大学数学《实变函数》电子教案

《实变函数》电子教案（重庆邮电大学数理学院邓志颖）课程名称：实变函数学时教材名称：：适用专业：

48/3.0实变函数与泛函分析基础（第三版）高等教育出版社程其襄等数学与应用数学专业(大三上学期)序言：实变函数简介微积分发展的三个阶段：创立17世纪Newto（力学Leibni（几何无穷小)（19世纪Cauchy,Riemann,(ε-N,ε-δ语言论)外微分形式20世纪初Grassmann,Poincare,Carta（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）微积分继续发展的三个方向：外微分形式()（微积分基本定理如何在高维空间得到体现）复数域上的微积分（复变函数）微积分的深化和拓展（实变函数）Riemann积分回顾：Riemann积分的定义(R)b

f(x)dxlim

f其中

xx ,

xa ||0

i ii1

i i

i1 i i积分与分割、介点集的取法无关.几何意义（非负函数：函数图象下方图形的面积。Riemann可积的充要条件f(x在[ab上Riemann可积

f(x)dxlim

Mx lim

mx

f(x)dxa其中：

||T||0

i1

i i ||0 i i1M sup{f(x):xi

axx}iminf{f(x):xi

xx}i0,分划T，使得nxi ii1，0,分划T，使得所有振幅i

的小区间i

的总长度不超过.例：Dirichlet函数不Riemann可积.x[0,1]D(x)0 x[0,1]Q因为上积分为

f(x)dxlim

Mx1a ||0

i ii1下积分为a

f(x)dxlim||T||0

ni1

mx0i i所以对于分划T，有ni1

x1i i所以Dirichlet函数不Riemann可积.（3)Riemann积分的局限性微积分基本定理F(x在[ab上连续，则(R)xF'(t)dtF(xF(a)a1881年Volterra作出一可微函数，导函数有界但不Riemann可积；积分与极限交换次序（一般要求一致收敛）例：设为[0,1]中全体有理数()，作[0,1]上的函数n列x{r,r

,r, ,r}f(x)n

1 2 3

n1,2,3,x[0,1]{r,r,r, ,r}1 2 3 n则{f(x)}在[a,b]上Riemann可积,但nlimfn

(x)D(xx[0,1]QRiemann.00x[0,1]Q故对一般收敛函数列，在Riemann积分意义下极限运算与积分运算不一定可交换次序，即：不一定成立.Lebesgue

limn a

f(x)dxn a

limfn

dx为使f(x)在[a,b]上Riemann可积，按Riemann积分思想，必须使得分划后在多数小区.Lebesgue（每一块不一定是区间，使得在每一块上的振幅都很小，即按函数值的大小对定义域的点加以归类对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；Riemann积分思想即：0,作分划my0

yy1

yn

Myi

yi1

,mf(x)M作点集E{x:y f(x)y}f(x)在E上的振幅不会大于.i i1 i i作和：s

mE

的y

yi i i i1

i1 i i取极限：(L)[a,b]

f(x)dxlimn0i1

mEi iLebesgue积分构思产生的问题：（1）Ei

（第一章集合，第二章点集）（2）集合E的如何定义（第三章测度论；i（3）怎样的函数可使E都有（第四章可测函数；i（4）定义Lebesgue积分并研究其性质（第五章积分论；（5）将牛顿—莱布尼兹公式加以推广（第六章 微分与不定积分）教材：实变函数论与泛函分析基础（第三版,6.参考文献：实变函数论（第二版,7月.(论1995.6(2001),1987Halmos(Measuretheory)Rudin, (Realandcomplexanalysis).教时安排：第一章集合6学时，第二章点集6学时，第三章测度论8学时，第四章可测函数10学时，第四章积分论12学时，第六章微分与不定积分6学时，共六章48学时。第一章集合（总授课时数6学时）Cantor所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（实变函数论）仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点DeMorgan本节难点授课时数2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．以后常用大写字母B,C,D,X,Y,Z 表示集合，用小写字母a,b,c,x,y 表示集合中的元素．如果a是集合A的元素，则说a属于A，记作aA，或说A含有a．如果a不是集A的元素，则说a不属于A，记作aA，或说A不含有a．有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素a的集合称为单元素集或独点集，可表示为{a}．由n个元素aa1 2

a所组成的集合，可表示为aa}na}n,n,n, }．当集A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：A{x|x具有性质p}例如，方程x210 的x的全体组成的数集是{x|x2实际上就是{1,1}.

10}，有时我们也把集{x|xExE[xp]f(x)Ea是一个实数，我们把集{x|xEf(xa}写成Ef(x)a]Efa]．不含任何元素的集合称为空集，记作．设A，B是两个集，若A 和B的元素完全相同，就称A和B相等，记作A=B (或B=A).若集合A的元素都是集合B的元素，就称为A是B的子集，记作AB(BA)，读作A 包含于B (或B包A)．若ABAB,就称B由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理1AB，C，均有AA；ABBCAC；ABABBA．二集合的运算B{x:ABB{x:

xA或xB}B{x:B{x:

xA且xB}ABABABABA或A\B{xx但x当BA时，称差集AB为B关于A的余集记作(CB)．A当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集A的子集时，就称A为基本集或全集，并把A的子集B关于A的余集CB 简称B的余集，记为BC或CB.A并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合A

,此时我们称{A

|是以为指标集的集族，集族{A |A

xxA} A

x有xA}例

{x:11

x11nN则n n nAn1

[1,0]

,An1

(2,1)关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)更一般地有:DeMorgan公式证明（略）

(

A)c

Ac

,( A

)c

Ac注AAC与.三、集列极限设AA

,A, 1 2 n上极限集：limA

或limsupA)xx属于无限多个集合Ax存在无限多个A，使xA}n

n n n nn AnNnN{x:N,nN AnNnNn下极限集：limA

或liminf

)x:x

x当nxA}nn

n n n n AnNnN{x:N,nN AnNnNnAAlimAlimA An nn1nnnnn1例：设A2n极限集

[0,1],A2n1

[1,2]，则上极限集为[0,2],下极限集为{1}.如果集列{A的上极限集与下极限集相等，即lim

limA An n

nn则称集列{A

}收敛，称其共同的极限为集列{A}的极限集，记为：limA An单调增集列极限

n n n若集列{An

}满足An

An1

(nN{An

}为单调增加;若集列{An

}满足An

An1

(nN),则称{An

}为单调减少;定理2：单调集列是收敛的如果集列{A单调增加，则lim

An n

nn1如果集列{A单调减少，则lim

An n

nn1例1

(11,11),

(n,n),nN,则2n1

n limA

2n(,)，limA (1,1]n nA 1 1

nn1 1例2：设

[ ,4 A ,1 nN则2n1 n n 2nlimA

n n[0,4)，lim

(0,1]n n

nn小结DeMorgan公式很重要,以后会经常用到.集列的极限是一种与数列极限不同的极限,应正确理解其概念.——————————————————————————————作业：P30 5, 7, 8设{An

}为一集列：

练习题

A,B

An1

(n1)，证明

}为一列互不相交的集列，且1 1

nk1

knA k

nB(n1,2, )k若{An

k1}是单调减少的集列，证明

k1A(A1 1

A)(A2

A)((AAnn1)(A),kk1并且其中各项互不相交.:lim

A,limA A AnNnN

limA

nn

Nn

n n nnn

n n{A单调递增时，有lim

limA

limA

An n

n

n

nn1{A单调递减时，有lim

limA

limA

An n

n

n

nn1A

E,A

F,(n1,2,

A和lim

，并问limA

是否存在？2n 2n1

n

nn

n n)，求)，求lim教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.本节要点本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.授课时数2学时——————————————————————————————映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.其中函数的定义域通常是Rn

的子集,值域是实数集或者复数集.若将函数的定义域和值域换成一般的集,可得到映射的概念.定义：设XYfxYyfX到Yf:XYXY是两个非空集合，fXYxXyY使(x,y)f，则f是从X 到Y的一个映注：集合，元素，映射是一相对概.略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射.除此之外,我们还经常会遇到许多其它的映射.例如,定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射,求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射,线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.集合运算关于映射的性质（像集）定理1f:XYBA

()是X的子集，称{f(x):xA}为A的像集，记作f(A)，则有：1)ABf(f(B);fA B)ff(Bf(

A)

f(A);fA B)ff(Bf(

A)

f(A);证明的过程略注：f(A B)f(f(B)一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当f为单.集合运算关于映射的性质（原像集）定理f:XYAXCDC

是Y{x:f(xC为C的原像集，记作f1C)(f不一定有逆映射，则有：1)CDf1(C)f1(D);2)f13)f1(C

D)f1(C)D)f1(C)

f1(D),一般地有：f1( C)f1(D),一般地有：f1( C)

f1(C);f1(C);4)f1(C\D)f1(C)\f1(D);5)f1(Cc)[f1(C)]c;6)Af1[f(A)];7)f[f1(C)]C;证明略.注6）6）等号成立当且仅当f7）f.对等与势定义设A，B是两非空集合，若存在着A到B的一一映射（既单又满，则称A与BA~B.约定~.（1）称与AA有相同的势（基数，记作A.（2）势是对有限集元素个数概念的推广.性质A~A~BB~A~BB~CA~C;例：1)N~N奇数

~N ~Z偶数2)(1,1)~(,)证明：令f:xtg(2(1,1)~(,)

x)，则f 是(1,1)到(,)的一一映射.故注（等）.3)基数的大小比较若A~B, 则称A若A~B1

BAAB有一个单射，也相当于BA.ABAAB.注：不能用A与B的一个真子集对等描述.如：(1,1)~(1,1)(,)Bernstein定理{A

:{B

},A

~B而且{A

}中的集合两两不交，{B

}中的集合两两不交，那么：

A ~ B 证明略

定理定理A，使B~BB*A~B*则A~ABBAB.AB*fBg.令AA\，Bf(A)，A g(B)，B f(A)，A g(B)，B f(A)，1 1 1 2 1 2 2 3 2 3 3g(B)

g(B

A\故A与

不交.从而A,A

在f的2 1 1 1 2 1 2B,B1

BB1 2

gAA2 3

不交.由A ,知A与

AA

AA

fBBB3 1 3),也两两不交，),

1 2 3

1 2 3

1 2 3A

,A,

B

B,

f

(n1,2,1 2 3所以

1 2 3 n nA~ Bfn nn1 n1Bk

gA),可知k),可知

(k1,2,B~ AgkkkkgB~所以gB~B~A*\kgA ，\k1A (A\A)\k1A A\ AkkkkkkkB ~AB ~A\ Ak kkkA)k( A)~(B\ A)k( A)~(B\ B)k kkkk( B)kk1证毕．注：要证A需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证A，只需找一个.(1,1)~1,1]证明：由(1,1)[1,1]()~(1,1)(1,1)~1,1]——————————————————————————————作业：P30 9, 10练习题上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？A C,则A B C.AA C,则A B C.AC，则有B BC.ABAM.F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M是[0,1]M.F§3、可数集合教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点可数集是具有最小基数的无限集.可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来,可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握.本节难点证明集合可数.授课时数1学时——————————————————————————————１可数集的定义与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为a或01,2,3,4,5,6a,a1 2

,a,a3

,a,a5 6AA可以写成无穷序列的形式a1 2

,a,a3

,a,a}5 6}例：1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3 }}2）[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,}２可数集的性质（子集）定理1任何无限集合均含有可数子集.证明：M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取一元素，记为e.则1M,M}中取一元素

,显然e

e.M中已取出n个互异元素1 1 2 2 1ee, e1,2

,M是无限集，故Me,1,2

e,于是又可以从Me,e}中nn e}中n取出一元素en1

,它自然不同于ee,ee.nM的一个无限子集e1,2

e }n毕．这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数．可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集A,a,a, ，B,b

, ,b

，C,c,c,1 2 3

1 2 n

1 2 3假设A,B,C两两不交，则AB,b, ,b,a,

, （当集合有公共元素时，不重复排）1 2 n 1 2AC1

,c,a1

,c,a2

,c,3关于可数个可数集的并仍为可数集的证明1314a , a , 131411 12

, a，a , a , a , a ，21 22 23 24a , a , a , a ，31 32 33 34a , a41

, a , a ，43 44, , , ，当A互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;i当A有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；i因此 Ann1

是可数集。说明:与Hilbert旅馆问题比较;如何把无限集分解成无限个无限集合的并?例全体有理数之集Q是可数集首先[0,1]={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,Q(Q[0,1])(Q[1,0])(Q[1,2])(Q[2,1])所以Q是可数集（可数个可数集的并）说明：有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).3可数集的性质（卡氏积）定理：有限个可数集的卡氏积是可数集只须证：设A,B是可数集，则AB也是可数集（利用数学归纳法即得有限个乘积的情形）AB{(x,y)|xy{(x,y)|yxA从而AB也是可数集（可数个可数集的并）例1平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A证明：平面上的圆由其圆心(x,y)和半径r从而

xy在变A~QQQ{(x,y,r)|x,yQ,rQ}例2代数数全体是可数集整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数成为超越数。设P是整系数多项式全体所成之, Pn

是n次整系数多项式全体Pn

xna

n1

xn1a a |aZ,i1,2, ,n,a 0}0 i n0

Z，Pn

~(Z{0})ZZ Z（有限个可数集的卡氏积）n个故P

Pnn0

为可数集（可数个可数集的并）由代数基本定理知任意n次整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.A，而例3AAA，而，令证明：AA包含可数子集ee，令

AA*可数，，A A,e,e

A,e,e,0 1 2 3,e,e,2 4 6A ,e,e,01 2 3AA，A0且

1 3 5AA*e,e,e,是可数集，证毕.

1 3 5小结本节利用一一对应的思想,给出了集的基数和可数集的定义.集的基数是有限集元素的个数在无限集的推广.可数集是具有最小基数的无限集.可数集经过有限或可数并运算后仍是可数集.有理数集是一个重要的可数集——————————————————————————————作业：P30 12, 15练习题1、设A中的元素是直线上两两不交的开区间，则A为至多可数集.2、怎样建立无限集与它的一个真子集的一一对应关系？3.4.§4、不可数集合教学目的介绍不可数集概念及其属性.本节要点区间[0,1]是典型不可数集，注意比较可数集与不可数集性质的异同，利用R集握.本节难点证明集合不可数.授课时数1学时——————————————————————————————不是可数集的无限集称为不可数集．不可数集的存在性定理1区间0,1是一个不可数集．证明：假设0,1可数，则0,1上的点可以排成一个无穷序列：,x,nx,,x,n11 21记I0

，把I0

三等分于其中取一不含x1

的闭区间，记为I1

I1

的长度|I1

|3.再I三等分，取其中不含x1

的闭区间，记为I2

，则|I2

，这样下去，可以得到一列闭1321区间I满足：n

I I

,|I 1,x I0 1 2

n n 3n n n故n

形成闭区间套，因此存在唯一点x0

I(n0,1,2,n

)，而由假设，n0

N使得x I0

，这与x0

I(n0,1,2, 矛盾，故n连续势集的定义定义1：与区间对等的集的基数称为连续基数（连续势），这个基数记作c推论1ca, 证明：由定1.4.1知，ac．但 , 2 3

，故ca.证毕．推论2开区间0,1的基数也是c．定理2全体实数所成之集R的基数是c．证明令(x)tan2x1, x(0,1)，则是到上的一一映射，2所以R的基数是c.推论1全体无理数所成之集的基数是c．连续势集的性质（卡氏积）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集定理3Axx1 2

, ,xn

, ):xi

(0,1)}，则A（证明略）推论n维Euclid空间Rn的势为连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集定理4实数列全体所成之集E 的基数是c．（证明略）无最大势定理定理（Canto：设A是一个任意给定的非空集合，则2A..证明：A与2AA~}:a2A即可。A~2AA到2A上的一一映射:A~2A

{a:aA,a(a)}，由于A*是A的子集，即A*2A，因此存在a*A，使得(a*)A*（1）若a*A*，则由A*的定义，有a*(a*)A*（2）若a*A*

(a*)，则由A*的定义，有a*A*.故2A.可数势与连续势定理：2NR或{N

R（即20）证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故2N与0,1N对等；下证：{N对任意的{N,令f)(n);易知f:{N[0,1]是单射，所以3n{N.

n1 a另一方面，对x(0,1)x

n1

n, a2n

0,1（1（即：将x写成二进制小数0.aaa12 3

为循环节g(0,1)x

{0,N，其中(n)an

,n1,2,3,

（即将小数aaa12 3

aa1 2

,a,}）}） 易证(0,1){0,}N是单射，因此2N.由Bernstein定理知2N.连续统假设Cantor认为在0

与之间不存在别的基数，即不存在这样的集合A,使得0

A，但Cantor证明不了,这就是著名的Cantor连续统假设。Hilbert在1900年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。小结.直线上的区间是典型的不可数集.证明一个给定的集是可数集或不可数集是应当掌握的基本技巧.——————————————————————————————作业：P30 17, 18练习题R.AB中至少有一个势为.设An1

,则An

中至少有一个势为.[0,1]E的势为.第二章点集（总授课时数6学时）教学目的：欧氏空间Rn上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本节讨论欧氏空间Borel集,Cantor本章要点Rn由开集生成一个BorelCantor集是一个重要的集,它有一些很特别的本章难点BorelCantor授课时数6学时——————————————————————————————本章先介绍Rn中的距离、极限、邻域、区间及其体积等基本概念，然后定义了内点、§1度量空间，n维欧氏空间教学目的、深刻理解Rn23、了解邻域的四条性质.本节要点度量空间的概念.本节难点度量空间的概念.授课时数1学时——————————————————————————————一、度量空间1XdXXR为一映射，且满足（1）d(xy)0d(xy)0xy （正定性）d(xy)dyx) （对称性）d(xyd(xzd(zy) （三角不等式）i1(xyi1(xy)2ii欧氏空间(Rnd,其中d(xy)0 x离散空间(X,d)，其中d(x,y)0 xCa,b

空间(Ca,b

表示闭区间a,b上实值连续函数全体),其中d(x,y)max|x(t)y(t)|atb二、邻域定义2称集合{P|d(PP}

的U(P,

称为邻域的中0 0 0 0心，称为邻域的半径.在不需要特别指出是什么样的半径时，也简称为P0

的邻域，并记为U(P).0不难看出：点列{Pm

P0

的充分必要条件是对任意0，存在N，当mN时有：Pm

U(P).0容易验证邻域具有下面的基本性质：1)PU(P)；对于U(P和U(PPU(PU(P，则存在1 2 1 2U(P) U(P)U(P)3 1 2对于QU(P，存在U(QU(P；对于P，存在U(Q和U(P满足U(QU(P)定义3：两个非空的点集A,B间的距离定义为dA,B inf dP,QPA,QB如果A,B中至少有一个是空集，则规定dA,B0；若BX，则记dA,BdA,XAB，则dAB0。定义4：一个非空的点集E的直径定义为：EsupdP,QP,QE当E时，规定0。显然，E0E 至多只有一个元素。若EE为有界集。定义5：称X1 2

, ,Xn

|Xi

A,iAi

的直积，记为X X1

Xn

或Aii1定义6：若Ini1

IIi

a,bi

I为nRn中的区间；如果所有Ii

I左闭右开)区间。如果所有的Ii

IRnIi

是直线上的无界区间，则称IRn注：R2中的有界区间即矩形，R3中的区间即长方体，因此Rn中的区间有时也称为“长方体”.E为有界集的充要条件是存在有界区间IEE为有界集的充要条件是存在E0

U(x0

,)定义7：Ini1

Ii,I

ai,bi

,称Ini1

biai)为区间IIni1

Ii.当然，这里约定000，当a时，aa.注：R1中的区间体积即区间的长度，R2中的区间体积即矩形面积＝长×宽，R3中的区间体积即长方体体积＝长×宽×高，因此规定Rn中的区间体积＝n§2、聚点、内点、界点教学目的1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系.E3、了解Bolzano--Weierstrass定理.本节要点内点、外点、界点、聚点、孤立点及开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念.本节难点对一个已知的点集E，求这些相关的点集.授课时数1学时——————————————————————————————一、欧氏空间中各类点的定义P0P0

E0,使得U(P,)EEo0为E的外点：0,使得U(P,) E，E的外点的全体记为Ec.0

E0,有U(P,E且U(P,)Ec

，记为E0（4）P0

0E0,有U(P,)(Ep0

0})，E的聚点的全体称为E的导集，记为E'P0P0

E0,使得U(P,Ep}0 0E0,U(P,E0注：聚点、边界点不一定属于E，内点、孤立点一定属于E.EE

{E的孤立点全体}E'

EEE例1（1）令EQ，则EE

ER，E1,k,则E'1,k,则E', 2 3

1对一切k

(k1,2,3,

的孤立二、聚点的等价定义定理1下面三个陈述是等价的：（1）P0

E'；（2）对0(P,E0 0（3）E中有各项互异的点列P

P,k

Pkk k 0 k 0证明（1）（2）是显然的．（2）（3）：因为P,1{PEP

P,1{PE，则0 0 1 0 0PE

P.令

mindP,P

1，则UP,

中至少有一点P

E且1 1 0 1

1 0 2 0 1 2PP，

P.令 mindP,P,1，则UP,

E且 2 0 2 1 2

2 0 3 0 2 3PPi0,1,2.这样继续下去，便得到点列P且满足要求.3 i k（10

k

UP,UP,EP0

E'.

0 0 k 0 0三、开核、边界、导集之间的关系定理2设A B，则A'B'，

B0

，AB．定理3ABA'B'ABAB证明1因为AABBAB2A'AB'B'AB'A'B'AB'.另一方面，任取PABPA'BPA且PB.于是 0，使1 0，使2

P,A，1P, ，2取,1 2

，则UP,AUP,AUP,B这说明PAB'，这与PAB'矛盾.所以PA'B'，即AB'A'B'综合以上两个方面，即有AB'A'B'.（2）ABABAB'ABAB'AA'BB'AB.证毕4（Bolzano-Weierstrass定理）Rn中的有界点列必有收敛子列．（证略）——————————————————————————————作业：P49 2, 3, 4, 5练习题ER1R2R1R2EEEE0E各是有哪些点构成的.设A B，证明A'B'，A0B0，AB．§3、开集、闭集、完备集教学目的1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理（对偶性定理及运算方面的定理）.2、理解Heine--Borel有限覆盖定理.本节要点开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理.本节难点Heine--Borel有限覆盖定理.授课时数2学时——————————————————————————————一、开集、闭集的定义E0

E E为开集（EEEE为闭集（E紧挨的点不跑到E外）注：EE

EE

{E的孤立点全体}，故EE等价于E'E（E E说明：E（E E

显然）E是闭集，只要证EEEE（EE显然1：开区间(ab为开集证明任取x(a,b)取xa,xb},则U(x,)(a,b)从而x是(a,b)的内点，故(ab是开集。例2：闭区间[a,b]为闭集.证明x[ab]c,取min{xa,xb},则U(x,)ab]c,从而[a,b]的接触点都在[a,b]内，从而[a,b]是闭集。注：闭集为对极限运算封闭的点集.即：A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点.(E)定理1 对任何ERn，E是开集，E'和E都是闭证明（）E是开集只要证(E)任取xE，由内点的定义知0,使得U(x,)E.任取yU(x,)取'd(x,y)则U(y,')U(x,)E从而y为E的内点，从而U(x,)E，所以x为E的内点，即x(E)，从而E (E)，即E为开集.E'是闭集。只要证E'

E'任取xE'

0,有U(x,(E'{x})x'U(x,)(E{})，有x'E'（当'mind(x,x'),d(x,x')}时，有xU(x',')U(x,)，从而U(x,)(E{})，即x为E的聚点，从而E

E'。利用(E)'(EE')'E'(E')'E'E'E'E可得E为闭集.EE内的最大开集。二、开集与闭集的对偶性(Ec)(E)ca）(E(Ec)(E)cEEcEEc为开集。证明：E为开集，即xE0,使得U(x,E，从而U(x,Ec

，从而x不是Ec的接触点，也即Ec的接触点一定在Ec内，从而CECE，即Ec为闭集.E为闭集，即EE，任取xEc，假如xEc的内点，则xExEExE内，这与xEc矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。三、开集的性质Rn任意多个开集之并仍为开集；3)有限个开集之交仍为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：E (0,1/n),nRn中只有空集和Rn既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：E[0,1)四、闭集的性质Rn为闭集；任意多个闭集之交仍为闭集；3)有限个闭集之并仍为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：E [0,11/n]n说明：不仅Rn中开集具有以上三性质，一般距离空间也有此性质，在拓扑空间中以上三性质则是描述开集概念的三公理.五、完备集1ERnEE'E.（1）.(2)没有孤立点的集合是自密集.2ERnEE'E.注：完备集是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集.——————————————————————————————作业：P49 6, 8, 11练习题1、证明每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并.2设f(x)Rn上的实函数，证明：f(x)是连续函数的充分必要条件是对任意开集GR1,f1(G) Rn3f(xaE{x|f(x是开集，而E {x|f(x)a}14f(xE(x

)limsup{|f(x')f(x'')|:x',x''O

E}0 0

(x0,)为f(x)在x0

E处的振幅，若f(x)在闭集E上定义，则对任意实数t{xE:(x)t}为闭集.§4直线上的开集、闭集及完备集的构造教学目的介绍直线上的开集，闭集及完备集构造.本节要点直线上开集构造定理尤为重要，由它演绎出闭集，完备集构造定理.本节难点直线上开集构造定理.授课时数2学时——————————————————————————————本节所讨论的点集都是R1的子集．一、直线上的开集、闭集的构造定义设G是开集，若非空开区间()G，且G，就称(是G的一个构成区间．定理：直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并。之集.孤立点的闭集定为互不相交的闭区间之并。⑶Rn中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相交的半开半闭区间之并.二、R中有关紧性的两个结论⑴Bolzano-Weierstras

ERnE点列a,a1 2

,a,3a （a ,

,a ,

，,a ）1a=（2

11 12 13,a ,a ,21 22

14 1n，,a ）24 2na=（a ,a ,a ,a ，,a ）3 31 32 33 34 3n注：对无限维空间不一定成立。⑵Heine-Borel有限覆盖定理Fi

iIF（FUi

i

:iI} 中存在有限个开集U,U1 2

, ,Un

,它同样覆盖F.注：Heine-Borel有限覆盖定理的逆命题也成立.可数覆盖定理FRni

iIF（FUi

，则Ui

:iI},U,n中存在可数个开集U,U,n1 2

它同样覆盖F提示内点，以及有理点全体在Rn中稠密和有理数全体是R三、直线上完备集的构造如：Cantor集对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间，然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间，此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集.⑴定义：令GIin,j

(n)第第n次去掉的开区间留下的闭区间1Ii i1(1)I(1) i1,2i2Ii(2)iIii1,2, 22nIi(n)i2n1I(n)ii1,2,2nP[0,1]G[0,1]GcCantor⑵Cantor集的性质分割点一定在CantorCantorP[0,1]G[0,1]GcGIiP0，去掉的区间长度和

1

n,i2n1

(n)1 3 13nn1

123注：第n次共去掉2n1个长为1/3n的开区间P没有内点证明xP,x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中I(n).i0,13n

时，有I(n)U(x,),但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等i分去掉中间一个开区间，从而U(x,)内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。P证明：xP0,有U(x,P{x}),由Cantorn,

,及某个i，使U(x,)I(n),而I(n)的两个端点定在P3n i i中，从而x为P的聚点，当然不为孤立点。P的势为 （利用二进制，三进制证明）证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集为小数位只是0,2的点的全体，作对应（三进制数）aa

a a a0.1 2 3

（二进制数）12 3

2 2 2说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如0.1000000…=0.0222222…（三进制小数）0.2000000…=0.1222222…注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.——————————————————————————————作业：P50 12, 13练习题ECantor集的余集的构成区间的中点所成之集，求E.证明用十进位小数表示[0,1]6AA.疏朗集的余集是否一定为稠密集？第三章测度论（总授课时数8学时）教学目的引进外测度定义，研究其性质，由此过渡到可测集本章要点要引导学生注意外测度与测度之间的重要差别，测度概念抽象，要与具体点集诸如面积体积等概念进行比较.§1、外测度教学目的1、掌握外测度的定义及其基本性质.2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法.本节要点外测度的定义及其基本性质.本节难点外测度的定义.授课时数2学时——————————————————————————————一、引言(1)Riemann积分回顾（分割定义域）(R)b

f(x)dxlim

f，

xx ，

xa ||0

i i1

i i i

i1 i i积分与分割、介点集的取法无关。几何意义（非负函数：函数图象下方图形的面积。（2）新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）记E {x:y f(x)y}，y y，则i i1 i i1 i i(L)[a,b]

f(x)dxlimn0i1

mEi i问题：如何把长度,面积,体积概念推广?达布上和与下和上积分（外包（达布上和的极限）ba下积分（内填）ba二、Lebesgue外测度(外包)

f(x)dxlim||0f(x)dxlim||0

ni1ni1

Mxi imxi i定义：设ERn，称非负广义实数(R{}R*)mEinf|Iii1

|:EI,Ii1i

为开区间}ELebesgue下确界：是数集S的下界，即xSx是数集S的最大下界，即0,xSxmEinf|Iii1

|:EI,Ii1i

为开区间}0,开区间列{Ii

},使得EI且i1im*E|Iii1

|m*E即：用一开区间列{Ii

}“近似”替换集合E例1设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0.证明：由于E为可数集，故不妨令}E[0,1]Q{r,r,r,}0,作开区间

1 2 3 则EI且i1i

I (ri

,r2i1

2i1

),i1,2,3,|I| ，i 2i1i1 i1从而m*E ，再由的任意性知m*E0思考：１.设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0提示：找一列包含有理点集的开区间I(ri i1

,r2i2 i1

2i

)(r i2

,r 2i2 i2

2i

),(r,ri1 i

)QQ,i1,2,3,x0提示：找一列包含x轴的开区间 I (ri i

1,ri

1)( 2i1

2i1

),ri

Z，i1,2,3,Lebesgue[0,1]中的有理数全体，是否这可数个开区间也覆盖[0,1]（除可数个点外）.注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如Cantor集的余集的构成区间）2．Lebesgue外测度的性质mE0EmE0单调性：若A则mAmB证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。次可数可加性m*(n1

A) m*An nn1证明：对任意的0,由外测度的定义知，对每个A都有n一列开区间（即用一开区间I

列近似替换A）I ,I ,

I 且Inm,Inm,An

n1 n

m1nm从而

I ，且

m*An

|Inmm1

|m*A n 2nn1

n1

nm|I |nm

|I |nm

(m*An

)2n

m*A nn,m1可见

n1m1 n1

n1m*(n1

A)n

|I |nm

m*A n由的任意性，即得m*(n1

n1m1 n1A) m*An nn1（1）一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界（2）外测度的次可数可加性的等号即使,B不交也可能不成立（集，但有:若d(,B)0则m(AB)m(A)m*(B)IiIiABIiA中的点，一部分含有B例2对任意区间I，有mE|I|.思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广2n例32n证明：令第n次等分后留下的闭区间为I(n)i

i1,2,从而2nm*(P)m*(I(n))2n

2n

|I(n)

|

12n0 故mP0

i1i

ii1

3ni1

3注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集.——————————————————————————————作业：P75 1, 2练习题如果将外测度的定义改为“有界集EE理？AB，问在什么条件下有m*(AB)m*BER1，是否必有？EmE0mE的正数cE，1使mE c1§2可测集教学目的1、深刻理解可测集的定义，学会用Caratheodory条件验证集合的可测性.2、掌握并能运用可测集的性质.本节要点学会用Caratheodory条件验证集合的可测性.本节难点用Caratheodory条件验证集合的可测性.授课时数2学时——————————————————————————————Lebesgue外测度(外包)mEinf|Iii1

|:EIi1ii

且I为开区间} 0,开区间列{Ii

EIi1i

m*E

|Iii1

|m*E即：用一开区间列“近似”替换集合E

两两不交)m*(A)

m*An一、可测集的定义

n1 n

nn1TRn,mTmE)m*Ec)（Caratheodory条件E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作mE.注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法.例1：零集E必为可测集Rn，有mTmE)m*Ec)m(E)m*)m*)从而mTmE)m*Ec)E为可测集。二、Lebesgue可测集的性质E可测（即TRn,有mTmE)m*Ec)AEBEc,mAB)mm*(B)证明：(充分性）Rn令ATEBTEc即可(必要性)令TABBAi

可测，则下述集合也可测 Ac,AB,AB,AB,A, i1 ii1 i若AB则TRn，有m(AB))mA)m*B)注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得若A两两不交，则（测度的可数可加性）im(i1

A)mAi ii1若A,B可测，AB,mA,则有可减性m(BA)mBmA证明：RnmTmEm*Ec)易知Ac可测ABAB

Bc)cABABc也可测。若当A为两两不交时，A可测已证明，则通过令

A1A可把一般情形转化i i1 i

n n i1 i为两两不交的情形，通过取余即可证明nAi1 iBABRn，有mTm(AB))m*(AB)c)(m(1)m*(2))(m(3)m*(4))m*((1)(2))m((3)(4))（B可测）m*((1)(2)(3)(4))（A可测）m*)从而mTmABm*AB)c)下面证明若A两两不交，则m

A)mAi证明：TR

i1

ii1nnmTmTnn

A)*T

A)c)mT

A)*T

A)c)ni1 in

i1 i

i1 i

i1 i

mTA)m*T

A)c)ii1从而

i1 imT mTA)m*T(

A)c)ii1

i1 imT(A))*T(A)c) （）i1 i i1 i另外显然有mTmT(A))m*T(A)c)i1 i i1 i从而Ai1

可测，并用Ti1

A代入（*）式，即得结论i2：设[0,1]AA

,A满足条件

mAn1，则

A必有正测度。1 2 n

ii1

i1 in n n证明：m(A)m(((A)c)c)m([0,1](A)c)i1 i

i1 n

i1 nm([0,1]Ac)m([0,1])m(Ac)i1 i i1 i1ni11n

m([0,1]A)i(1mA)nmAi

(n1)0单调可测集列的性质

i1 i1

是递增的可测集列，则m(limA

)limmAn n n n n

是递减的可测集列且mA

m(lim

)limmAn 1 n n n n（1）左边的极限是集列极限，而右边的极限是数列极限，(2)中的条件mA1

不可少，如An

（2）若A是递减集列，lim

AnAlim

n nA

n1 nn n n n1 nAn1

A(A1

A)(AAnn1)ABmA，则m(B)mBmA——————————————————————————————作业：P75 5, 6练习题0EE的任一子集可测？设

}是可测集列，且

，则m(lim

)0n nn1

n nE的外测度等于包含它的开集G的测度的下确界，即mEinf{mG:EG,G为开集}BRn

的子集，A可测，证明等式m(AB)m(AB)m(A)m(B)§3 可测集类教学目的1、熟悉并掌握用开集、闭集、G

F

型集刻画可测集的几个定理，弄清可测集类和Borel集类之间的关系.2、了解一些集合可测的充要条件.本节要点可测集类和Borel集类之间的关系.本节难点可测集类和Borel集类之间的关系.授课时数2学时——————————————————————————————一、可测集1I是可测集，且mII|（1）零集、区间、开集、闭集、G

型集（可数个开集的交F

型集（可数个闭集的并）.Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。（2）开集、闭集既是G

F

型集；F无理数集是G

型集，但不是GF

型集；型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余G

F

型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）二、可测集与开集、闭集的关系E可测，则0，存在开集GEGm(GE)即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集，从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。E可测，则0FFEm(EF)（）当mE时，由外测度定义知0,存在开区间列{Ii

}，使得EIi1i

且m*E|Iii1

|m*E令GIi1i

,则G为开集，E且EmG

mI i

|I |mEii1 i1从而（这里用到mE）m(GE)mGmE(2)当mE时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集EEi1 i

(mEi

)Ei

应用上述结果，存在开集Gi

，使得EGi i

m(Gi

E)i 2i令G

，则G为开集，E且i1 i

mGE)m(GE)m(G

E))i1 i i1 i

i1

i1 im((GE))

m(GE) i1 i i

i i 2i若(1)已证明，由Ec可测可知

i1 i10，存在开集GEcG且m(GEc).FGcFFE且m(EF)m(EFc)m((Ec)cFc)m(FcEc)m(GEc)例2设ER若0,开集GEG且mGE)E1 1证明：对任意的

，Gn

（开集，使得EGn

且m(Gn

E)n令OGn1

，则O是G

型集且EO1m(OE)0

m(OE)m(Gn

E)

n,n1,2,3,从而EO(OE)为可测集.例3：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一小测度集的开集和闭集。}E,r,r,}1 2 3开集：G(r ,r)i1 i闭集：空集.

2i1 i

2i1E*为[0,1]E*集。开集:(0,1)闭集：F[0,1](r

,r)i1 i

2i1 i 2i1三、可测集与G

F

集的关系E可测，则存在G

型集OEOm(OE)0可测集可由G

型集去掉一零集，或F

型集添上一零集得到。EF

HHE且m(EH)0证明：若(1)已证明，由Ec可测可知G

型集OEc

O且m(OEc)0HOcHF

型集，HE且m(EH)m(EHc)m((Ec)cHc)m(HcEc)m(OEc)0(1)E可测，则存在G

型集O,使EO且m(OE)0证明：1，存在开集

E

且m(G

E)1令OGn1

n，则O为G

nEO

n n nm(OE0

m(OE)m(Gn

E)1,n1,2,3,n例5：设E为[0,1]中的有理数全体，试各写出一个与E只相差一零测度集的G

F

型集。 1 1 GO

r

n ,

n n1 i1

2i1

2i1F型集：空集注：上面的交与并不可交换次序.6：E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零测度集的G型集或F型集。G(0,1)

1 1 F

r

n ,

n n1 i1

2i1

2i1类似可证：若ER则存在G

型集OEO且mOmE（称OE的等测包）证明:由外测度定义知1,{In

}，使得EIi1ni

且m*E|Inii1

|m*E1n令G In i1

则Gn

为开集，EG且nm*EmGn

mI ni

|I |m*E1ni ni1 i1令O

，则O为

型集，且OE,mOm*En1 n ——————————————————————————————作业：P75 8, 9, 11BRn

的子集，证明不等式

练习题m(AB)m(AB)m(A)m(B)E(Rn可测的充要条件是0，存在开集GEFE，使得m(GF.E(Rn可测的充要条件是：存在开集G1

E及G2

CE，使m(G1

G)2§4不可测集教学目的了解不可测集的构造思路和步骤.本节要点无.本节难点无.授课时数2学时存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73;1970，R.Solovay蕴涵选择公理）（利用Cantor函数和不可测集构造）参见：《实变函数》周民强,p87第四章可测函数（总授课时数10学时）由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue可测函数，并讨论其性质和结构.§1可测函数及其性质教学目的本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质教学要点可测函数有若干等价的定义.它是一类范围广泛的函数,并且有很好的运算封闭性.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征.本节难点可测函数与简单函数的关系.授课时数2学时——————————————————————————————可测函数定义定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若aR,E[fa]

可测，则称f(x)是E上的可测函数.可测函数的性质性质1零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集性质2简单函数是可测函数若EnEi1 i

(E可测且两两不交，f(x)在每个Ei

上取常值ci

f(xE上的简单函数；n

1 xEf(x)

c (x) 其中

(x) ii

0 xEEi1 i注：Dirichlet函数是简单函数3Ef(x)必为可测函数f(xEf(xx0

E处连续若0,0,使得f(O(x0

,

E)O(f(x0

),)对比：设f(x)为a,b上有限实函数，f(x)在x0

(a,b)处连续若limf(x)f(x)xx0 0即0,0,当|xx0即0,0,当xO

|时，有|f(x)f(x0时，有f(x)O

)|(x0即0,0,使得f(O

,

)O

(f(x0

),)(x,)0

(f(x0

),)f(x)x0

[a,b]处连续(对闭区间端点则用左或右连续)证明：xEfafxa,由连续性假设知，对f(x)ax

0,使得f(O(x,)x

E)O(f(x),

(a,)即O )E

.令Ga]

O G)(x,x [f且另外

xE[fa]

(x,xGE( O(x,[fa] x所以

)E (O(x,[fa] x

E)E[fa]故E[fa]

E[fa]GE为可测集

( O(x,[fa] x

)EGE，性质4R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。证明：faRIa的集合为可测集

inf{x|f(x)a}f单调增知下面E[IE

) 当Ia

{x|f(x)a}[fa]

E(Ia

) 当Ia

{x|f(x)a}⒊可测函数的等价描述⒈定义：f(x)Ef(x)E上可测（即（1）aRE[fa]

可测）(2) aRE 可测[fa](3)aRE 可测[fa](4) aRE 可测[fa](5)a,bR,ab,E[afb]

可测（充分