2行得矩阵团则\BA*\=.三,解答题(本题共9小题，共94分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)已知函数人工)二—上,记口二sinxx u(I)求值的值；(H)若当尤tO时，/(,)-u与d是同阶无穷小量,求常数k的值.(16)(本题满分10分)求函数/(%y)=设一年的极值(17)(本题满分12分)过点(。，1)作曲线心力二In*的切线，切点为4,又工与工轴交于E点，区域D由工与直线围成.求区域。的面积及U绕比轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分10分)计算二重积分/",其中区域O由曲线r=1+cos。(0W。W打)与极轴围成.D(19)(本题满分10分)已知函数/(冗)满足方程/(常)+/'(*)-V(%)=0及/"(%)+/(%)=2e\(I)求/(用)的表达式；(D)求曲线y=/(x2)£/(-产)山的拐点.(20)(本题满分10分)证明：%ln +cos%>1+=(-1<x<1).1-% 2(21)(本题满分10分)(I)证明方程/+/T+…+%=为大于1的整数)在区间(；，1)内有且仅有一个实根；(U)记(1)中的实根为证明lim册存在，并求此极限.jj—(22)(本题满分11分)a01a0100a01a01000—10<0J(I)计算行列式|4|；(n)当实数a为何值时,方程组二P有无穷多解,并求其通解./1已知4= °-/1已知4= °-1I01)1，:次型/(盯，出，巧)=7(AZ)工的秩为2.a-H(I)求实数。的值；(II)求正交变换工=Qy招/化为标准形.2011年全国硕士研究生招生考试试题一,选择题(本题共8小题,每小题4分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)已知当我—0时，函数#>)=3sin%-3击3式与c/是等价无穷小量，则( )(A)A=1,c-4.(B)A=1,c--4.(C)k-3,c-4.(D)i=3,c——4.TOC\o"1-5"\h\z(2)设函数/(#)在尤二0处可导，旦/(0)=0,则"/(*)二如,)=( )hT) X(A)-2/(0). (B)-/70). (C)((0). (D)0.(3)函数八式)=In|(x-l)(x-2)(x-3)|的驻点个数为( )(A)0. (B)l, (C)2. (D)3.(4)微分方程y"-Ty二e触十广、4>0)的特解形式为( )(A)a(e" (B)a%(eAl+e-Asc)4(C)x(aeAj+6」*). 工+6e-Al).(5)设函数/(甯)居(*)均有二阶连续导数,满足-0)>0,g(0)<0,且/(0)=gf(0)=0,则函数1二/(2以了)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A)(A)r(O)<0,g"(0)>0.(C)T(O)>0,g"(0)>0.(B)r(O)<0,。(0)<0.(D)r(O)>。，g"(0)<0.TT IT TT(6)设/二1ln(sinJ-jfln(cotx)dx,K=ln(cos常)d%则/, 的大小关系为( )(A)/<J<K.(B)/<K<J. (C)J<I<K.(D)^<J<I.(7)设4为3阶矩阵，将4的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3行得单位矩阵<1记Pi=11017<1记Pi=11017<000)01,则A10)(A)P岛. 建)巴-久, (C)P/「(D)P2P；\(8)设A=(的,%,%,%)是4阶矩阵,A*为4的伴随矩阵•若(1,0,1,0)「是方程组/U=0的一个基础解系，则A^x=0的基础解系可为()(A)% (A)% ⑻%(C)Hj，/,飞・二.填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上J(10)微分方程『十y二e-xcosx满足条件y(0)二0的解为y-(11)曲线v=［tan［山(0W4W的弧长s=.(12)设函数/(%)二［2…X>OfA>0,则「"xf(x)dx二 .10,比WO,（13）设平面区域D由直线y二式，圆，+「二2y及y轴所围成,则二重积分］［有dr=.D（14）二次型/（注1,巧，啊）=%,+3君+4+2町孙+2与与+2出与，则/的正惯性指数为三、解答题（本题共9小题,共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分10分）［ln（1+；2）dt已知函数F（与）= .设lim尸（#）=limF（x）=0，试求仪的取值范围.（16）（本题满分11分）x=g■/+t+设函数了二y（式）由参数方程《 ' '确定，求y二y（年）的极值和曲线y二y（北）的午.L〜J

〔＞-3 3凹凸区间及拐点.（17）（本题满分9分）设函数名二/（叮，yg（G）,其中函数/具有二阶连续偏导数，函数g（第）可导旦在比二1处取得(18)(本题满分10分)设函数双口具有一阶导数，且曲线2：y二y(北)与直线y二工相切于原点记口为曲线f在点(%y)处切线的倾角，若唱二生，求¥⑴的表达式.(19)(本题满分10分)(I)证明:对任意的正整数/都有」＜ln(l+1)《工成立；n+1Vn'n(U)设%=1十;十…十L-1口门(汽=1,2,…)，证明数列｛an｝收敛山 71(20)(本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕了轴旋转一周而成的曲面，该曲线由#+*=2.1注.)与9+仁=1(yW：)连接而成.(I)求容器的容积；(H)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m,重力加速度为gm/J,水的密度为103kg/n?)(21)(本题满分11分)已知函数/O,y)具有二阶连续偏导数,11/(1,y)=/(xt1)=04/(孙五)网业二即其中DD=[(*y)|OWHWl,OWyWl匕计算一重积分I=/町图(*y)d与dy.(22)(本题满分11分)设向量组组二(1,0,I)1,%=(。，L,1尸，%=(1,3,5),不能由向量组用=(1,1,1)、p2=(1,2,3)，*鱼=(3,4,a)T线性表示.(I)求＜1的值；(n)将出，尸小产，用火,%,%线性表示.(23)(本题满分11分)设A为3阶实对称矩阵,4的秩为2,且0